“互聯(lián)網(wǎng)+”高中數(shù)學(xué)幾何探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)的實(shí)踐與研究

李玉玲?李紅慶

【摘要】高中數(shù)學(xué)幾何探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)既包括狹隘意義下立體幾何、解析幾何，也包括函數(shù)的圖像、解三角形測(cè)量問(wèn)題，還包括向量幾何問(wèn)題。幾何探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)既可以是傳統(tǒng)意義下的實(shí)物操作實(shí)驗(yàn)，也可以是應(yīng)用信息技術(shù)展示動(dòng)態(tài)的實(shí)驗(yàn)。

【關(guān)鍵詞】幾何探究性;實(shí)驗(yàn)教學(xué);實(shí)踐與研究

從廣義來(lái)講，高中幾何教學(xué)涉及高中數(shù)學(xué)的方方面面，既包括狹隘意義的立體幾何、解析幾何，也包括廣義意義的函數(shù)的圖像、解三角形的測(cè)量問(wèn)題，還包括充當(dāng)代數(shù)與幾何橋梁的向量幾何。幾何探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)既可以選擇購(gòu)置幾何模型或動(dòng)員學(xué)生自做幾何模型進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，也可以應(yīng)用沙盤、塑泥手工作業(yè)來(lái)動(dòng)手演示，還可以借助信息技術(shù)進(jìn)行探究性實(shí)驗(yàn)。在“互聯(lián)網(wǎng)+”環(huán)境下，上述幾何探究性教學(xué)實(shí)驗(yàn)都可以云計(jì)算和在網(wǎng)絡(luò)畫板上完成，保持了探究性實(shí)驗(yàn)的原汁原味，也可以直觀演示和記錄動(dòng)態(tài)軌跡?，F(xiàn)談一談在網(wǎng)絡(luò)畫板環(huán)境下高中數(shù)學(xué)幾何探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)的一些實(shí)踐與研究。

一、立體幾何探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)的實(shí)踐與研究舉隅

1.立體幾何探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)。立體幾何探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)選取問(wèn)題常常具備3個(gè)特征：不具備條件完備性、結(jié)論的不確定性和思維過(guò)程的發(fā)散性。設(shè)計(jì)這類問(wèn)題要從構(gòu)建背景新穎、思辨性靈活和體現(xiàn)核心素養(yǎng)等方面考量，進(jìn)而培育學(xué)生的創(chuàng)新與探究意識(shí)。

例：如圖1，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形ABC是直角三角形，其中AB⊥BC，AB=3m，BC=4m，CC1=4n，M、N分別BB1和AA1的中點(diǎn)。

（1）探究：CN⊥平面CMN在什么條件下成立;

（2）當(dāng)點(diǎn)O在平面C1A上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)O在何處，且λ=m：n為何值時(shí)球O是直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球。

探究性實(shí)驗(yàn)：①通過(guò)網(wǎng)絡(luò)畫板計(jì)算功能，分別計(jì)算CN、CN1、CC1的長(zhǎng)度，檢驗(yàn)是否滿足NC2+CN2=CC12，由勾股定理的逆定理來(lái)判斷CN⊥NC1是否成立，同樣檢驗(yàn)CN⊥NM是否成立。

②根據(jù)外接球的性質(zhì)，過(guò)△ABC的外心O1，作底面ABC的垂線O1O2，球心O在此直線上，拖動(dòng)點(diǎn)O，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)O是O1O2的中點(diǎn)時(shí)，且λ是任意正數(shù)。

探究性實(shí)驗(yàn)必須與課堂教學(xué)實(shí)際情境以及學(xué)科素養(yǎng)相融合，盡量把探究性實(shí)驗(yàn)定位在“輔助性”教學(xué)位置上，讓學(xué)生能運(yùn)用到紙質(zhì)環(huán)境下的思考與操作。

2.立體幾何折疊探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)。立體幾何探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)也經(jīng)常選取折疊問(wèn)題，它包含了數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，通過(guò)探究性實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生親自參與體驗(yàn)折疊問(wèn)題中平面圖形的不變量、不變位置關(guān)系，空間圖形中出現(xiàn)變化量與變化位置關(guān)系，培育學(xué)生的空間想象能力與創(chuàng)新意識(shí)。

例：在正三角形△ABC中，E、F、D分別CA、AB、BC上的點(diǎn)，設(shè)，，，且O﹤χ﹤1（如圖2），將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B的大小為θ（O﹤θ﹤π），連結(jié)A1D，A1D（如圖3）。

（1）判斷χ取什么值時(shí)，A1F⊥平面BED;

（2）拖動(dòng)χ的值，觀察二面角B-A1D-F的隨χ的變化規(guī)律。

探究性實(shí)驗(yàn)：①先拖動(dòng)平面A1EF，使得θ=90o，再拖動(dòng)χ觀察圖形的變化，發(fā)現(xiàn)當(dāng)χ=1/3左右時(shí)，EF⊥AB，此時(shí)，易知A1F⊥FE，A1F⊥BF，從而得到結(jié)果。

②拖動(dòng)χ觀察二面角B-A1D-F的大小隨著χ的變大而變小，當(dāng)χ→1時(shí)，二面角B-A1D-F的大小趨近于0。

探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)的主要目的是培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手實(shí)際操作與真實(shí)感受立體幾何中的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，教學(xué)重點(diǎn)不是解決具體的計(jì)算問(wèn)題，而是親歷體驗(yàn)幾何圖形?；谶@種想法，還把點(diǎn)A1設(shè)置在線段AP間移動(dòng)，由拖動(dòng)b和點(diǎn)P來(lái)演示變式情形下探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)。

二、解析幾何探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)的實(shí)踐與研究舉隅

1.解析幾何探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)。解析幾何中探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)選取問(wèn)題常常具備4個(gè)特征：條件開放、結(jié)論不確定性、圖形難畫和涉及平面幾何性質(zhì)難找。同時(shí)也考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象等核心素養(yǎng)，特別是數(shù)學(xué)運(yùn)算還須具備靈活運(yùn)算手段與方法的選擇優(yōu)化。

例：如圖4，已知橢圓C：χ2/4+y2=1，設(shè)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，0）、Q（4，0），與C相交于兩點(diǎn)A（χ1，y1），B（χ2，y2），直線AQ與C另一交點(diǎn)D（χ3，y3），直線BQ與C另一交點(diǎn)E（χ4，y4），若直線DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2.5，3），求的方程。

探究性實(shí)驗(yàn)：拖動(dòng)變量m，觀察發(fā)現(xiàn)直線與DE是傾斜角互補(bǔ)，即斜率是相反數(shù)，當(dāng)然這個(gè)發(fā)現(xiàn)需要通過(guò)運(yùn)算來(lái)檢驗(yàn)。但可以先設(shè)直線DE的方程為χ=-my+t，最后來(lái)驗(yàn)證直線的方程是χ=my+1。再拖動(dòng)變量m，當(dāng)直線DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí)，估計(jì)的值m為-0.5。這個(gè)實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證應(yīng)選擇適當(dāng)算法才能簡(jiǎn)捷解決，否則運(yùn)算相當(dāng)復(fù)雜。

算法梳理：第一步，聯(lián)立方程χ=-my+t和χ2+4y2=4，消去χ，得到關(guān)于y的二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理，得到兩根和、積關(guān)系式;第二步，由Q和D兩點(diǎn)得到直線QD的方程，與C的方程聯(lián)立，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，同理得到點(diǎn)B的坐標(biāo);第三步，根據(jù)點(diǎn)A、P、B三點(diǎn)共線，得到直線的方程為χ=my+1，也得到t=1;第四步，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入方程χ=-my+1，得m=-0.5。

2.解析幾何精準(zhǔn)畫圖探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)。圖形難畫、問(wèn)題難想也是解析幾何探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)需要著重考慮的問(wèn)題，有些問(wèn)題看似好理解，真正透徹講清晰也是很難的。如果借助網(wǎng)絡(luò)畫板進(jìn)行探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)，那么這樣的問(wèn)題就能迎刃而解。

例：（深圳市2022調(diào)研試題11題）已知圓A的半徑為1，圓心A到定直線的距離為d，動(dòng)圓C與圓A和直線都相切，圓心C的軌跡為如圖5所示的兩條拋物線，記這兩條拋物線的焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離分別為p1、p2，則。

探究性實(shí)驗(yàn)：考慮圓C1與圓A外切情形時(shí)，點(diǎn)C1到點(diǎn)A的距離為r1+1，其準(zhǔn)線為χ=-1;考慮圓C2與圓A內(nèi)切情形時(shí)，點(diǎn)C1到點(diǎn)A的距離為r2-1，其準(zhǔn)線為χ=1，實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以由圖6清晰呈現(xiàn)。

先拖動(dòng)點(diǎn)C1，圓C1總是與圓A內(nèi)切，與直線相切，點(diǎn)C1形成軌跡是外圍拋物線;再拖動(dòng)點(diǎn)C2，圓C2總是與圓A外切，與直線相切，點(diǎn)C2形成軌跡是里面拋物線。

運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算及變換解決橢圓、雙曲線的離心率問(wèn)題是通常的方法，但在解客觀題中把條件轉(zhuǎn)化成平面幾何問(wèn)題，利用平面幾何的性質(zhì)進(jìn)行求解就會(huì)起到四兩撥千斤的作用，簡(jiǎn)捷、直觀、清晰地得到結(jié)論。

例：過(guò)雙曲線C：χ2/a2-y2/b2=1（a﹥0，b﹥0）的右頂點(diǎn)A作斜率為-1的直線與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為B，D，若，則C的離心率為。

探究性實(shí)驗(yàn)：根據(jù)平面幾何性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，則yD：yB=3：1，邊拖動(dòng)變量，邊觀察yD：yB的比值變化，當(dāng)其比值接近3時(shí)，此時(shí)就得到了的近似值（見(jiàn)圖7）。

網(wǎng)絡(luò)畫板是張景中院士的研究團(tuán)隊(duì)為幾何探究性教學(xué)量身打造互動(dòng)交流平臺(tái)，在立體、解析幾何上非常好用，只要用心思考也可以用在代數(shù)、三角函數(shù)、向量幾何等模塊中。

三、向量幾何探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的實(shí)踐與研究舉隅

1.用向量探究平面幾何問(wèn)題實(shí)驗(yàn)教學(xué)。向量幾何在數(shù)學(xué)中起到聯(lián)系代數(shù)與幾何的橋梁作用，屬于數(shù)學(xué)工具性內(nèi)容。它能簡(jiǎn)捷表示點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，又有代數(shù)運(yùn)算的功能。因此，以向量幾何為背景的探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)更需要實(shí)踐與研究。

例：在△ABC中，有，，

，其中是區(qū)間（0，1）的變量，設(shè)△ABC的重心為G，△DEF的重心為G1，拖動(dòng)觀察點(diǎn)G與點(diǎn)G1的位置關(guān)系，給出結(jié)論與算法分析。

探究性實(shí)驗(yàn)：如圖8所示，在平面內(nèi)取一點(diǎn)P，作，，拖動(dòng)變量，觀察向量和的變化，發(fā)現(xiàn)向量紋絲不動(dòng)，說(shuō)明了兩個(gè)三角形的重心重合。

算法分析：第一步，根據(jù)向量線性運(yùn)算，算出以，為基底的向量，于是得;第二步，分別算出以，為基底的向量，，根據(jù)三角形重心的向量公式，得;第三步，再由，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)向量表達(dá)式一樣，從而證明了兩個(gè)三角形重心重合。

2.用平面幾何探究向量問(wèn)題實(shí)驗(yàn)教學(xué)。向量幾何具有工具性，用向量解決平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何的問(wèn)題比較直觀、簡(jiǎn)捷。但向量表示三角形的四心，除了三角形的重心可借用向量的基本定理，由線性表示外，其他的外心、內(nèi)心、垂心用向量的基本定理表示還是比較困難的，對(duì)比可以借用平面幾何的性質(zhì)和正余弦定理結(jié)合向量的基本定理進(jìn)行表示。

例：已知I、O、H分別為△ABC的內(nèi)心、外心、垂心，記BC=a，CA=b，AB=c，探究怎樣以、為基底，分別表示、、。

探究性實(shí)驗(yàn)：如圖9（a），拖動(dòng)頂點(diǎn)C觀察向量、的變化，分別計(jì)算線段AB1，AB的長(zhǎng)度，計(jì)算它們比值，再計(jì)算b與（a+b+c）的比值，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)比值完全一樣，啟發(fā)解題的尋找方向。

解法分析：根據(jù)探究性實(shí)驗(yàn)給予解題方向，借用平面幾何中三角形內(nèi)角平分線成比例定理，應(yīng)用好比例性質(zhì)，就得到結(jié)果，詳細(xì)解答見(jiàn)文。

探究性實(shí)驗(yàn)：如圖9（c）所示，拖動(dòng)點(diǎn)C和P，發(fā)現(xiàn)線段CH長(zhǎng)度總是OM長(zhǎng)度的2倍，就需要作輔助線構(gòu)造平行四邊形OMNK，這樣就能找到AC1與AC的比值了，即得到的表達(dá)式。如圖9（c）所示，根據(jù)歐拉定理，由，即可得到的表達(dá)式。

四、其他幾何探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)的實(shí)踐與研究舉隅

1.導(dǎo)數(shù)幾何探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)。應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的大量試題中需要求參量的取值范圍，這類試題由于選擇是超越函數(shù)，函數(shù)圖像形狀復(fù)雜，關(guān)鍵的極值、間斷點(diǎn)、最值點(diǎn)難求。雖然應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的確可以描述函數(shù)圖像的大致走勢(shì)，但實(shí)際計(jì)算過(guò)程也相當(dāng)復(fù)雜。因此，通過(guò)網(wǎng)絡(luò)畫板進(jìn)行探究性演示實(shí)驗(yàn)教學(xué)可以幫助學(xué)生從根本上理解函數(shù)圖像，理解應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的意義。

例：已知函數(shù)?（χ）=（χ+1）-mχ（1-χ）-1對(duì)于任意的x∈（0，1），恒有?（x）﹥1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

探究性實(shí)驗(yàn)：如圖10所示，拖動(dòng)變量m時(shí)，由小到2時(shí)，觀察函數(shù)在區(qū)間（0，1）內(nèi)圖像，函數(shù)值均大于1;當(dāng)拖動(dòng)變量m時(shí)，由2到無(wú)窮值時(shí)，觀察函數(shù)在區(qū)間（0，1）內(nèi)的圖像，圖像變得很復(fù)雜，總有小于1的情形。有時(shí)也可以通過(guò)演示實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)束與純理論計(jì)算結(jié)果不吻合，探究性實(shí)驗(yàn)不僅有輔助教學(xué)作用，其實(shí)幾何探究性實(shí)驗(yàn)還有檢驗(yàn)性作用。

2.三角函數(shù)幾何探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)。三角函數(shù)具有函數(shù)的共性，但也有自身的個(gè)性，尤其是剛接觸弧度制時(shí)，學(xué)生不理解開始時(shí)弧度制的角是繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成，作圖像時(shí)又是以x軸為角。建立弧度制就要讓角由實(shí)數(shù)表示，嚴(yán)格意義上講弧度本身是沒(méi)有單位，它的含義是弧長(zhǎng)長(zhǎng)度與半徑長(zhǎng)的比值，這個(gè)比值就是沒(méi)有單位，相對(duì)于角度制的度，就建立了弧度制的弧度。在三角函數(shù)中，幾何探究性實(shí)驗(yàn)的重點(diǎn)在于探究弧度與函數(shù)圖像的關(guān)系。

例：設(shè)計(jì)一個(gè)模型，能幫助初學(xué)者理解弧度制的三角函數(shù)圖像。

探究性實(shí)驗(yàn)：如圖11所示，以Hz為軸作底面半徑為1的圓柱側(cè)面，在圓柱側(cè)面繞一個(gè)螺旋曲線，把這條曲線壓縮到底面，就形成了弧度制為單位的角。再設(shè)一條y軸，曲線在y軸的投影就是對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，把曲線拉長(zhǎng)放在x軸上就成了以弧度為單位的橫軸了。做成實(shí)物模型，教師注意誘導(dǎo)分析，學(xué)生就能理解以弧度制為單位的三角函數(shù)圖像。

3.不等式幾何探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)。啟發(fā)于教材關(guān)于兩個(gè)正數(shù)的均值不等式的模型構(gòu)造（圖12 a），在探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)中設(shè)計(jì)了三個(gè)正數(shù)的均值不等式模型（圖12b），先拖動(dòng)m與n的值，讓學(xué)生觀察EG、GF、EF的長(zhǎng)度有什么規(guī)律？在什么情形下能使EF=EG+GF。此時(shí)，發(fā)現(xiàn)m與n有什么關(guān)系？然后讓學(xué)生拖動(dòng)a、b、c的值，把得到結(jié)論分享給同學(xué)。

幾何探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué)重點(diǎn)是理解事物的幾何形態(tài)的位置關(guān)系，培育學(xué)生的直觀想象能力與意識(shí)，使其借助圖形語(yǔ)言理解數(shù)學(xué)的抽象性。當(dāng)然探究性實(shí)驗(yàn)只是一種教學(xué)輔助工具，真正要把數(shù)學(xué)學(xué)好還需要學(xué)生具備熟練的運(yùn)算能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S。

【參考文獻(xiàn)】

[1]李紅慶.跟我學(xué)解高中數(shù)學(xué)題（第2版）[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2021.

（基金項(xiàng)目：本文系教育部全國(guó)規(guī)劃課題“互聯(lián)網(wǎng)+高中數(shù)學(xué)幾何探究性教學(xué)的實(shí)踐與研究”的研究成果，課題編號(hào)：FHB180557）