巧用“一線三等角” 模型突破幾何壓軸難題

劉敏

摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中提出，在初中階段核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)包含幾何直觀和模型觀念.這就要求學(xué)生能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類，再根據(jù)形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型.本文中抓住數(shù)學(xué)問題中常見的“一線三等角”進(jìn)行研究分析，探究其在各類型問題中所表現(xiàn)出來的特征，從而更好地為提高學(xué)生解題能力，提升學(xué)生核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞：一線三等角;模型;幾何直觀

1 引出問題

2022年安徽中考試題中有這樣一道試題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊AD上，△BEF是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，EF，BF分別交CD于點(diǎn)M，N，過點(diǎn)F作AD的垂線交AD的延長線于點(diǎn)G．連接DF，則∠FDG＝°．

根據(jù)題意可以發(fā)現(xiàn)，在直線AD上，存在三個(gè)直角，∠A=∠BEF=∠G（或者∠A=∠BEF=∠EDM），出現(xiàn)這種情況，我們往往稱之為“一線三直角”的數(shù)學(xué)模型，從而利用兩個(gè)三角形全等或者相似即可.此題可根據(jù)“AAS”證△ABE≌△GEF，得出EG＝AB，GF＝AE，進(jìn)而推出DG＝GF.即可得出∠FDG的度數(shù).

若將“一線三直角”模型中的直角改為其他角度，這樣就形成了“一線三等角”的數(shù)學(xué)模型，在解答相關(guān)問題的過程中，很容易考慮到全等三角形或者相似三角形的判定.熟練把握“一線三等角”的相關(guān)特點(diǎn)，感悟其在全等或者相似三角形判定中的重要作用，便于引導(dǎo)學(xué)生在解答過程中快速掌握利用基本圖形來描述或者分析、解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力.

2 “一線三等角”在全等形問題中的應(yīng)用

例1閱讀下面的相關(guān)材料，并回答問題.

模型學(xué)習(xí)：如圖2，∠BAD＝90°，AB＝AD，BC⊥AC于點(diǎn)C，DE⊥AC于點(diǎn)E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D；又∠ACB＝∠AED＝90°，可以通過推理得到△ABC≌△DAE，進(jìn)而得到AC＝，BC＝．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“一線三等角”模型．

模型應(yīng)用：如圖3，△ABC為等邊三角形，BD＝CF，∠EDF＝60°，求證BE＝CD.

在“模型學(xué)習(xí)”中根據(jù)這種模型的特點(diǎn)，可以直接判斷，由“AAS”可證△ABC≌△DAE，可得AC＝DE，BC＝AE；對(duì)于“模型應(yīng)用”，根據(jù)條件可以發(fā)現(xiàn)∠B=∠C=∠EDF＝60°，符合“一線三等角”的特征，故由“AAS”可證△BDE≌△CFD，從而可證明得到BE＝CD.

3 “一線三等角”在相似形問題中的應(yīng)用

例2如圖4，D為△ABC的內(nèi)心，點(diǎn)E在AC上，且AD⊥DE，若DE＝2，AD＝CE＝3，試求AB的長．

通過審題發(fā)現(xiàn)，題干中有內(nèi)心，還有垂直，問題的目標(biāo)AB與條件AD，CE分屬三條直線.因此可以考慮延長DE看是否可以構(gòu)建“一線三等角”.于是延長ED交AB于點(diǎn)F，連接BD，如圖5，將線段AB分為AF和BF兩部分，分別計(jì)算.顯然，根據(jù)條件很容易證明△ADE≌△ADF，利用勾股定理求得AE的長度，即為AF的長度.再根據(jù)△ADE≌△ADF，可以得到∠AFD=∠AED，故有∠BFD=∠CED.利用三角形內(nèi)角和可推理計(jì)算得到∠ABD＝∠CBD＝∠CDE，從而可得到△BFD∽△DEC，再利用相似，列比例式求得BF.BF與AF相加即可求得AB．

4 “一線三等角”在一次函數(shù)中的應(yīng)用

例3如圖6坐標(biāo)系中，O（0，0），A（3，33），B（6，0），將△OAB沿直線CD折疊，使點(diǎn)A恰好落在線段OB上的點(diǎn)E處，若OE＝65，求AC∶AD的值．

根據(jù)題意可知，例3符合“一線三等角”模型，從而可以考慮使用一線三等角進(jìn)行解題.過點(diǎn)A作AF⊥OB于F，如圖7.根據(jù)已知條件得到AF＝33，OF＝3，OB＝6，求得∠AOB＝60°，推出△AOB是等邊三角形，得到∠AOB＝∠ABO＝60°.根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠CED＝∠OAB＝60°，求得∠OCE＝∠DEB，從而得△CEO∽△EDB，則OEBD=CEED=COBE.設(shè)CE＝a，ED＝b，CA＝a，CO＝6-a，AD＝b，DB＝6-b.又BE=OB-OE=245，于是根據(jù)相似比得到結(jié)論．

5 “一線三等角”在反比例函數(shù)中的應(yīng)用

例4如圖8，Rt△OAB的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，∠AOB=90°，AO=2BO.當(dāng)點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=1x（x>0）的圖象上移動(dòng)時(shí)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)滿足的函數(shù)解析式為.

分析條件發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=1x上，∠AOB=90°，直角邊OA∶OB= 2∶1.根據(jù)“種瓜得瓜，種豆得豆”的道理，可以“預(yù)感”點(diǎn)B也在反比例函數(shù)上，即點(diǎn)B的軌跡也應(yīng)該是“遺傳”了點(diǎn)A的形狀信息，于是不妨構(gòu)造“一線三等角”，結(jié)合“反比例函數(shù)面積性質(zhì)”來快速解題.

首先假設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)滿足的函數(shù)解析式是y＝kx（k≠0），如圖9，過點(diǎn)A，B分別作x軸的垂線，垂足為C，D.易得△AOC∽△OBD，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，求得S△AOC∶S△BOD＝2∶1，進(jìn)而求得答案．當(dāng)然，本題點(diǎn)B只能在第二象限，所以還要寫清楚自變量的取值范圍.

6 “一線三等角”在二次函數(shù)中的應(yīng)用

例5如圖10，拋物線y＝ax2+bx+2經(jīng)過A（-2，0），B-12，0兩點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，試判斷拋物線上是否存在點(diǎn)H滿足∠AMH＝90°？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

根據(jù)題意容易求得該拋物線的解析式，從而得到頂點(diǎn)M的坐標(biāo).判斷∠AMH的存在性，即判斷直角三角形的存在性，就會(huì)用到兩點(diǎn)間的距離公式，再結(jié)合勾股定理對(duì)三邊關(guān)系進(jìn)行計(jì)算判斷，這樣處理，計(jì)算量會(huì)很大.根據(jù)圖示發(fā)現(xiàn)它符合“一線三等角”模型，運(yùn)用此模型來解答問題會(huì)變得簡單，且計(jì)算也簡便.如圖11，作MH⊥AM交x軸于點(diǎn)K（x，0），作MN垂直x軸于點(diǎn)N.根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠AMN＝∠NKM.根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得ANMN= MNNK，由此求出x，即得k的坐標(biāo).再由直線MK與拋物線方程聯(lián)立，可得點(diǎn)H的坐標(biāo)．

再如：如圖12所示，拋物線y＝ax2+bx+4過A（2，0），B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作x軸的平行線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，連接AC，BC．點(diǎn)P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m＞4）．若∠ACP＝45°，求m的值.

對(duì)于此題，我們也是很難快速確定點(diǎn)P的位置，為此可以利用“一線三等角”模型，過點(diǎn)A作AC的垂線AE，并使得AE=AC，如圖13，易得點(diǎn)E的坐標(biāo).連接FC，交拋物線于點(diǎn)P，將直線EC的解析式代入拋物線求得交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得除點(diǎn)C外的另一交點(diǎn)P，思路清晰，方法簡單，問題迎刃而解.

7 “一線三等角”在圖形變換中的應(yīng)用

例6等邊△ABC邊長為6，P為BC邊上一點(diǎn)，∠MPN＝60°，且PM，PN分別于邊AB，AC交于點(diǎn)E，F(xiàn)．如圖14所示，若點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，且∠MPN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CF＝AE＝2時(shí)，求PE的長．

根據(jù)題意，△ABC是等邊三角形，∠MPN＝60°，可知∠B=∠C=∠MPN，符合“一線三等角”模型.因此可以考慮使用該模型下的解題基本思路.通過證明△BPE∽△CFP，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等，再設(shè)BP＝x，則CP＝6-x，即可求得BP的長，進(jìn)而求得PE的長．

8 “一線三等角”在動(dòng)態(tài)問題中的應(yīng)用

如圖15和圖16，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C＝34．點(diǎn)K在AC邊上，點(diǎn)M，N分別在AB，BC上，且AM＝CN＝2．點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)沿折線MB-BN勻速移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)N時(shí)停止；而點(diǎn)Q在AC邊上隨P移動(dòng)，且始終保持∠APQ＝∠B．在點(diǎn)P處設(shè)計(jì)并安裝一掃描器，按定角∠APQ掃描△APQ區(qū)域（含邊界），掃描器隨點(diǎn)P從M到B再到N共用時(shí)36 s．若AK＝94，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)K被掃描到的總時(shí)長．

動(dòng)態(tài)問題，往往作為數(shù)學(xué)試卷中的壓軸題，對(duì)學(xué)生來說此類問題難度很大，根據(jù)AB＝AC，∠APQ＝∠B，可以判斷出該問題所考查的是“一線三等角”模型，從而對(duì)于解題也就心中有數(shù)了，起碼為下一步的解答找到了突破口，抓住這一切入點(diǎn)，利用關(guān)聯(lián)三角形的相似，判斷得到△ABP∽△PCQ，則有ABPC= BPCQ，再根據(jù)題干具體要求分析研究，進(jìn)而求解本題答案．

通過上述問題的研究，可以感受“一線三等角”模型在各個(gè)知識(shí)背景下的應(yīng)用.借助構(gòu)造一線三等角模型解題的基本手段，從復(fù)雜的圖形中分離出基本圖形，具有將問題化繁為簡的效果，同時(shí)可以幫助我們?cè)诮忸}中快速找到解決問題的突破口.當(dāng)然，希望“一線三等角”模型能起到拋磚引玉的作用，更希望學(xué)生能形成比較完善的知識(shí)儲(chǔ)備，從而提高基本圖形的敏銳觀察力，以及不斷提升幾何直觀能力和問題建模思想.