積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn) 發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念*
——五年級(jí)“釘板游戲中的可能性”教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析

金妤茜執(zhí)教 杭 瑛評(píng)析

大數(shù)據(jù)時(shí)代人們常常需要在某些環(huán)境中，對(duì)大量雜亂無章的數(shù)據(jù)做出整理、分析、判斷和推測(cè)，繼而做出相應(yīng)的決策，所以，數(shù)據(jù)分析觀念是每個(gè)人都應(yīng)具備的素質(zhì)。發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念，最有效的方法莫過于讓學(xué)生親身經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)的全過程。

“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)是一類以問題為載體、教師通過問題引領(lǐng)、學(xué)生全程參與、實(shí)踐過程相對(duì)完整的學(xué)習(xí)活動(dòng)，有助于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用有關(guān)的知識(shí)與方法解決實(shí)際問題。其中，統(tǒng)計(jì)型的“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)更是能恰到好處地引導(dǎo)學(xué)生親近數(shù)據(jù)、感悟數(shù)據(jù)、理解數(shù)據(jù)、運(yùn)用數(shù)據(jù)，從而建立數(shù)感，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念。下面，筆者以自主開發(fā)的五年級(jí)數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)“釘板游戲中的可能性”的教學(xué)為例，談一談對(duì)數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”教學(xué)的思考。

【教學(xué)過程】

一、課前談話，激發(fā)探究興趣

播放中央電視臺(tái)財(cái)經(jīng)頻道《是真的嗎?》節(jié)目視頻。

生1：我看到，從同一位置掉落的小球能自動(dòng)形成山丘狀。

生2：不可能，球會(huì)滾動(dòng)，不會(huì)形成山丘。

生3：說不定也有可能，節(jié)目中的那個(gè)道具有點(diǎn)玄機(jī)。

師：到底是不是真的？今天這節(jié)課我們就一起來研究研究。

二、問題驅(qū)動(dòng)，規(guī)劃研究方案

（一）提出設(shè)想

出示釘板游戲?qū)W具。（學(xué)具示意圖如圖1所示）

生：板子上有很多類似________________釘子的東西，下面被分成了很多不同的區(qū)域，還配有6個(gè)小圓片。

師：在數(shù)學(xué)上，我們稱它為釘板游戲。將圓片從這個(gè)規(guī)定口投入，讓它自由落下，你覺得它會(huì)落到哪個(gè)區(qū)域呢？（示范）

（圖1）

生1：可能落到D杯，可能落到R杯，還可能落到I杯，底下這幾個(gè)杯子都有可能。

生2：可能性大小不一樣，落入中間兩個(gè)杯子的可能性大一點(diǎn)，越往兩邊可能性越小。

生3：我覺得可能性是相等的，這樣公平。

（二）制定研究方案

師：誰有好辦法，能讓大家真真切切地看到落入不同區(qū)域的可能性究竟是什么樣的？

生1：將圓片從這個(gè)口投幾次看看。

生2：對(duì)，多投幾次，落到哪個(gè)區(qū)域的次數(shù)多就說明落到那個(gè)區(qū)域的可能性大。

師：你們準(zhǔn)備怎么做實(shí)驗(yàn)?zāi)兀?/p>

組1：我們準(zhǔn)備分三步，第一步做實(shí)驗(yàn)，第二步記錄每次的情況，第三步觀察實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。

組2：做一張表格，寫上D、R、I、N、K、O 等區(qū)域，然后對(duì)應(yīng)著畫正字記錄。實(shí)驗(yàn)后計(jì)算出落入各個(gè)區(qū)域的總次數(shù)，并分析結(jié)果，得出結(jié)論。

組3：另外，次數(shù)不能太少，越多越好。60次左右吧，次數(shù)越多，實(shí)驗(yàn)結(jié)果越可信。

師：是啊，還記得數(shù)學(xué)家驗(yàn)證硬幣落下的可能性大小時(shí)做的實(shí)驗(yàn)嗎？成千上萬次呢！次數(shù)越多，很大程度上越能反映可能性的情況。根據(jù)大家的想法，我們可以整理出這樣一份研究方案。（出示圖2）

（圖2）

三、問題解決，經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)全過程

（一）分享實(shí)驗(yàn)情況

組1：我們一開始的猜想，是落入不同區(qū)域的可能性是相等的。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)釘板游戲中圓片從規(guī)定入口落下，落入中間區(qū)域的可能性大一些，落入兩邊的可能性小一些。

組2：我們每個(gè)小組的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)各不相同，但大多都是落入中間的次數(shù)多，落入兩邊的次數(shù)少?？磥恚敯逵螒蛑袌A片從規(guī)定入口落下，落入中間的可能性大，落入兩邊的可能性小。

組3：我們一開始也認(rèn)為圓片落入中間的可能性大，落入兩邊的可能性小，但實(shí)驗(yàn)后，I區(qū)域是12 次，R 區(qū)域是18 次，落入兩邊的次數(shù)大于落入中間的次數(shù)，不符合我們的猜想。

生1：有這樣的可能，落入中間區(qū)域的可能性大，并不代表落入的次數(shù)一定就多，落入兩邊的可能性小，也還是有可能落入的。

生2：這只是特殊情況，如果整體觀察，大部分組都是符合猜想的。其實(shí)，將我們各個(gè)組的數(shù)據(jù)加起來看看就知道了。

（二）開展數(shù)據(jù)分析

師（出示表1）：這就是我們班今天實(shí)驗(yàn)的整體情況，現(xiàn)在你有什么想說的？

表1 釘板游戲情況匯總表

生1：數(shù)據(jù)足夠多時(shí)，落入中間區(qū)域的次數(shù)明顯大于落入兩邊區(qū)域的次數(shù)，這正說明在釘板游戲中，圓片落入中間區(qū)域的可能性大，落入兩邊的可能性小。

生2：我們還可以根據(jù)統(tǒng)計(jì)表里的數(shù)據(jù)繪制出條形統(tǒng)計(jì)圖。（如下頁圖3）

生3：可以看到落入中間區(qū)域的次數(shù)明顯大于落入兩邊區(qū)域的次數(shù)，反映出落入中間區(qū)域的可能性大于落入兩邊區(qū)域的可能性。

（圖3）

師：連接最高點(diǎn)，還真就像是一座——

生：小山丘。

四、問題反思，數(shù)學(xué)解釋可能性大小

（一）引發(fā)思考

師：大家有沒有想過，是什么原因?qū)е铝诉@樣的現(xiàn)象呢？

生1：因?yàn)閳A片從規(guī)定入口落下，落入中間區(qū)域的可能性大，越往兩邊可能性越小，投入口的位置至關(guān)重要。

生2：釘板游戲中有那么多的釘子障礙物，圓片落下去，會(huì)碰到釘子，圓片就有兩種可能進(jìn)入下一層。

師：他們關(guān)注到是這些通道和障礙物影響了圓片落下的可能性大小，那到底是不是這樣呢？

（二）探究原理

師：請(qǐng)大家借助示意圖自己研究研究，然后試著從數(shù)學(xué)的角度更加具體地解釋解釋。

（三）交流討論

組1：我們用小豎線表示出每一次的情況，可以看出不管是哪一層，通過中間區(qū)域的可能性都比兩邊大。

組2：我們是用數(shù)字來表示的。如果把通過這個(gè)通道的可能性用1 來表示，那這個(gè)通道的可能性就可以用2來表示，以此類推。

組3：我們是用分?jǐn)?shù)來表示每一個(gè)通道的可能性大小的，以第2層為例，一共有2種可能，那每個(gè)通道的可能性就可以用二分之一來表示；第三層一共有4 種可能，那每個(gè)通道的可能性就分別占四分之一、四分之二和四分之一。分?jǐn)?shù)的大小正說明了可能性的大小。

師：同學(xué)們太厲害了，不僅用實(shí)驗(yàn)直觀驗(yàn)證了釘板游戲可能性的大小情況，更從數(shù)學(xué)的角度解釋了可能性大小出現(xiàn)的原因。

（四）提出問題

師：看著釘板游戲的示意圖，再想一想，對(duì)于這個(gè)釘板游戲，我們還可以研究什么呢？

生：如果不規(guī)定投入口，任意口都可以投入，會(huì)發(fā)生什么情況呢？

師：這可是在科學(xué)家的基礎(chǔ)上又往前邁了一步！有興趣的同學(xué)課后可以去探究探究。

五、問題延伸，指向更復(fù)雜的可能性事件

師：在生活中，你有沒有遇到過類似的釘板游戲呢？

出示：某商場(chǎng)準(zhǔn)備用這個(gè)釘板游戲裝置設(shè)置抽獎(jiǎng)，如果你是商場(chǎng)經(jīng)理，會(huì)怎樣來安排一、二、三等獎(jiǎng)？如果你是顧客，會(huì)怎么想？

【評(píng)析】

“釘板游戲中的可能性”著重研究隨機(jī)現(xiàn)象中的可能性大小情況，是一個(gè)利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)和方法來解決問題的活動(dòng)，主要引導(dǎo)學(xué)生收集和整理數(shù)據(jù)、分析和解釋數(shù)據(jù)，然后用數(shù)據(jù)來說明、解釋并解決問題。這也是一次綜合性和實(shí)踐性都比較強(qiáng)的活動(dòng)，無論是活動(dòng)方案的設(shè)計(jì)、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的收集與整理、根據(jù)事實(shí)得出結(jié)論，還是從數(shù)學(xué)的角度去解釋可能性的情況，都需要學(xué)生通過小組合作完成。本節(jié)課教學(xué)，金老師精心設(shè)計(jì)了“猜想—驗(yàn)證—結(jié)論—解釋”四個(gè)環(huán)節(jié)的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生親歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的全過程，并在這一過程中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，較好地詮釋了數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”教學(xué)的核心價(jià)值。

一、基于現(xiàn)實(shí)背景，激發(fā)數(shù)據(jù)分析興趣

對(duì)學(xué)生來講，不論是統(tǒng)計(jì)對(duì)象、統(tǒng)計(jì)過程還是統(tǒng)計(jì)結(jié)果，只有現(xiàn)實(shí)的、有意義的活動(dòng)才能真正促進(jìn)其數(shù)據(jù)分析觀念的發(fā)展。“綜合與實(shí)踐”著力體現(xiàn)通過活動(dòng)去實(shí)際解決一個(gè)實(shí)踐問題的過程，它的源頭大多是具有現(xiàn)實(shí)背景的專題。金老師自編選材，由生活中的彈球游戲想到了高爾頓板，特別有眼光。課上則由電視節(jié)目導(dǎo)入，從“從同一位置掉落的小球，能自動(dòng)形成山丘狀嗎？”這一值得研究的問題出發(fā)，激活學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，促使他們產(chǎn)生進(jìn)一步研究的心理需求。只有學(xué)生真正感興趣了，他們才會(huì)設(shè)身處地地以主人翁的身份參與其中，引發(fā)數(shù)據(jù)分析的需求，知道以數(shù)據(jù)為載體的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)是解決實(shí)際問題的需要，體會(huì)“只有用數(shù)據(jù)說話才能有理有據(jù)”的統(tǒng)計(jì)思想。

二、借助親身經(jīng)歷，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念

觀念是人們通過不斷親身經(jīng)歷而建立的，教師應(yīng)該盡可能地為學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析的全過程提供時(shí)間和空間。學(xué)生只有親身經(jīng)歷了調(diào)查研究、收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、做出預(yù)測(cè)和決策、交流評(píng)價(jià)等一系列經(jīng)驗(yàn)性體驗(yàn)，才能真正親近數(shù)據(jù)、感受數(shù)據(jù)，從而培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念。金老師特別重視學(xué)生對(duì)收集、整理、匯總和分析數(shù)據(jù)這一系列統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的整體感悟。讓學(xué)生充分體驗(yàn)調(diào)查、收集數(shù)據(jù)的過程，看似耗時(shí)低效，實(shí)則意義深遠(yuǎn)。在分析數(shù)據(jù)這一環(huán)節(jié)，金老師將全班的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用統(tǒng)計(jì)表和條形統(tǒng)計(jì)圖的形式直觀地表示出來，學(xué)生不僅能看到眼前的數(shù)據(jù)信息，還能對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行思考，做出簡(jiǎn)單的判斷和推理，挖掘到數(shù)據(jù)背后的信息，充分體會(huì)數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的豐富信息，獲得描述和分析數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)意識(shí)不斷得到培養(yǎng)和提升。

三、重視回顧反思，提升數(shù)據(jù)分析經(jīng)驗(yàn)

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞將解題過程分為四個(gè)步驟，其中最后一個(gè)步驟便是“回顧反思”。學(xué)生每一次學(xué)習(xí)的知識(shí)很大一部分是后續(xù)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，“綜合與實(shí)踐”教學(xué)也不例外，金老師在活動(dòng)結(jié)束后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)整節(jié)課進(jìn)行回顧反思，既關(guān)注到具體的知識(shí)、技能與過程、方法，更關(guān)注到學(xué)生在活動(dòng)中解決問題的感受與體驗(yàn)，突出了數(shù)據(jù)分析對(duì)于問題解決的價(jià)值。通過回顧反思，逐步幫助學(xué)生提升收集、整理和分析數(shù)據(jù)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而總結(jié)出方法，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

數(shù)據(jù)分析觀念的發(fā)展是一種日積月累的沉淀，它指向未來學(xué)生所具備的核心素養(yǎng)，因而需要我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地體驗(yàn)到數(shù)據(jù)在分析、解決問題過程中的作用和價(jià)值，以期加強(qiáng)他們遇到問題主動(dòng)運(yùn)用數(shù)據(jù)說話的意識(shí)，并自覺地想到從不同的角度分析數(shù)據(jù)，從而更加主動(dòng)且有效地發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念。“綜合與實(shí)踐”作為一個(gè)相對(duì)來說比較新的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，大家對(duì)其已經(jīng)進(jìn)行了一些嘗試，積累了一些體會(huì)與經(jīng)驗(yàn)。但它的教育價(jià)值還有待進(jìn)一步開發(fā)，教學(xué)方式和方法還需要進(jìn)一步創(chuàng)新，如果教師能夠結(jié)合本地實(shí)際和學(xué)生實(shí)際進(jìn)行思考，自覺成為課程開發(fā)的有心人，就有可能創(chuàng)編更多有現(xiàn)實(shí)性和針對(duì)性的“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)，從而培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)，同時(shí)讓小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)效果邁上一個(gè)新的臺(tái)階。