例談目標(biāo)函數(shù)法解答圓錐曲線最值問題的策略

高宗杰

與圓錐曲線相關(guān)的最值問題是高中數(shù)學(xué)常見的綜合性問題，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)求解圓錐曲線最值問題，是常見的解題方法之一，也是學(xué)生應(yīng)該掌握的解題策略.筆者從不同例題的不同目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建形式入手分析，分別闡述圓錐曲線最值問題求解的策略.

1 構(gòu)建分式函數(shù)

當(dāng)根據(jù)問題條件構(gòu)建的函數(shù)解析式為分式函數(shù)形式時(shí)，應(yīng)轉(zhuǎn)化為“x+ax”的相似形式，進(jìn)而運(yùn)用均值不等式x+ax≥2x·ax=2a（x>0，a>0）解相關(guān)最值.解答問題時(shí)，首先假設(shè)與問題相關(guān)的變量，進(jìn)而得到與之類似的分式函數(shù)解析式，運(yùn)用均值不等式得到問題答案.

例1 已知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1，若矩形ABCD四邊均與橢圓相切，則該矩形面積的最值為.

解：①當(dāng)矩形的一邊與坐標(biāo)軸平行時(shí)，可知矩形面積S=8.

②當(dāng)矩形的一邊不與坐標(biāo)軸平行時(shí)，由矩形和橢圓的對(duì)稱性，設(shè)其中一邊所在直線的方程為y=kx+m，則其對(duì)邊直線方程為y=kx-m.

由y=kx+m，x2+4y2=4消去y并整理，得1+4k2x2+8kmx+4m2-1=0.由題意可得Δ=0，即4k2+1=m2，則這兩條平行線的距離d1=2m1+k2.

設(shè)另外兩邊所在直線的方程分別為y=-1kx+n，y=-1kx-n.

同理可得4k2+1=n2，則這兩條平行線的距離d2=2n1+1k2.

所以，矩形面積S=d1d2=2m1+k2·2n1+1k2=4×9k2+1k2+2+4.

因?yàn)閗2+1k2≥2k2·1k2=2，當(dāng)且僅當(dāng)k2=1即k=±1時(shí)等號(hào)成立，所以

S=4×9k2+1k2+2∈8，10.

綜上所述，矩形面積的最大值為10，最小值為8.

2 構(gòu)建二次函數(shù)

當(dāng)構(gòu)建的目標(biāo)函數(shù)變或形如“ax2+bx+c”的形式時(shí)，則可以看成二次函數(shù)求最值進(jìn)而解答.在求解過程中，首先用假設(shè)的變量表達(dá)所求問題，得到形如ax2+bx+c的表達(dá)式后變形為ax+b2a2+4ac-b24a，然后在變量的范圍內(nèi)求出最值.下面結(jié)合案例介紹具體解題思路和步驟.

例2 已知橢圓T：x24+y2=1，若過點(diǎn)M（0，1）有兩條互相垂直的直線l1，l2，P為橢圓上的任意一點(diǎn)，記點(diǎn)P到l1，l2的距離分別為d1，d2，則d21+d22的最大值為.

解：①若直線l1，l2中一條直線的斜率為0，不妨設(shè)直線l1的方程為x=0，則直線l2的方程為y=1.設(shè)P（x，y），則d21+d22=x2+1-y2.

由點(diǎn)P在橢圓x24+y2=1上，得x2=4-4y2.

所以d21+d22=5-2y-3y2=-3y+132+163，y∈-1，1.

故當(dāng)y=-13時(shí)，d21+d22有最大值163，即d21+d22的最大值為433.

②若直線l1，l2斜率存在，且不為0，設(shè)直線l1的方程y=kx+1，即kx-y+1=0，則直線l2的方程y=-1kx+1，即x+ky-k=0.

則d1=kx-y+11+k2，d2=x+ky-k1+k2.

所以d21+d22=kx-y+12+x+ky-k21+k2=x2+y2-2y+1

=5-4y2+y2-2y=5-3y2-2y=-3y+132+163，y∈-1，1.

故當(dāng)y=-13時(shí)，d21+d22有最大值163，即d21+d22的最大值為433.

綜上所述，所求最大值為433.

點(diǎn)評(píng)：建立二次函數(shù)求解圓錐曲線的最值問題是比較常見的解題策略，將含有假設(shè)變量的表達(dá)式變形為ax+b2a2+4ac-b24a的形式后，根據(jù)變量取值范圍找到最值.可引申得到推廣例題.

推廣 已知P為拋物線y2=4x上的一點(diǎn)，Q為圓x-62+y2=1上的一點(diǎn)，則PQ的最小值為.

分析：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為14m2，m.由

圓x-62+y2=1的圓心為A6，0，

得

PA2=14m2-62+m2=116m2-162+20≥20.

所以PA≥25.故PQ的最小值為25-1.

3 構(gòu)建三角函數(shù)

當(dāng)假設(shè)變量為角度時(shí)，構(gòu)建的目標(biāo)函數(shù)為三角函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的有界性找到所求最值即可.解題時(shí)，首先找到需要假設(shè)的角度，其次表達(dá)所求問題，根據(jù)輔助角公式轉(zhuǎn)化為Asinωx+φ+B的形式，從而求得最值.具體解題步驟和思路如例3所示.

例3 已知橢圓C：x2a2+x2b2=1a>b>0，過原點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓過右焦點(diǎn)F，若∠FAB=α，α∈π12，π3，則此時(shí)橢圓離心率的最值為.

解：設(shè)橢圓的另一焦點(diǎn)為F′，連接AF′，BF′，BF，如圖1所示.四邊形AFBF′為矩形，可得AB=FF′=2c，F(xiàn)A=2c·cos α，F(xiàn)B=2c·sin α.

由橢圓定義，可得

FA+AF′=FA+FB=2a.

所以2c·cos α+2c·sin α=2a.

因此，離心率

e=ca=1sin α+cos α=12sinα+π4.

又α∈π12，π3，

所以

2sinα+π4∈22，63.

所以橢圓離心率最大值為63，最小值為22.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)問題中未提及角度變量時(shí)，可以根據(jù)已知條件特征假設(shè)相關(guān)角θ，也可以用sin θ或cos θ表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而用sin θ或cos θ表示所求的值，從而通過角θ的范圍，求得最解.如以下推廣例題，構(gòu)建三角函數(shù)求問題的最值.

推廣 已知點(diǎn)Q在橢圓C：x28+x24=1上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作圓x-12+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則AB的最小值為.

分析：圓x-12+y2=1的圓心C1，0，半徑r為1.如圖2所示，連接QC，交AB于點(diǎn)H，可得H是線段AB的中點(diǎn)，且AB⊥QC.

連接AC，BC，可得AC⊥QA，BC⊥QB，且QA=QB=QC2-1，AB=2AH=2QA·ACQC=21-1QC2.

設(shè)Q22cos θ，2sin θ，θ∈0，2π，

則QC2=22cos θ-12+2sin θ2=4cos θ-222+3，

當(dāng)cos θ=22時(shí)，QC2取得最小值3.

所以，AB的最小值為21-13=263.

通過上述不同解題策略的介紹，不難發(fā)現(xiàn)構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)求圓錐曲線的最值問題大致分為三種思路，其中三角函數(shù)、二次函數(shù)以及分式函數(shù)的構(gòu)建都能夠有效求解問題.通過對(duì)這些解題思路的分析探究，啟示學(xué)生應(yīng)該善于從試題中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié)解法，只有養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，才能收獲更多的積累.