題組——小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的突破口

孫艷

【摘 要】題組是把具有同一類數(shù)學(xué)模式的內(nèi)容組合成群，逐漸超越知識碎片化的結(jié)構(gòu)化表現(xiàn)。它能夠讓原本晦澀的、隱性的數(shù)學(xué)規(guī)律變得更加具體、形象，利于學(xué)生理解、便于學(xué)生掌握，它是通向理解、促進(jìn)建構(gòu)的金鑰匙。為此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要立足知識基礎(chǔ)，初建可靠的學(xué)習(xí)認(rèn)知;又要高于知識，指引學(xué)生深入探究;還要超越知識，助力學(xué)生建構(gòu)科學(xué)的學(xué)習(xí)模式等，以利于學(xué)生數(shù)學(xué)知識的積累、經(jīng)驗的發(fā)展和數(shù)學(xué)思維的提升，最終促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的積淀。

【關(guān)鍵詞】題組 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)素養(yǎng) 有效學(xué)習(xí)

大量的教學(xué)實踐表明，解題是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)無法回避的話題，也是必須面對的內(nèi)容。所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師需要更好地解讀解題學(xué)習(xí)含金量，以及學(xué)習(xí)效率優(yōu)化等問題，既不能一談解題就如遭遇洪水猛獸，避之不及，又不能將其束之高閣，課上不做課下做。教師可以引入題組訓(xùn)練模式，指導(dǎo)學(xué)生深入題組模塊的學(xué)習(xí)研究之中，使學(xué)生更理性地感悟知識，形成解決問題的經(jīng)驗以及數(shù)學(xué)思維模型，從而助力學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，促進(jìn)學(xué)生解題智慧的生長。

一、立足知識，初建認(rèn)知

立足基本知識是題組學(xué)習(xí)的第一基礎(chǔ)，唯有如此，方能進(jìn)行有效的延伸或拓展，才有助于學(xué)生形成更為豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，使得學(xué)生思維不斷開化，從而實現(xiàn)問題研究的順捷、流暢。其間，也讓學(xué)生對知識的理解不斷深入，解題模式的建構(gòu)初步形成。所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要結(jié)合教材內(nèi)容，以及學(xué)生學(xué)習(xí)的實際水平等，設(shè)計相應(yīng)的題組，讓學(xué)生在對應(yīng)的練習(xí)中觸類旁通，促使整個學(xué)習(xí)活動順利地走向縱深處。

如在“單循環(huán)賽計算比賽場次”教學(xué)中，教師就可以從最基本的方式開始，讓學(xué)生在具體的學(xué)習(xí)體驗中獲得對這類問題的初步感知，并掌握相應(yīng)的研究問題的策略，以達(dá)到認(rèn)知初建的目的。

首先，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，引發(fā)學(xué)生思考。教學(xué)中，教師可以學(xué)校運動會的比賽項目為例，乒乓球比賽中低年級組有甲、乙、丙、丁四個選手，采取單循環(huán)比賽制，也就是每兩人都要比賽1場，但是也不重復(fù)舉行。要產(chǎn)生第一名，一共需要比賽幾場？該問題引發(fā)學(xué)生積極的探索與思考。

其次，組織學(xué)習(xí)展示活動。有學(xué)生采取畫圖的策略，畫出4種圖形，并按照題目的要求連接起來，發(fā)現(xiàn)有6種情形，得出6場比賽的結(jié)論。也有學(xué)生采取搭配的方式，進(jìn)行一一列舉，從甲開始，甲與乙，甲與丙，甲與丁;然后再思考乙，乙與甲是重復(fù)的不能寫出來，乙與丙，乙與丁;再研究丙的比賽，有丙與丁一種。最后的丁則不需要再比賽了，因為他與每一個選手都比賽完了。這樣，學(xué)生們形成初步的感知是3+2+1，得出這樣的比賽需要舉行6場。

二、高于知識，深入探究

高于基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)是教學(xué)的必然趨勢，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)展的根本趨勢。為此，同樣在“單循環(huán)比賽場次計算”教學(xué)中，教師就要適度地進(jìn)行延伸，讓學(xué)習(xí)高于文本，從而突破教材的局限，使學(xué)生的學(xué)習(xí)視野變得更開闊，進(jìn)而助推他們的學(xué)習(xí)理解更加深入，對應(yīng)的問題研究思維模型也初步建立起來。

首先，在上述學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)之上，讓學(xué)生把相應(yīng)的感悟提取出來。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生反芻整個學(xué)習(xí)活動。學(xué)生們會結(jié)合圖例、搭配等情況的分析，得出都是“3+2+1”的解題方式。

同時，學(xué)生也能較為粗淺地說出這里每一個數(shù)的由來，因為每一個選手看起來都要和其他3個進(jìn)行1場比賽，但是只有研究中的第一個人是可以連出3條線的，其他會越來越少的。第二個就會比第一個少1場比賽等。

其次，引導(dǎo)學(xué)生探究增加1個運動員后的研究又是怎樣的情形。伴隨著題目的發(fā)展，學(xué)生們會很自然地用前面的方式去探究。于是，他們又會投身于畫圖、連線、搭配等學(xué)習(xí)中，發(fā)現(xiàn)有4+3+2+1場。同時，他們會聯(lián)系前后的算式，感覺到這類算式的奇妙之處，從左往右看是從大到小相加的，反之則是從小到大相加的。

這一現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)，也誘使學(xué)生去深思。加到最后一個是1，那最前面的1個是什么呢？它又是怎么得來的呢？疑問會讓他們產(chǎn)生深入探究的動力，也會讓他們的思維活性得到增強。

三、超越知識，建構(gòu)模式

超越一般性的數(shù)學(xué)知識，得出解決問題的規(guī)律，建構(gòu)起模式，確實是學(xué)生解題學(xué)習(xí)的理想境界，也是讓他們的學(xué)習(xí)有事半功倍之效的根本保障?？梢?，題組模塊的作用也是明顯的，意義也是深遠(yuǎn)的。所以，同樣在“單循環(huán)比賽場次計算”教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)解題模式，從而加速解決問題的經(jīng)驗的升華，促進(jìn)數(shù)學(xué)的思維的深化，讓他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加智慧，也更有靈氣。

首先，引導(dǎo)學(xué)生提出疑問?！笆前?！那有沒有辦法獲得第一個數(shù)呢？”自己的學(xué)習(xí)疑問、教師的追問交織在一起，勢必會加速學(xué)生研究的進(jìn)程。這樣，他們就會更加聚精會神地去反思前面的學(xué)習(xí)，通過與同伴的互動，他們初步梳理出4個選手，第一個選手只能是3次;5個選手時，第一個選手的比賽場次只能是4次;那么當(dāng)選手是6個時，是不是第一個選手比賽的場次就是5次呢？

其次，引導(dǎo)學(xué)生驗證猜想。在上述方法的支持下學(xué)生們很快得出，6個選手比賽時，第一個選手的確就是5次，進(jìn)而他們就會形成一種初步的感知，最多的比賽場次數(shù)就是比參賽的人數(shù)少1。

最后，進(jìn)行題組訓(xùn)練。在上述學(xué)習(xí)研究的基礎(chǔ)之上，教師引導(dǎo)學(xué)生運用學(xué)習(xí)所獲得的經(jīng)驗，以及形成的對應(yīng)思維，進(jìn)行更多的思考。比如，把題目改成8個人、16個人等，引導(dǎo)學(xué)生運用學(xué)習(xí)經(jīng)驗去分析與研究，從而讓學(xué)生在相應(yīng)的問題研究中實現(xiàn)解題模型的有效建構(gòu)。經(jīng)過相應(yīng)的問題探究，學(xué)生們終于發(fā)現(xiàn)8個人所要舉行的比賽場數(shù)就是從第一個人開始，他將與另外的7個人分別比賽一場，這就說明這是最多的一個比賽場數(shù)（因為是單循環(huán)制，是不再循環(huán)重復(fù)的比賽），一直到最后的一場比賽，就得出了最后的第一名。

在接下來的16人參賽的思考中，學(xué)生也獲得了對應(yīng)的經(jīng)驗。最終學(xué)生綜合所有的學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)了整個題組在解決問題中的共性規(guī)律，最多的場數(shù)就是比總?cè)藬?shù)少1，一直到最后一場比賽為止。這樣，學(xué)生們也就得出了單循環(huán)學(xué)習(xí)的基本規(guī)律，形成了對應(yīng)的問題研究的數(shù)學(xué)思維模型。

面對學(xué)生形成的解題模式，教師還要引導(dǎo)學(xué)生再去舉例進(jìn)行驗證?！澳沁@個研究是不是科學(xué)的呢？驗證是最有效的方法，自己選擇一下人數(shù)，去研究一下吧！”這樣學(xué)生們就會投入舉例、驗證的學(xué)習(xí)活動中，最終得出一致的結(jié)論：當(dāng)n個隊，或是n個隊員比賽時，最多的場次就是n-1，最少的則是0。

結(jié)合上面的案例教學(xué)思考，學(xué)生經(jīng)歷相應(yīng)的學(xué)習(xí)探索后，他們對單循環(huán)賽計算方法的理解會更加通透，記憶也會愈發(fā)清晰，那么學(xué)生的學(xué)習(xí)理解必定會邁上一個新的臺階。

四、提煉題組，深化學(xué)習(xí)

面對題組設(shè)計這個話題，教師還要謹(jǐn)慎對待。筆者以為，真正的題組教學(xué)，就是學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、互動學(xué)習(xí)等過程中不斷積累經(jīng)驗的過程，也是一個建構(gòu)數(shù)學(xué)思維模型的歷程。故而，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師就需要更深入地學(xué)習(xí)提煉題組，以此來助力整個學(xué)習(xí)活動的深化，促進(jìn)學(xué)生有效學(xué)習(xí)的締造，實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的持續(xù)積累。

（一）依托生活，創(chuàng)設(shè)題組

如生活中經(jīng)常遇到的購票問題，教師就可以從學(xué)生的實際生活出發(fā)，設(shè)計情趣化的學(xué)習(xí)情境，引導(dǎo)學(xué)生在探究中尋找規(guī)律，把握住解決問題的思維特點，以此來建立對應(yīng)問題研究數(shù)學(xué)思維模型，使得整個學(xué)習(xí)實效性倍增。

星河影視城周末電影特場，兒童票每人12元，成人票每人20元。如果一次性購票滿10張（含10張），則可以享受團(tuán)隊優(yōu)惠價，每張票是15元?，F(xiàn)在麟麟等4個家庭的父母，帶著他們的4個孩子，一起來到電影院。你能幫他們設(shè)計一下購票的方案嗎？

這樣的題目也是一個題組，盡管看起來不像，但是學(xué)生要達(dá)成幫助麟麟等4個家庭購票的目的，就得深入地進(jìn)行分析思考，從不同的角度去研究問題。比如，每一家都單獨購買，總價是多少元？合起來，按照成人與兒童各自購買，又會是怎樣的情況？有沒有其他的優(yōu)惠方案等。

這樣的題組學(xué)習(xí)，既能鞏固學(xué)生解決問題的能力，又能幫助學(xué)生學(xué)習(xí)一些優(yōu)化的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生的思維意識變強，研究問題的視野、角度得到拓展，而且能使他們的思維更加縝密。

（二）對比聯(lián)系，創(chuàng)設(shè)題組

新課標(biāo)明確提出，要把小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)建立在兒童生活現(xiàn)實之中，讓學(xué)生在熟悉的生活化場景中去觀察、實踐操作等，從而助推整個學(xué)習(xí)活動的有序推進(jìn)。為此，教師就要依據(jù)此要求，從兒童熟悉的生活入手，創(chuàng)建一系列對比聯(lián)系的題組，使得學(xué)生在一種熟悉的場景中更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，形成認(rèn)知建構(gòu)，促進(jìn)他們自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)的不斷積累。

以“兩步計算的加減法實際問題”教學(xué)為例，教師要引導(dǎo)學(xué)生在對比的情景下學(xué)習(xí)分析，在對比的感悟中深化學(xué)習(xí)思考，使得學(xué)習(xí)思考的能力變強。同時，學(xué)生的邏輯思考、周密思考等能力也將不斷發(fā)展。

（1）臨虹路小學(xué)一年級（8）班，男生有18人，女生人數(shù)比男生多4人，這個班級一共有多少人？

（2）臨虹路小學(xué)一年級（8）班，男生有18人，比女生人數(shù)多4人，這個班級一共有多少人？

（3）臨虹路小學(xué)一年級（8）班，男生有18人，女生人數(shù)比男生少4人，這個班級一共有多少人？

（4）臨虹路小學(xué)一年級（8）班，男生有18人，比女生人數(shù)少4人，這個班級一共有多少人？

這樣的題組既是具有濃厚生活味的題目，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又是促使學(xué)生進(jìn)行相應(yīng)的對比關(guān)系分析思考的問題，學(xué)生進(jìn)行更為縝密的學(xué)習(xí)研究，對他們的思維發(fā)展是大有裨益的。

總之，采取題組模塊訓(xùn)練學(xué)生解題，是一種極為契合數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的教學(xué)舉措，也是激發(fā)學(xué)生探究活力的重要實踐。為此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要積極地進(jìn)行題組模塊實驗探索，以便更好地發(fā)揮其源于基礎(chǔ)、超越知識、建構(gòu)模式、發(fā)展素養(yǎng)的作用，讓學(xué)生在生成、變式、拓展等系列題組中實現(xiàn)學(xué)習(xí)的突破，讓有效學(xué)習(xí)、智慧學(xué)習(xí)成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主旋律，也讓他們的數(shù)學(xué)思維、解題經(jīng)驗等數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到更完美的發(fā)展。

【參考文獻(xiàn)】

[1]王瑩.運用“題組教學(xué)”促進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性[D].上海師范大學(xué)，2016.

[2]楊偉琴.激活深度思維：小學(xué)數(shù)學(xué)題組開發(fā)的核心要義[J].數(shù)學(xué)大世界（旬刊），2016（7）.

[3]張長梅.題組練習(xí)在小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題教學(xué)中的有效運用[J].試題與研究：高考版，2018（34）.