探究方根本質(zhì) 尋求問題解答

蔣飛

摘要：求平方根與立方根是最簡(jiǎn)單的開方運(yùn)算，是實(shí)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)，也是學(xué)好后續(xù)內(nèi)容（如二次根式、一元二次方程、勾股定理）的必備知識(shí).在教師眼里，它內(nèi)容單薄，不是教學(xué)的重點(diǎn)．但對(duì)于剛剛接觸方根的初一學(xué)生來說，卻是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，不易突破.其實(shí)，學(xué)好方根最為關(guān)鍵的環(huán)節(jié)是透徹理解方根的概念，將容易混淆的概念進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系，反復(fù)練習(xí)．結(jié)合平方根、立方根有關(guān)典型問題的分類解析，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)、抽象能力、運(yùn)算能力、數(shù)據(jù)觀念及應(yīng)用意識(shí)等核心素養(yǎng)．

關(guān)鍵詞：方根意義；分類解析；核心素養(yǎng)

1 用定義求方根

例1填空：5的平方根是；9的算術(shù)平方根是；3－27的立方根是．

分析：由平方根的定義知道正數(shù)的平方根是一對(duì)相反數(shù)，它們的平方等于被開方數(shù)，其中正的平方根是它的算術(shù)平方根；負(fù)數(shù)沒有平方根，也不存在算術(shù)平方根；任何一個(gè)數(shù)都有立方根，其符號(hào)與原數(shù)的符號(hào)相同．

解：因?yàn)椤?2=5，所以5的平方根是±5；

因?yàn)?＝3，而3的算術(shù)平方根是3，所以9的算術(shù)平方根是3；

因?yàn)?－27=－3，又－3的立方根是－33，因此3－27的立方根是－33 ．

點(diǎn)評(píng)：正確理解平方根、立方根、算術(shù)平方根的定義是解題的基礎(chǔ)，依據(jù)乘方與開方互為逆運(yùn)算是解題的重要策略．

2 用方根定義解方程

例2解下列方程：

（1）5x－32=2014； （2）2x－13=686 ．

分析：把5x－32，x－13均看成an的形式，再根據(jù)乘方與開方互為逆運(yùn)算求解．

解：（1）因?yàn)椤?22=814，所以5x－3=±92.則5x=3±92，即x=153±92，進(jìn)一步解得x=32或x=－310.

（2）原方程可化為x－13=343.因?yàn)?3=343，所以x－1=7，即x=8 ．

點(diǎn)評(píng)：解此類方程的實(shí)質(zhì)還是求一個(gè)數(shù)的方根的運(yùn)算，其解題過程是由繁到簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化過程，即逐步化為xn=a的形式．

3 用方根性質(zhì)求值

例3已知3x+2和2x－12是m的平方根，求m的值．

分析：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且它們互為相反數(shù).互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0 ．

解：根據(jù)題意，分兩種情況.

（1）因?yàn)?x+2和2x－12都是m的平方根，所以

（3x+2）與（2x－12）互為相反數(shù).

所以（3x+2）+ （2x－12）＝0.

解得x=2，并代入m=3x+22中，得m=64；

（2）當(dāng)3x+2＝2x－12時(shí)， x=－14，此時(shí)

m=3x+22=－402=1 600 ．

綜上可得m的值為64或1 600 ．

點(diǎn)評(píng)：習(xí)慣上我們意識(shí)到一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)不同的平方根，但此處用代數(shù)式表示的兩個(gè)數(shù)并非一定不相等，此處容易忽略3x+2與2x－12相等的情形．

4 用方根估算實(shí)數(shù)的大小

例4（1）估算8－40在哪兩個(gè)自然數(shù)之間；

（2）比較－2+12與－3+12的大??；

（3）表示311的整數(shù)部分和小數(shù)部分．

分析：第（1）問中要估算8－40的大小，只需確定40在哪兩個(gè)自然數(shù)之間；第（2）問中，只需比較分子的大??；第（3）問中，需將311把寫成99的形式，再來估算解答.

解：（1）由36<40<49，即6<40<7，可得－7<－40<－6，所以1<8－40<2，即8－40在自然數(shù)1與2之間.

（2）因?yàn)?<3， 即2+1<3+1， 所以可得－2+12>－3+12.

（3）因?yàn)?11=99，且81<99<100，所以9<311<10.因此311的整數(shù)部分為9，小數(shù)部分為311－9 ．

點(diǎn)評(píng)：估計(jì)一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的大小時(shí)，應(yīng)確定與這個(gè)數(shù)相鄰的兩個(gè)整數(shù)； 比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小時(shí)，先要統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，再比較大小．

5 用被開方數(shù)與結(jié)果的變化規(guī)律求值

例5（1）已知5.03=2.243，若x2=2 012，則x的值為；

（2）設(shè)2=a，3=b，用含a，b的式子表示0.54為．

分析：算術(shù)平方根與被開方數(shù)的變化規(guī)律，即被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右（或左）移動(dòng)兩位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)相應(yīng)地向右（或左）移動(dòng)一位 ．

解：（1）因?yàn)?.03=2.243，所以503=22.43.而2 012=4×503，因此2 012=4×503=2503=2×22.43=44.86.

又±44.862=2 012， 所以x=±44.86.

（2）因?yàn)?.54=1100×54=1100×9×2×3，因此0.54=3102×3=3102×3=310ab．

點(diǎn)評(píng)：化簡(jiǎn)時(shí)，對(duì)于算術(shù)平方根中含有完全平方數(shù)的因數(shù)，可以移到根號(hào)外；移出時(shí)，去掉冪指數(shù)，即a2b=aba>0，b>0．

6 利用a的雙重非負(fù)性解題

例6若a，b滿足3a+5b=7 ，則S=2a－3b的取值范圍是.

分析：由算術(shù)平方根的定義可得到算術(shù)平方根的非負(fù)性，即a≥0a≥0．解決此題把S視為一個(gè)常數(shù)，利用二元一次方程組的知識(shí)可求出a，b，再用非負(fù)數(shù)的知識(shí)求出S的范圍．

解：記3a+5b=7，①

2a－3b=S.②

①×3+②×5，得19a=21+5S ，則21+5S≥0，解得S≥－215；

①×2-②×3，得19b=14－3S，則14－3S≥0，解得S≤143．

綜上，可得－215≤S≤143．

點(diǎn)評(píng)：利用算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性，往往是挖掘題目隱含條件和進(jìn)行求解的常用方法．這類問題有一定的綜合性和難度，特別對(duì)于初學(xué)“實(shí)數(shù)”的學(xué)生來說要細(xì)心體會(huì)，從本質(zhì)上把握．

7 練習(xí)設(shè)計(jì)

（1）已知x－2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根；

（2）已知一個(gè)正數(shù)x的平方根分別為a+1和a－3，求x；

（3）解方程8x－13=27;

（4）已知實(shí)數(shù)a滿足2011－a+a－2012=a，求a－20112的值；

答案提示：（1）x2+y2的平方根是±10；

（2）a=1， x=4；

（3）x=52；

（4）因?yàn)閍≥2012，去絕對(duì)值得（a－2011）+a－2012=a，進(jìn)一步化簡(jiǎn)求得a-2 0112＝2012．

例題教學(xué)要重視問題的變式，設(shè)計(jì)好問題之間的關(guān)聯(lián)，如本文中的幾個(gè)問題，在牢固掌握方根的概念及本質(zhì)的前提下，由易到難，通過有層次有梯度的問題串聯(lián)，進(jìn)行概念的對(duì)比鑒別與運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)、抽象能力、運(yùn)算能力、數(shù)據(jù)觀念以及應(yīng)用意識(shí)等核心素養(yǎng)．