正方形對(duì)角線性質(zhì)的再探究

王震

摘要：正方形是一種特殊的四邊形，其對(duì)角線除了相等、垂直且互相平分外，還有其他的性質(zhì).對(duì)正方形對(duì)角線的性質(zhì)進(jìn)行深入探索，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，提升思維的深度、廣度和創(chuàng)新能力.

關(guān)鍵詞：正方形;創(chuàng)新;興趣;思維

1 引言

正方形是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，因其具有獨(dú)特的圖形特點(diǎn)、圖形風(fēng)格、圖形性質(zhì)，也是中考的一個(gè)重要考點(diǎn)，特別是正方形的對(duì)角線更值得深入探究.下面就一起走進(jìn)正方形對(duì)角線的探究天地，共賞正方形的美景！

2 性質(zhì)探究

如圖1，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OG⊥CD，OF⊥BC，垂足分別為G，F(xiàn)，則圖形具有如下性質(zhì)：①OG=OF;②四邊形OFCG是正方形，且S正方形OFCG=14S正方形ABCD;③G，F(xiàn)分別是CD，BC的中點(diǎn);④△ODG，△OGC，△OCF，△OFB都是等腰直角三角形.

下面給出性質(zhì)①的幾種證明，供學(xué)習(xí)時(shí)借鑒.

證法1：三角形全等法.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，所以∠OCF=∠OCG=45°.

因?yàn)镺G⊥CD，OF⊥BC，所以∠OFC=∠OGC=90°.又OC=OC，所以△OFC≌△OGC.即得OG=OF.

證法2：三角形面積法.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，所以S△BOC=S△DOC=14S正方形ABCD.

因?yàn)镺G⊥CD，OF⊥BC，所以12BC·OF=12DC·OG.又因?yàn)锽C=CD，所以O(shè)G=OF.

這里僅提供兩種常見的證明方法，供參考.其余性質(zhì)的證明讀者感興趣的，可以嘗試自己完成.

3 性質(zhì)應(yīng)用

3.1 借助四邊形的面積，求正方形的邊長(zhǎng)

例1 （2021·重慶中考）如圖2，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，M是邊AD上一點(diǎn)，連接OM，過點(diǎn)O作ON⊥OM，交CD于點(diǎn)N.若四邊形MOND的面積是1，則AB的長(zhǎng)為（? ）.

A.1

B.2

C.2

D.22

解析：如圖3，過點(diǎn)O分別作OG⊥AD，垂足為G，OH⊥CD，垂足為H.根據(jù)性質(zhì)，得OG=OH.

∵OH⊥OG，OM⊥ON，

∴∠GOM=∠HON，

∠OGM=∠OHN.

∴△OGM≌△OHN.

故四邊形GOHD的面積等于四邊形MOND的面積，等于1.

由四邊形ABCD是正方形，則其面積為四邊形GOHD的面積的4倍，等于4，所以AB=2.

故選答案：C.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)正方形的特點(diǎn)，過正方形的中心引兩邊的垂線，利用三角形的全等，化已知四邊形的面積為正方形一角四邊形的面積，從而根據(jù)正方形的面積是一角四邊形面積的4倍計(jì)算即可.這個(gè)結(jié)論有著重要的應(yīng)用，若遇到填空題或選擇題是可以直接運(yùn)用，從而提高解題的效率.

3.2 構(gòu)造中位線，求中位線的長(zhǎng)

例2 （2021年天津）如圖4，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD的延長(zhǎng)線上，且CE=2，DF=1，G為EF的中點(diǎn)，連接OE，交CD于點(diǎn)H，連接GH，則GH的長(zhǎng)為?? .

解析：如圖5，過點(diǎn)O分別作OM⊥BC，垂足為M，ON⊥CD，垂足為N，連接OF.

根據(jù)性質(zhì)，得四邊形OMCN是正方形，所以MC=CE=2.因?yàn)镺M∥HN，所以O(shè)H=HE.因?yàn)镚為EF的中點(diǎn)，所以GH是△OEF的中位線.

所以GH=12OF.由ON=2，DN=2，得NF=DN+DF=3.

在Rt△ONF中，根據(jù)勾股定理，得

OF=ON2+FN2=22+32=13.

所以GH=132.故填答案：132.

點(diǎn)評(píng)：解答時(shí)，把握好如下三點(diǎn).（1）學(xué)會(huì)過正方形對(duì)角線交點(diǎn)引垂線構(gòu)造頂角正方形，為性質(zhì)的使用奠定基礎(chǔ);（2）靈活運(yùn)用三角形中位線定理找中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度;（3）活用正方形的性質(zhì)，定直角確定直角三角形，為勾股定理的使用創(chuàng)設(shè)解題條件.

3.3 利用性質(zhì)，判斷結(jié)論的正誤

例3 （2021·黑龍江省龍東地區(qū)）如圖6，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，連接DE，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，連接OF交CD于點(diǎn)G，連接CF，若CE=4，OF=6.則下列結(jié)論：①GF=2;②OD=2OG;③tan∠CDE=12;④∠ODF=∠OCF=90°;⑤點(diǎn)D到CF的距離為855.其中正確的結(jié)論是（? ）.

A. ①②③④??? B. ①③④

C. ①②③⑤D. ①②④⑤

解析：因?yàn)檎叫蜛BCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，所以O(shè)D=OB.因?yàn)辄c(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，

所以O(shè)F是△DBE的中位線，即OF∥BE，并且BE=2OF.因?yàn)镃E=4，OF=6，所以BE=12，BC=8.又OG是△DBC的中位線，所以O(shè)G=4，于是GF=2.故結(jié)論①正確.

因?yàn)檎叫蜛BCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，所以∠BCD=90°，∠BDC=45°.又OF∥BE，所以∠OGD=90°，于是∠BDG=∠DOG=45°，從而OD=2OG.故結(jié)論②正確.

在Rt△DCE中，因?yàn)镃E=4，BC=CD=8，所以tan∠CDE=12.故結(jié)論③正確.

因?yàn)閠an∠CDE=12<1=tan 45°，所以∠CDE<45°.因?yàn)镃F是直角三角形DEC斜邊上的中線，

所以∠DCF=∠CDE<45°.因?yàn)椤螼CD=∠ODC=45°，所以∠ODF=∠OCF<90°.故結(jié)論④錯(cuò)誤.

如圖7，過點(diǎn)D作DH⊥CF，交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.因?yàn)镃E=4，CD=8，從而DE=DC2+CE2=82+42

=45，從而CF=25.根據(jù)三角形面積不變性，得

12DC·GF=12CF·DH.

則DH=DC·GFCF=2×825=855.故結(jié)論⑤正確.

故選答案：C.

點(diǎn)評(píng)：解答時(shí)，要把握如下幾個(gè)關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn).一是熟練掌握正方形的性質(zhì)，特別是對(duì)角線平分對(duì)角性質(zhì);二是熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì);三是靈活運(yùn)用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì);四是靈活運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值，銳角的正切的性質(zhì)，這也是解題的有效方法;五是熟練掌握三角形面積不同表示法，這也是一種經(jīng)常用到的解題思路，特別是當(dāng)思維打不開時(shí)，聚焦這個(gè)思維方向，往往會(huì)收到柳暗花明的效果，值得多重視、多運(yùn)用、多關(guān)注.

4 解后反思

通過解題，得到如下啟示：（1）正方形是一種特殊的四邊形，其特殊性往往是解題的重要依據(jù)或是解題的重要途徑，因此常態(tài)學(xué)習(xí)中，要引起高度重視，并熟練掌握和活用.（2）以正方形為背景的考題非常容易與勾股定理、直角三角形斜邊上的中線、三角形的中位線定理、等腰直角三角形、圖形的面積、特殊角的三角函數(shù)值有機(jī)融合，成為培養(yǎng)知識(shí)綜合運(yùn)用能力、解題能力的有效載體，更值得重視.（3）對(duì)正方形的學(xué)習(xí)要從章內(nèi)綜合和跨章節(jié)綜合兩個(gè)層面去把握.章內(nèi)綜合要立足正方形的性質(zhì)，重點(diǎn)放在對(duì)角線的性質(zhì)、正方形的對(duì)稱性質(zhì);熟練掌握好正方形的對(duì)角線與邊之間的關(guān)系，這是一個(gè)非常關(guān)鍵的結(jié)論型關(guān)系，往往成為解題的“橋梁”.跨章節(jié)綜合立足于三角形的相似、三角函數(shù)，特別是特殊角的三角函數(shù)值問題，更是生成跨章節(jié)綜合的有效生長(zhǎng)點(diǎn)和重要結(jié)合部，在常態(tài)的學(xué)習(xí)過程中，要格外重視，且養(yǎng)成主動(dòng)向這個(gè)方向拓展、延伸的好習(xí)慣，進(jìn)而提升自我數(shù)學(xué)綜合解題能力;正方形與勾股定理的聯(lián)系也十分密切，正方形四個(gè)角是直角，對(duì)角線互相垂直、平分又生成直角，這些都為勾股定理的使用培植了知識(shí)沃土，為定理運(yùn)用創(chuàng)造了條件.當(dāng)然，正方形的跨章節(jié)綜合還有旋轉(zhuǎn)、平移、全等等類型，鑒于篇幅，在這里就不再贅述.