巧思妙法，破解不等式“恒成立”問題

范烯

摘要：不等式“恒成立”問題綜合考查函數(shù)、不等式等相關(guān)知識(shí)，以及相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，一直備受命題者青睞，是各級(jí)各類考試中的熱點(diǎn)問題之一.解決不等式“恒成立”問題，有技可循，有法可依，合理構(gòu)造，巧妙轉(zhuǎn)化，總結(jié)規(guī)律，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：不等式;恒成立;判別式;數(shù)形結(jié)合;分離參數(shù)

涉及不等式“恒成立”的問題，是高中數(shù)學(xué)函數(shù)與不等式的一個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn)，往往以含參不等式的形式出現(xiàn)，是一類極具交匯性、綜合性與創(chuàng)新性的復(fù)雜應(yīng)用問題，難度較大，形式多樣.不等式“恒成立”問題知識(shí)融合性強(qiáng)，解決時(shí)有一定的經(jīng)驗(yàn)規(guī)律與技巧方法可循，能有效考查學(xué)生各方面的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)能力等，具有較好的選拔性與區(qū)分度，倍受各方關(guān)注.

1 利用判別式法解決不等式“恒成立”問題

判別式法是通過引入?yún)?shù)進(jìn)行待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化，利用二次方程有根來合理構(gòu)建判別式，進(jìn)而結(jié)合不等式的求解來分析與解決.

例1 對(duì)于任意的正數(shù)a，b，不等式（2ab+a2）k≤4b2+4ab+3a2恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為.

分析：根據(jù)題目條件等價(jià)轉(zhuǎn)化對(duì)應(yīng)的“恒成立”不等式，構(gòu)建涉及分式不等式的恒成立問題，轉(zhuǎn)化為關(guān)于b的二次方程，利用方程有根并結(jié)合判別式構(gòu)建對(duì)應(yīng)的不等式，通過不等式的求解來確定參數(shù)的最值，進(jìn)而得以確定實(shí)數(shù)k的最大值.

解析：由不等式（2ab+a2）k≤4b2+4ab+3a2恒成立，

可得不等式k≤4b2+4ab+3a22ab+a2恒成立，即

k≤4b2+4ab+3a22ab+a2min.

設(shè)4b2+4ab+3a22ab+a2=λ（λ>0）.整理可得4b2+（4-2λ）ab+（3-λ）a2=0，將其看作

關(guān)于實(shí)數(shù)b的二次方程.

由判別式Δ=（4-2λ）2a2-16a2（3-λ）≥0，整理可得λ2≥8.又λ>0，解得λ≥2 2.

所以k≤4b2+4ab+3a22ab+a2min=2 2，即k的最大值為2 2，

故填答案：2 2.

點(diǎn)評(píng)：利用判別式法解決不等式“恒成立”問題，關(guān)鍵是通過不等式的恒等變換等進(jìn)行處理，巧妙引入?yún)?shù)轉(zhuǎn)化為涉及某一變?cè)囊辉畏匠?，利用方程有?shí)根所對(duì)應(yīng)的判別式非負(fù)來構(gòu)建不等式，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍，從而得以解決相應(yīng)的不等式“恒成立”問題.

2 利用數(shù)形結(jié)合法解決不等式“恒成立”問題

數(shù)形結(jié)合法的關(guān)鍵就是將“恒成立”不等式合理轉(zhuǎn)化為一個(gè)常規(guī)函數(shù)或一個(gè)含參函數(shù)的問題，通過函數(shù)圖象的“形”來直觀分析與處理.

例2 已知函數(shù)f（x）=ex-mx，當(dāng)x>0時(shí)，（x-2）f（x）+mx2+2>0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

分析：據(jù)題目條件對(duì)相應(yīng)的不等式進(jìn)行等價(jià)化歸與轉(zhuǎn)化，結(jié)合參變分離法進(jìn)行處理，并通過構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，把對(duì)應(yīng)的函數(shù)的“數(shù)”轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的“形”的問題，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合，考察含有參數(shù)的動(dòng)直線與定曲線的位置關(guān)系，從而建立相應(yīng)的關(guān)系式來確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)值.

解析：由（x-2）f（x）+mx2+2>0，得（x-2）＼5ex>-2mx-2，

則問題等價(jià)于“當(dāng)x>0時(shí)，（x-

2）ex>-2mx-2恒成立”.

構(gòu)造g（x）=（x-2）ex，h（x）=-2mx-2.

如圖1所示，根據(jù)條件，只要考察當(dāng)x>0時(shí)，曲線g（x）=（x-2）ex的圖象恒在直線h（x）=-2mx-2的上方即可.

對(duì)g（x）求導(dǎo)，可得g′（x）=（x-1）ex.

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）<0，g（x）單調(diào)遞減;當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）>0，g（x）單調(diào)遞增.

又當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g″（x）=xex>0，所以g（x）在（0，+∞）上是凹函數(shù).

而g（0）=h（0）=-2，所以只要滿足直線h（x）=-2mx-2的斜率不大于曲線g（x）=（x-2）ex在x=0處的切線的斜率即可.

所以有-2m≤g′（0）=-1，解得m≥12.

即實(shí)數(shù)m的取值范圍為12，+∞.

故填答案：12，+∞.

點(diǎn)評(píng)：利用數(shù)形結(jié)合法解決不等式“恒成立”問題，關(guān)鍵是結(jié)合“恒成立”的不等式進(jìn)行恒等變形與轉(zhuǎn)化，構(gòu)建與之對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)，通過一條定曲線與一動(dòng)直線的位置關(guān)系，利用圖形直觀確定臨界位置，這是數(shù)形結(jié)合處理此類問題的關(guān)鍵所在.

3 利用分離參數(shù)法解決不等式“恒成立”問題

分離參數(shù)法是解決含參不等式“恒成立”問題最常用的一類技巧方法，結(jié)合不等式進(jìn)行恒等變形，分離出相應(yīng)的參數(shù)，再從另一邊所對(duì)應(yīng)的函數(shù)來切入與處理.

例3 （清華大學(xué)2020年1月份中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)試卷文科·12）已知不等式x+aln x+1ex≥xa對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（? ）.

A.- e

B.-e2

C.-e

D.-2e

分析：合理結(jié)合題目條件中不等式的等價(jià)變形與轉(zhuǎn)化，再結(jié)合不等號(hào)兩邊的函數(shù)結(jié)構(gòu)特征，利用函數(shù)的同構(gòu)處理，通過函數(shù)求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而巧妙分離參數(shù)，最后利用函數(shù)的構(gòu)建以及其單調(diào)性，進(jìn)而確定相關(guān)參數(shù)的取值范圍.

解析：由x+aln x+1ex≥xa，變形可得x+e-x≥xa-aln x，則有x+e-x≥xa+ln x-a.

設(shè)函數(shù)f（x）=x+e-x（x>1），可知f（ln x-a）=ln x-a+e-lnx-a=ln x-a+xa.

那么x+e-x≥xa+ln x-aSymbol即a≥-xln x.

設(shè)g（x）=-xln x（x>1）.求導(dǎo)有g(shù)′（x）=-ln x-1ln2x.由g′（x）=0，可得x=e.

所以函數(shù)g（x）在（1，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減.

故g（x）≤g（e）=-e，從而a≥-e.故選擇：C.

點(diǎn)評(píng)：利用分離參數(shù)法解決不等式“恒成立”問題，關(guān)鍵是對(duì)含參不等式進(jìn)行合理恒等變形與轉(zhuǎn)化，巧妙分離出參數(shù)，進(jìn)而構(gòu)建對(duì)應(yīng)的函數(shù)，通過基本初等函數(shù)的單調(diào)性或借助函數(shù)求導(dǎo)處理來確定對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)函數(shù)的極值或最值，從而得以確定參數(shù)的取值范圍.

4 利用主參變換法解決不等式“恒成立”問題

主參變換法就是改變常規(guī)的主元與參數(shù)之間的關(guān)系與性質(zhì)，轉(zhuǎn)換思維角度，從“旁觀者”的視角來切入，實(shí)現(xiàn)問題的化歸與轉(zhuǎn)化.

例4 已知函數(shù)y=mx2-mx-6+m，若對(duì)于1≤m≤3，y<0恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為.

分析：根據(jù)題目條件，構(gòu)建不等式恒成立所對(duì)應(yīng)的不等式，借助主參變換處理，轉(zhuǎn)化為涉及參數(shù)m的一次不等式，利用題目條件以及參數(shù)m的限制條件構(gòu)建涉及參數(shù)x的不等式，進(jìn)而利用題目條件轉(zhuǎn)化相應(yīng)的一元二次不等式，通過求解不等式來確定對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)x的取值范圍.

解析：由y<0，得mx2-mx-6+m<0.

借助主參變換處理，整理可得（x2-x+1）m-6<0.

又由1≤m≤3，可知不等式x2-x+1<6m恒成立，

則x2-x+1<63，即x2-x-1<0，解得1- 52

所以，實(shí)數(shù)x的取值范圍為（1- 52，1+ 52）.

故填答案：（1- 52，1+ 52）.

點(diǎn)評(píng)：利用主參變換法解決不等式“恒成立”問題，關(guān)鍵是利用題目中的不等式進(jìn)行恒等變形與巧妙轉(zhuǎn)化，合理轉(zhuǎn)化主元與參數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)行主參變換處理，結(jié)合不等式恒成立加以巧妙化歸，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為不等式、函數(shù)等其他相關(guān)問題加以分析與處理.

涉及不等式“恒成立”的問題，解決的基本策略就是“含參”轉(zhuǎn)化與“分參”處理兩個(gè)基本思維角度.具體解決時(shí)，或通過“數(shù)”的視角，利用判別式法、分離參數(shù)法、主參變換法等處理;或通過“形”的視角，數(shù)形結(jié)合法等處理.綜合不等式的性質(zhì)以及函數(shù)的基本性質(zhì)等，合理構(gòu)造，巧妙轉(zhuǎn)化為較為熟悉的數(shù)學(xué)模型，從而得以破解不等式“恒成立”問題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)品質(zhì)、數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).