基于二維變分模態(tài)分解與自適應分數(shù)階積分的圖像去噪方法

閆洪波， 沈雅楠， 那毅然

(內蒙古科技大學機械工程學院， 包頭 014010)

目前，隨著計算機技術的不斷成熟，圖像處理等工程技術問題成為了人們的焦點。在采集及傳輸過程中，由于設備、光線以及其他因素，輸出圖像中會不可避免地產生噪聲。噪聲會在不同程度上降低圖像清晰度，對識別圖像有效信息造成干擾。據(jù)此，圖像去噪[1]成為了學者們研究的一個關鍵性問題。傳統(tǒng)圖像去噪方法是將含噪圖像在圖像域內直接進行處理，該方法對有效信息的保護欠佳，而后學者們將信號分解方法應用到圖像去噪中，此類方法能夠在變換域內對圖像進行針對性去噪并取得良好的去噪效果。

與經驗模態(tài)分解(empirical mode decomposition，EMD)[2]相比，變分模態(tài)分解[3](variational mode decomposition，VMD)算法具有更好的噪聲魯棒性，其以堅實的數(shù)學基礎作為支撐，能對非穩(wěn)定、非線性信號進行良好的分解。二維變分模態(tài)分解(two-dimensional variational modal decomposition，2D-VMD)[4]是VMD方法的進一步推進，該方法充分利用了VMD方法的非遞歸性[5]，在保證自身特性的前提下，將對一維信號的分解擴展到二維。孫抗等[6]提出了一種基于VMD和奇異值分解的局部放電信號去噪方法，該方法不僅能夠達到良好的抑制噪聲效果，并且可以得到優(yōu)質精度的信號。劉嘉敏等[7]將2D-VMD與自適應中值濾波進行結合，此方法雖能有效去除噪聲，但易造成圖片的不連續(xù)；高宏宇等[8]后續(xù)將2D-VMD與相關系數(shù)(correlation coefficient，CC)相結合，實現(xiàn)了更高精度的圖像重構，為提高圖像質量奠定了堅實基礎。

2D-VMD方法能夠將圖像信號按頻率大小分解成若干個子模態(tài)，得到精確的圖像信息需對不同子模態(tài)分別進行處理，分數(shù)階積分算子對高頻部分具有明顯的削減作用，對低頻信號有增強效果，因此為使去噪后圖像的噪聲更少，有效信息更多，其實用性更強，提出一種基于2D-VMD與自適應優(yōu)化分數(shù)階積分聯(lián)合的圖像去噪算法。首先利用2D-VMD將圖像分解成若干個子模態(tài)分量，將高頻模態(tài)進行篩除，再根據(jù)信噪比(signal-to-noise ratio,SNR)值設定不同的閾值,對分數(shù)階積分階次進行自適應優(yōu)化，利用相應的掩模去噪算子對低頻模態(tài)分量進行卷積處理，得到去噪后的圖像。

1 二維變分模態(tài)分解

1.1 2D-VMD

2D-VMD充分保留了一維分解特性，魯棒性強并且具有非遞歸性。噪聲通常存在于高頻信號中，2D-VMD能夠在預設參數(shù)的前提下對非平穩(wěn)信號進行分解，在圖像去噪領域中能夠有計劃地篩選高低頻圖像，并取得良好的分解效果。

一維信號在頻域內的解析信號表達式為

(1)

(2)

根據(jù)傅里葉變換特性，可將其表示為

(3)

式中：*表示卷積變換且轉換是可分的；ωk表示頻域半平面設置為k個模態(tài)的頻率分界面；ω表示模態(tài)函數(shù)uk(x)變換到頻域的瞬時頻率。該解析信號表達為參考方向ωk的排列；δ為傅里葉變換后的變量。

二維變分模態(tài)分解約束變分模型為

(4)

式(4)中：{uk}={u1,u2，…,uk}表示2D-VMD分解后各個模態(tài)分量的集合；{ωk}={ω1,ω2,…,ωk}表示2D-VMD分解后每個模態(tài)中心頻率的集合；αk表示k個模態(tài)頻率的二次懲罰因子。

1.2 為交替懲罰算子方向法優(yōu)化

解決變分方程中的約束問題，本文中引入兩個參數(shù)：拉格朗日乘子λ和二次懲罰因子α。各個迭代參數(shù)的表達式為

(5)

(6)

2 自適應分數(shù)階積分去噪算法

(7)

(8)

f(x-m,y)

(9)

f(x,y-m)

(10)

分數(shù)階積分去噪掩模算子將式(9)與式(10)推廣到圖像的其余6個方向，繼而得到一個含(135°、45°、0°、315°、270°、225°)8個方向的去噪掩模算子。分數(shù)階積分掩模算子對噪聲圖像作卷積處理[10]的迭代公式為

(11)

式(11)中：*表示卷積；W表示方向掩模；

在對分數(shù)階積分階次v進行自適應優(yōu)化時，經過選取多組圖片進行大量實驗，依據(jù)SNR實驗數(shù)據(jù)顯示，如表1和表2是對Cameraman圖和Lena圖添加不同方差噪聲時不同階次的SNR值?？蓪㈤撝礣設置為兩個范圍，并確定積分階次。

表1 Cameraman圖SNR值數(shù)據(jù)表Table 1 Cameraman graph SNR value data table

表2 Lena圖SNR值數(shù)據(jù)表Table 2 Lena chart SNR value data table

(1)當7≤T≤15時，圖片的加噪方差為0.08～0.80，選取大階次v=-2對圖像進行去噪，能夠最大程度的保護圖片邊緣及紋理信息。

(2)當15≤T≤21時，圖片的加噪方差為0.02～0.08，選取v=-1進行處理，能夠使圖片最大程度去除噪聲并且使圖片信息準確性受到最低影響。

3 2D-VMD與分數(shù)階積分結合算法

由于2D-VMD能夠將圖像分解成若干子分量，利用分數(shù)階積分的性質可針對不同子分量進行去噪處理，因此將分數(shù)階積分算子與2D-VMD結合完成圖像去噪。如圖1所示，首先對原始圖像添加噪聲，得到模擬二維噪聲圖像，利用2D-VMD將含噪圖像分解為K個不同頻率的子模態(tài)，每一高低頻子圖像都包含不同的圖像信息，因此對分數(shù)階積分階次進行自適應優(yōu)化，對每個子模態(tài)分別選取相適應的積分階次，構造對應的方向掩模算子進行去噪處理。在執(zhí)行本文算法時，將高頻子模態(tài)濾除，對低頻圖像信號，進行了大量仿真試驗，通過設定不同的閾值范圍，采用SNR值對不同階次下去噪效果進行判定，并根據(jù)SNR值的大小對不同圖像的不同子模態(tài)選取相適應的積分階次v。其中SNR值表示平均信號強度與平均噪聲強度的比值，是衡量圖像質量的重要指標。其值越大，表明圖像有效信息越多，噪聲越少，去噪效果越好。設低頻模態(tài)分量圖中某一中間狀態(tài)為fn(x+y)，運用8個方向的方向掩模與分數(shù)階積分掩模算子對低頻模量圖作卷積運算，然后根據(jù)在8個方向卷積結果綜合所占比例對結果進行加權求和，完成一次迭代處理，即完成去噪，輸出去噪圖像。

圖1 去噪算法流程圖Fig 1 Flow chart of denoising algorithm

4 實驗結果分析

本文實驗選取Lena(896 pix×896 pix)與Cameraman(600 pix×595 pix)圖像，在MatlabR2020b軟件中進行仿真去噪實驗。實驗結果使用峰值信噪比(peak signal-to-noise ratio,PSNR)和結構相似指標(structural similarity ratio,SSIM)兩個評價指標進行評估。峰值信噪比值越大，說明該處理去噪效果越好；結構相似性指數(shù)越高，說明該過程對圖像的紋理和細節(jié)保護越好，有效信息越多。

為了驗證本文算法對圖像去噪的效果，本文中對兩幅原始圖像分別加入了噪聲方差為0.02、0.04、0.06、0.08、0.10、0.20、0.60、0.80的斑點噪聲，并與傳統(tǒng)濾波算法：Kuan濾波、雙邊濾波和Frost以及分數(shù)階積分掩模去噪進行對比，用上述兩種驗證方法進行驗證。

對輸入圖像進行2D-VMD分解時，經過大量實驗，發(fā)現(xiàn)在參數(shù)k=2，α=25時，能夠最佳效果。以添加噪方差0.10為例，k=2時，低模態(tài)子圖像與原圖的峰值信噪比最優(yōu)。其中k為模態(tài)數(shù)。分數(shù)階積分掩模去噪算法中，經過多次調試，選取積分階次v=-1,此時PSNR值與SSIM值達到飽和狀態(tài)，既能達到良好的去噪效果，也能較好的保留圖片紋理細節(jié)信息。同時便于比較，將其他算法皆調試至最佳模式。

實驗中將不同方差(0.02～0.80)的斑點噪聲添加進兩幅圖片中，并與其他算法實驗結果進行比較。圖2為Lena加入噪聲方差為0.20斑點噪聲時各濾波方法處理后的結果。實驗結果用PSNR和SSIM進行測試，如表3、表4所示。

圖2 加噪方差0.20時Lena圖像Fig.2 Lena image with 0.20 noise variance

表3 Lena加噪不同方差各濾波器處理后PSNR值Table 3 The PSNR value of Lena after processing by each filter with different variance of noise

表4 Lena加噪不同方差各濾波器處理后SSIM值Table 4 Lena adds noise and SSIM value after processing with different variance filters

數(shù)據(jù)結果顯示：

(1)當噪聲方差較小時，雙邊濾波、Kuan濾波與Frost均有良好的去噪效果，且雙邊濾波處理后的圖片具有一定平滑效果，但結構相似性值偏低，這3種方法在對圖像去噪時無法完好保留圖片邊緣信息；分數(shù)階積分掩模去噪具有較好的保護圖片細節(jié)效果，但PSNR值較小。

(2)當噪聲方差較大時，其他五種算法的SSIM值均有顯著降低，造成圖片中有用信息基本無法識別，邊緣破壞，細節(jié)紋理信息模糊。本文算法可以有效提高這一點，在去噪效果良好的同時，最大限度地保留圖片信息，以加噪方差0.20為例，結果明顯優(yōu)于其他算法，無論在更小或更大方差情況下，本文算法的PSNR與SSIM值都明顯更高。

圖3為Cameraman圖像添加噪聲0.20方差時不同濾波器處理后的圖像。能根據(jù)表5、表6數(shù)據(jù)看出，隨著噪聲方差的不斷加大，分數(shù)階積分掩模算子去噪的PSNR值與本文提出算法不相上下甚至略高，但SSIM值始終無法超過本文算法；Frost與Kuan濾波雖然在噪聲方差較小時有很高的PSNR值，但其很不穩(wěn)定，濾波結果起伏比較大，其SSIM值相對較小。本文算法的提出，能解決在濾除噪聲時對圖像邊緣造成破壞的不足，一定程度保護圖像紋理細節(jié)信息，加噪方差為0.20時，明顯突出這一優(yōu)勢，且無論在更高或更低加噪情況下，本文算法皆保持這一優(yōu)點，其PSNR與SSIM值高于其他算法。

圖3 加噪方差0.20時Cameraman圖像Fig.3 Cameraman image with 0.20 noise variance

表5 Cameraman加噪不同方差各濾波器處理后PSNR值Table 5 The PSNR value of each filter processed by Cameraman with different variances of noise

表6 Cameraman加噪不同方差各濾波器處理后SSIM值Table 6 SSIM value after Cameraman adds noise and different variances of each filter processing

5 結論

在已有去噪模型的基礎上，總結其特點，提出2D-VMD與自適應分數(shù)階積分結合的圖像去噪算法，對分數(shù)階積分階次v進行優(yōu)化處理，針對不同含噪圖像根據(jù)閾值選取不同階次。由以上實驗數(shù)據(jù)，可以得到以下結論：

(1)本文算法在相同加噪情況下，提高了圖像去噪效果的同時，有效的保護圖片邊緣與細節(jié)紋理信息，其PSNR與SSIM值均得到提高，使得圖片信息實用性進一步增強。

(2)針對不同圖像，噪聲情況不同時，可以選擇相應的分數(shù)階積分階次v以達到更佳的去噪效果。

(3)在今后的研究中，需將重點放在如何將本文算法中分數(shù)階積分階次與迭代次數(shù)實現(xiàn)自適應；如何針對含噪圖像的局部細節(jié)信息來選取分數(shù)階迭代次數(shù)與積分階次。