數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)話題之九：神奇的莫比烏斯帶

劉勁苓 石雪納 裴杰

劉勁苓：藝術(shù)是人類對世界的感性認(rèn)知，而數(shù)學(xué)是人類對世界的理性認(rèn)知。有人認(rèn)為，數(shù)學(xué)家通過右腦工作，藝術(shù)家則通過左腦工作。數(shù)學(xué)和藝術(shù)，一個邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，一個感性浪漫，完全不可能共生共存。但是，藝術(shù)和數(shù)學(xué)實際上是密不可分的，正如科學(xué)家開普勒所說，“數(shù)學(xué)是一切學(xué)科的基礎(chǔ)”，而數(shù)學(xué)家哈爾莫斯也認(rèn)為，“數(shù)學(xué)是一種別具匠心的藝術(shù)”。

石雪納：“數(shù)學(xué)是一切學(xué)科的基礎(chǔ)”，這已經(jīng)成為大家的共識。劉老師，說到數(shù)學(xué)與藝術(shù)的完美結(jié)合，我想到了一位荷蘭版畫藝術(shù)家——埃舍爾。埃舍爾的作品不僅呈現(xiàn)了視覺上的美感，也具有豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。（出示圖1）這幅作品看起來像兩隊人馬往相反方向行進(jìn)，但其實他們都處于一個面上，是沿同一方向行進(jìn)的，很是神奇！這幅作品隱藏著怎樣的數(shù)學(xué)奧秘呢？

劉勁苓：這幅作品其實是運用了數(shù)學(xué)中莫比烏斯帶的神奇特性！有人說莫比烏斯帶是科學(xué)藝術(shù)的怪圈。這個怪圈是由德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯發(fā)現(xiàn)的，它只有一個面和一條邊，數(shù)學(xué)中將這樣的面叫作單側(cè)曲面。莫比烏斯帶是拓?fù)鋵W(xué)中最有趣的單側(cè)曲面之一。說到“拓?fù)鋵W(xué)”，它也是數(shù)學(xué)中的一個重要分支，主要研究幾何圖形在連續(xù)變換下的一些不變特征和規(guī)律。埃舍爾的這幅作品，畫的其實就是一隊人馬在莫比烏斯帶上行進(jìn)。

石雪納：將一張長方形紙條按通常的方式首尾相接，我們會得到一個普通紙圈，紙圈有上下兩條邊，內(nèi)外兩個面。如果一只手捏住紙條的一端不動，另一只手把紙條的另一端扭轉(zhuǎn)半周（180°），再把紙條首尾相接，就能得到另一種紙圈——莫比烏斯帶（如圖2），它只有一個面和一條邊。

劉勁苓：如果我們從莫比烏斯帶面上的某一點開始涂顏色，筆不離開紙面，也不跨越紙圈的邊緣，一直畫下去，就會不知不覺地回到出發(fā)點；同樣地，從莫比烏斯帶的邊上的某一點出發(fā)，沿著邊畫過來，最終也會回到起點。這些奇怪的現(xiàn)象在普通紙圈上是絕對不可能發(fā)生的，除非你跨越紙圈的邊緣。

石雪納：劉老師，莫比烏斯帶這么神奇，是怎樣被發(fā)現(xiàn)的呢？

劉勁苓：莫比烏斯帶的發(fā)現(xiàn)源于一個古老的問題：世界上有沒有只有一個面、一條封閉曲線做邊界的紙圈呢？這個問題引起了莫比烏斯的注意，他長時間地研究和試驗，但總是毫無結(jié)果。傳說有一天，工作了一整天的莫比烏斯感到有些疲憊，便到郊外散步。他來到玉米地，看到一片片肥大的玉米葉子在微風(fēng)中忽而伸直，忽而卷起，玉米葉子在他腦海里變成了一張張紙條。于是他蹲下身去，撕下一片葉子，順著它卷起的方向把它首尾相接成一個“圓圈”，“啊！”他驚嘆道，“這不就是我夢寐以求的那種圈嗎！”于是，莫比烏斯忘記了勞累，興奮地跑回辦公室，裁出紙條，把紙的一端扭轉(zhuǎn)180°，再將一端的正面和另一端的背面粘在一起，做成了一個只有一個面的紙圈。紙圈做成后，莫比烏斯捉了一只小甲蟲，讓它在紙圈上面爬。結(jié)果，小甲蟲不翻越任何邊界就爬遍了紙圈的所有部分。莫比烏斯激動地說：“公正的小甲蟲，你無可辯駁地證明了這個紙圈只有一個面?！蹦葹跛箮Ь瓦@樣被發(fā)現(xiàn)了。

石雪納：沒想到，莫比烏斯帶的發(fā)現(xiàn)，這么富有神奇色彩！

劉勁苓：莫比烏斯帶還有許多神奇、有趣的特性呢！猜一猜，如果沿莫比烏斯帶中線剪開，會有什么樣的結(jié)果出現(xiàn)呢？

石雪納：我猜應(yīng)該是形成2個圈吧。

劉勁苓：動手剪一剪，你會發(fā)現(xiàn)，沿莫比烏斯帶中線剪開，它會變成1個大圈，并且不是普通的紙圈，也不是莫比烏斯帶，而是一個扭轉(zhuǎn)了360°的新型紙圈！

劉勁苓：我們可以試試看！如果沿與邊平行的方向把莫比烏斯帶的面三等分，畫出兩條三等分線，再用剪刀沿這兩條線剪開——出人意料的是，剪刀繞了兩個圈竟然又回到原出發(fā)點！猜一猜，剪開后的結(jié)果是什么，是一個大圈？還是三個圈？

石雪納：是一個更大的圈嗎？

石雪納：劉老師，這個莫比烏斯帶真的挺神奇，每一次剪，都能得到意想不到的結(jié)果！怪不得被稱作怪圈呢！繼續(xù)探索下去，還會有什么新的結(jié)論出現(xiàn)呢？

劉勁苓：你可能已經(jīng)注意到了，莫比烏斯帶有一條非常明顯的邊界，這使人感到美中不足。德國數(shù)學(xué)家費利克斯·克萊茵把兩條莫比烏斯帶沿著它們唯一的邊界粘貼起來（在四維空間中才能完美地完成這個粘貼），找到了一種自我封閉且沒有明顯邊界的模型，這就是著名的克萊因瓶（如圖4）。反過來，如果把一個克萊因瓶按某種方式剪開，我們會得到兩條莫比烏斯帶。如果把適量的水倒入克萊因瓶中，水會流入這個瓶的底部，但如果想把水倒出來，逆時針旋轉(zhuǎn)180°是不行的，而是需要順時針旋轉(zhuǎn)同樣的度數(shù)。大家可以想象一下，有條件的也可以動手操作一下試試。

石雪納：聽了您的介紹，越發(fā)覺得莫比烏斯帶真神奇！其實，莫比烏斯帶已被廣泛地應(yīng)用在我們的生活中，但一般人并未注意到。例如，它被用于制作機(jī)械傳送帶，比傳統(tǒng)的傳送帶更均勻，在防磨損和撕裂方面的表現(xiàn)更佳，使用壽命也更長。它還被用于制作錄音帶和錄像帶。最早的用于錄音的莫比烏斯帶是由弗利斯特于1923年設(shè)計出來的。

劉勁苓：莫比烏斯帶循環(huán)往復(fù)的特征，蘊(yùn)含著永恒、無限的意義，因此也常被用于各類標(biāo)志設(shè)計。2010年，中國上海世界博覽會湖南館設(shè)置了兩個互相嵌套的大型“莫比烏斯環(huán)”，在這兩個無始無終的單側(cè)曲面上，投映著湖南省的歷史與未來，寓意人類對未來的期盼和追求永不停歇。藝術(shù)創(chuàng)作中，莫比烏斯帶就出現(xiàn)得更頻繁了。例如，瑞典在1982年發(fā)行了根據(jù)莫比烏斯帶的原理設(shè)計的郵票，前面提到的藝術(shù)家埃舍爾還把莫比烏斯帶用來創(chuàng)作他的木刻畫《莫比烏斯帶Ⅰ》和《莫比烏斯帶Ⅱ》。

石雪納：確實，莫比烏斯帶看似簡單，然而又極其深刻。它有那么多美妙的應(yīng)用，又不斷啟發(fā)新奇的想象。莫比烏斯帶堪稱“數(shù)學(xué)的藝術(shù)形象”，也是“藝術(shù)形象的數(shù)學(xué)”。那么，數(shù)學(xué)課堂中應(yīng)如何引領(lǐng)學(xué)生感受莫比烏斯帶的神奇，體會它的藝術(shù)之美呢？我校的裴杰老師對此也有很多想法，我們將她邀請來一起討論。

裴杰：大家好。

劉勁苓：對小學(xué)生而言，探討莫比烏斯帶的更多特性顯然不合適，但“在操作中體驗”符合小學(xué)生的天性。大多數(shù)教師教學(xué)這個內(nèi)容時，就是讓學(xué)生在玩中體驗?zāi)葹跛箮У纳衿妗?/p>

石雪納：我在三年級教學(xué)時是這樣引入的：

師：剛才大家都說了假期中印象最深的事，老師印象最深的就是和我們家小孩在小區(qū)里玩小螞蟻的事。我們拿了一張這樣的長方形紙，把螞蟻放在上邊，你覺得它會怎么樣？（學(xué)生回答：爬走）它只要爬到邊緣，我們就把它趕回到紙面上，照這樣玩下去，這個螞蟻能爬到紙的反面去嗎？（學(xué)生回答：不行）因為一到邊緣我就把它趕回去了。那有沒有什么辦法，不讓螞蟻跨過紙條的邊緣，卻能夠爬到反面？拿出你的紙條，試一試。

（學(xué)生用手里的紙條動手操作。）

師：你是怎么折的？舉起來給大家演示一下。

生：我就是先拿這一頭，再把另一頭折反過來一下，然后把這兩頭對在一起（首尾相接）就行了。

裴杰：石老師是結(jié)合生活情境，通過問題“怎么讓小螞蟻不跨過紙條邊緣，卻能夠爬到反面”引領(lǐng)學(xué)生動手嘗試，一步步走進(jìn)莫比烏斯帶的。我的教學(xué)對象是六年級學(xué)生，所以引入方式和您不太一樣。

師：今天裴老師給大家?guī)硪粋€魔術(shù)。這是一個紙圈，如果我沿著它的中間剪開，（剪了一段后）你們猜，剪開后會變成什么樣子？（學(xué)生回答：兩個圈）你們想的究竟對不對呢？我們剪開看看。（教師剪完后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)得到的還是一個圈）看了這個魔術(shù)你們有什么感受？

生：我覺得剪開應(yīng)該是兩個圓環(huán)，為什么剪開是一個大圓環(huán)呢？

師：同學(xué)們真愛動腦筋！大家不只在欣賞這個小小的魔術(shù)，還在思考它背后的道理，特別棒！其實裴老師拿的這圈可不是一般的圈，它有個特殊的名字——莫比烏斯帶，也叫莫比烏斯圈。

石雪納：用魔術(shù)的方式引入確實更能引發(fā)學(xué)生的好奇和思考。

劉勁苓：其實，無論怎樣的引入方式，目的都是激發(fā)學(xué)生繼續(xù)探究的意愿和興趣。

石雪納：是這樣的！裴老師，學(xué)生做出來莫比烏斯帶之后，您是怎么引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究的呢？

裴杰：接下來，我請學(xué)生在小組內(nèi)交流自己發(fā)現(xiàn)的莫比烏斯帶的特點。討論之后的匯報層次性更強(qiáng)，讓我們一起來看看他們課堂上的匯報：

生：通過剛才的實驗，我們發(fā)現(xiàn)莫比烏斯帶有兩個特別有意思的特征，我講解的同時，我們組的其他同學(xué)演示。首先，莫比烏斯帶只有一個面。（2個學(xué)生配合演示，一人拿著莫比烏斯帶，另一人用筆在上面畫）從莫比烏斯帶上的一個點開始，一直往下畫（不跨面），直到回到原點。這條線經(jīng)過莫比烏斯帶上所有的面，且首尾相接。第二個有意思的特征是，莫比烏斯帶只有一條邊。（2個學(xué)生配合演示，一人拿著莫比烏斯帶，另一人用手指）從一個點開始，手指沿莫比烏斯帶的邊一直走，手指會回到原點，并且經(jīng)過了莫比烏斯帶的所有的邊。

生：莫比烏斯帶是一個立體圖形，我覺得它應(yīng)該有兩個面和兩條邊呀？

生：莫比烏斯帶最初是一張紙條，有正反兩個面。一面是花面，一面是白的。我們把花面和白面連接到了一起，所以就變成了一個面。

生：（邊展示邊說）我把紙條一邊涂成紅色，一邊涂成黑色，因為它“扭”了一下，所以黑邊和紅邊就連在一起了，沿任意一邊走一圈，就能把黑邊和紅邊都走過，所以莫比烏斯帶只有一條邊。

劉勁苓：六年級學(xué)生的觀察思考是比較全面和深刻的。

裴杰：是的。學(xué)生在畫一畫、描一描、剪一剪的過程中，認(rèn)識莫比烏斯帶，感受莫比烏斯帶的神奇。

劉勁苓：這里我還要特別強(qiáng)調(diào)一點，剪之前的猜測很重要。學(xué)生剪完后發(fā)現(xiàn)結(jié)果與猜想的不一致，才會更加好奇，激發(fā)繼續(xù)探究的愿望。

石雪納：除了要關(guān)注猜想，還要讓學(xué)生感受、體會莫比烏斯帶的用處和它的藝術(shù)之美。在課的最后，我是這樣處理的：

師：德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家莫比烏斯發(fā)現(xiàn)了這個神奇的紙圈，當(dāng)時的人們對它產(chǎn)生了很大的興趣，紛紛開展探究，就像剛才大家的操作一樣。那這個莫比烏斯圈有什么用啊？你覺得它可以用在哪兒？

生：我覺得可以做一個莫比烏斯帶滑梯，就可以一直滑，滑不完了。

生：還可以做莫比烏斯帶過山車。

師：莫比烏斯帶過山車，還真的有！在美國肯尼森林公園，有一個叫云霄飛車的過山車就是利用莫比烏斯帶的原理造的。

生：可以做一些高難度的迷宮。

師：哦，用莫比烏斯帶做成高難度的迷宮來鍛煉思維。對嗎？還有嗎？

生：我覺得咱們買飲料的時候，服務(wù)員可以把吸管撾成一個莫比烏斯帶，就很美觀。

生：這個吸管怎么用??？豈不是一直喝不到？

……

師：剛才有同學(xué)說做成滑梯，對吧？（課件出示莫比烏斯爬梯）還真有，不過不是滑梯，是爬梯。就在咱們西城區(qū)，但是很遺憾，因為喜歡它的人太多了，現(xiàn)在這個爬梯已經(jīng)被玩壞了。生活中還有很多的地方可以用到莫比烏斯帶，（課件出示傳送帶）1979年，美國的一個輪胎公司把傳送帶做成莫比烏斯帶的樣子。不止這些，（課件出示針式打印機(jī)）還有針式打印機(jī)的色帶，也做成莫比烏斯帶的形式。想想看，這樣做有什么好處?。?/p>

生：這樣不光正面能用，反面也能用。

師：充分利用每一個面，使各個面發(fā)揮它最大的作用，從而達(dá)到節(jié)約材料、延長使用壽命的目的。莫比烏斯帶這樣循環(huán)往復(fù)，給人一種永恒、無窮無盡的感覺，所以在一些美學(xué)設(shè)計上，就用到了它。（課件出示項鏈圖片）這是一些根據(jù)莫比烏斯帶設(shè)計的項鏈。（課件出示圖書館照片）哈薩克斯坦正準(zhǔn)備建一個新的國家圖書館，它的外觀就是以莫比烏斯帶為靈感設(shè)計的。（課件出示郵票）1982年，瑞士發(fā)行了一枚這樣的郵票，它也是根據(jù)莫比烏斯帶原理來設(shè)計的。

劉勁苓：這樣的教學(xué)是比較完整的。事實上，我們還可以找到更多有藝術(shù)效果的圖片，課堂上請學(xué)生欣賞和感受。不過沒關(guān)系，課堂難免留下遺憾。因為遺憾，我們才會有改進(jìn)的方向和努力的動力。讓我們在學(xué)習(xí)中不斷完善自己，不斷將數(shù)學(xué)文化傳播開來。

石雪納：非常感謝劉老師的建議！我們會在相互學(xué)習(xí)中完善自己，讓數(shù)學(xué)文化走進(jìn)課堂，走進(jìn)學(xué)生的心靈深處。

（劉勁苓，特級教師，北京市西城區(qū)教育研修學(xué)院，郵編：100031；石雪納，裴杰，北京第二實驗小學(xué)，郵編：100045）