線性強(qiáng)化型彈塑性彎曲直梁撓曲線方程

陳英杰 馮永強(qiáng) 董靜波

(燕山大學(xué)建筑工程與力學(xué)學(xué)院,河北秦皇島 066004)

(河北省土木工程綠色建造與智能運維重點實驗室,河北秦皇島 066004)

一直以來,彈塑性[1-2]問題是廣大學(xué)者所研究的重要課題之一。直梁作為建筑結(jié)構(gòu)中的基本構(gòu)件,在受到載荷作用下會產(chǎn)生彎曲變形,即彈性變形和塑性變形。為了求解彈性區(qū)和塑性區(qū)的彎曲變形,需要掌握彈塑性彎曲直梁的基本原理和計算方法?；诓牧蠌椝苄宰冃蔚难芯咳缦隆ｅX偉長[3-4]討論了多種載荷和邊界條件梁的問題；張福范[5]早期研究彈性薄板,得出了系列的薄板理論；付寶連[6]提出了劃分彈性區(qū)和塑性區(qū)變分原理。

本文采用彈塑性分區(qū)變分最小勢能原理[7-9],對集中載荷作用下懸臂梁和簡支梁為例的線性強(qiáng)化彈塑性材料進(jìn)行勢能分區(qū)準(zhǔn)則和歐拉方程的推導(dǎo),根據(jù)推導(dǎo)出的公式求解不同塑性區(qū)高度狀態(tài)下的彈塑性彎曲直梁的撓曲線方程。用MATLAB 軟件對求解的撓曲線方程進(jìn)行數(shù)值計算和有限元模擬,得出結(jié)果分析。

1 線性強(qiáng)化彈塑性懸臂梁的歐拉方程

首先選擇一個長度為l的線性強(qiáng)化彈塑性材料的懸臂梁,在懸臂梁右端施加一個集中載荷P,如圖1(a) 所示。假設(shè)在長度0～ξ范圍內(nèi),梁體發(fā)生彈塑性變形,在長度ξ～l范圍內(nèi),梁體發(fā)生彈性變形。梁的矩形橫截面如圖1(b) 所示,在長度為0～ξ段范圍內(nèi),沿著z軸方向,假設(shè)在0～η范圍內(nèi)為彈性變形,在η～h/2 范圍內(nèi)發(fā)生塑性變形,假設(shè)在橫截面的應(yīng)力分布如圖1(c) 所示。其中ξ為跨內(nèi)彈塑性長度,η為梁截面內(nèi)彈性受力區(qū)高度,h為橫截面高度,b為橫截面寬度,σs為屈服應(yīng)力。圖1(d) 中,E和E1為彈性模量,σ為應(yīng)力,ε為應(yīng)變。

圖1 集中載荷作用下的線性強(qiáng)化懸臂梁Fig.1 Linearly strengthened cantilever beam under concentrated load

彈性階段的應(yīng)力表示為

線性強(qiáng)化階段應(yīng)力表示為

因此,彈塑性階段任意截面彎矩式可以寫為

式中,k1為彈塑性區(qū)的曲率,ke為彈塑性區(qū)與彈性區(qū)交界處的曲率,Me為彈塑性區(qū)與彈性區(qū)交界處的彎矩。

彎曲直梁的應(yīng)變能為

當(dāng)梁體彈塑性階段曲率k1=ke時,Ub=Meke/2,可得到

彎曲直梁的總勢能為

式中,ω2為彈性區(qū)撓度,Π代表混合總勢能,下標(biāo)p為一集中載荷。

由變分法基本公式,對式(5) 中的η,ξ,ω分別變分并取極值得

對η進(jìn)行變分計算得

對ξ進(jìn)行變分得

當(dāng)x=ξ時,梁體彈塑性階段曲率k1=ke,則有

對ω進(jìn)行變分計算,并取極值,可以得到歐拉方程為

式(9)～式(14)是歐拉方程；式(7)是彈塑性區(qū)Z軸方向彈性區(qū)和塑性區(qū)的分區(qū)準(zhǔn)則。式(8) 是X軸方向彈塑性區(qū)和彈性區(qū)的分區(qū)準(zhǔn)則。

根據(jù)式(3) 可以求得集中載荷作用下的線性強(qiáng)化梁的近似解為

2 集中載荷作用下線性強(qiáng)化彈塑性懸臂梁的計算

2.1 撓曲線方程推導(dǎo)

首先取一個理想彈塑性材料懸臂梁,應(yīng)用彈塑性彎曲直梁的彈塑性分區(qū)最小勢能原理對這一懸臂梁進(jìn)行計算,并求解其在相應(yīng)的載荷作用下的相關(guān)變形問題。一個受到集中載荷作用下的線性強(qiáng)化彈塑性懸臂梁,如圖1 所示。

假設(shè)端部彎矩為

由x=0 處的端部彎矩,得

在x=ξ處的彎矩為

將式(15)代入式(7),并注意到式(17)和式(18),整理運算得

將式(17) 和式(18) 代入式(15) 進(jìn)行積分運算,整理得彈塑性區(qū)撓度

在x=0 端,ω1x=[dω1/(dx)]x=0=0,可以求出C3和C4,并代入式(20),整理得

在彈性階段ξ≤x≤l時的曲率與彎矩的關(guān)系為

P=bh2σs/[6(l ?ξ)],對式(22) 進(jìn)行積分得

在x=ξ處,有ω1(x=ξ)=ω2(x=ξ)和[dω1/(dx)]x=ξ=[dω2/(dx)]x=ξ,求出C5和C6

當(dāng)x=l時,將求出的C5和C6代入式(23),整理得

當(dāng)全梁皆為彈性時,有

于是,當(dāng)x=l時,

2.2 數(shù)值計算

應(yīng)用MATLAB 軟件對ηx=0(x)為h/2,3h/8,h/8,0 時線性強(qiáng)化型彈塑性懸臂梁的彎曲方程進(jìn)行編程,求解其撓度值；彈塑性梁的基本參數(shù)：梁長l= 1300 mm,梁寬b= 80 mm,梁高h(yuǎn)= 120 mm,楊氏模量E= 210 000 MPa,強(qiáng)化后楊氏模量E1=0.1E,泊松比v= 0.3,屈服應(yīng)力σs= 345 MPa。應(yīng)用有限元模擬軟件,依據(jù)彈塑性懸臂梁實際邊界條件和基本參數(shù)進(jìn)行建模,求解彈塑性懸臂梁的撓度值,由于本文所求的是細(xì)長彈塑性彎曲直梁,且不考慮剪切變形,故采用beam23 單元雙線性等向強(qiáng)化模型進(jìn)行ANSYS 模擬。計算出沿梁全長的模擬與理論撓度結(jié)果如圖2(a)～圖2(d) 所示。

2.3 結(jié)果分析

根據(jù)圖2(a)～圖2(d) 可以得到固定端截面,當(dāng)彈性區(qū)高度ηx=0(x) 在0～h/8 范圍時,隨著彈性區(qū)高度的增加誤差越來越小。而彈性區(qū)高度ηx=0(x)在3h/8～h/2 范圍內(nèi)誤差較小,且本文方法與有限元模擬求解的撓度基本吻合。從圖2 可以看出,本文方法與ANSYS 模擬求解彈塑性懸臂梁自由端的誤差均在允許范圍內(nèi),表明本文的方法能準(zhǔn)確地計算線性強(qiáng)化型彈塑性材料的彈性區(qū)與塑性區(qū)的邊界問題。

圖2 梁截面內(nèi)彈性受力區(qū)不同高度處撓度分布圖(續(xù))Fig.2 Deflection distribution at different heights of elastic zone in beam section (continued)

圖2 梁截面內(nèi)彈性受力區(qū)不同高度處撓度分布圖Fig.2 Deflection distribution at different heights of elastic zone in beam section

3 集中載荷作用下線性強(qiáng)化彈塑性簡支梁的計算

3.1 撓曲線方程推導(dǎo)

將彈塑性彎曲直梁彈塑性分區(qū)最小勢能原理應(yīng)用于一個線性強(qiáng)化彈塑性材料簡支梁,計算其變形問題。

圖3 所示為一個跨中受集中載荷作用下的彈塑性簡支梁。其中η為梁跨中截面內(nèi)彈性受力區(qū)高度,ξ為梁跨內(nèi)彈塑性區(qū)長度。

圖3 跨中受集中載荷作用下的彈塑性簡支梁Fig.3 Elastic–plastic simple-supported beam under concentrated load in mid-span

對簡支梁彎矩做如下假設(shè)

據(jù)x=0 處的端部彎矩和x=ξ處的彎矩,得

在x=ξ處的彎矩為

將式(27) 和式(28) 代入式(19),整理得

將式(27)和式(28)代入式(15)進(jìn)行積分運算,整理得

在x=0 端,[dω1/(dx)]x=0=0,可以求出C3,并代入式(30),整理得

在彈性階段ξ≤x≤l時,曲率與彎矩的關(guān)系為

P= 2bh2σs/[3(l ?2ξ)],對式(32) 進(jìn)行積分計算,且x=l/2 處,有ω2(x=l/2)=0,得

由x=ξ,有ω1(x=ξ)=ω2(x=ξ)和[dω1/(dx)]x=ξ=[dω2/(dx)]x=ξ,求出C4,C5,C6,并代入式(31) 和式(34),整理得

當(dāng)全梁皆為彈性時,在x= 0 處有[dω2/(dx)]x=0=0,x=l/2 處有ω2(x=l/2)=0,得

所以當(dāng)x=0 時

3.2 數(shù)值計算

應(yīng)用MATLAB 軟件對ηx=0(x) =h/4 時彈塑性簡支梁的彎曲方程進(jìn)行編程,計算出沿梁全長,每間隔20 mm 處豎直方向的理論和模擬撓度值,列于表1。依據(jù)彈塑性簡支梁實際邊界條件和彈塑性梁基本參數(shù)進(jìn)行建模,求解撓度值。由于本文所求的是細(xì)長彈塑性彎曲直梁,且不考慮剪切變形,故采用beam23 單元進(jìn)行ANSYS 模擬。

3.3 結(jié)果分析

根據(jù)表1,可以得到在跨中截面,當(dāng)彈性區(qū)高度在ηx=0(x) =h/4 時,彎曲直梁沿著x軸方向變化的撓度計算值和模擬值,通過對比分析,可以得到本文方法計算得出的撓度與有限元模擬求解的撓度基本吻合。從表1 可以看出,本文方法與ANSYS 模擬求解彈塑性簡支梁跨中的誤差均在允許范圍內(nèi),這表明本文方法對于求解彈塑性下梁的變形計算具有很好的適用性,能準(zhǔn)確地計算線性強(qiáng)化性材料的彈性區(qū)和塑性區(qū)的邊界問題。

表1 當(dāng)ηx=0(x)=h/4 時理論與模擬撓度數(shù)值Table 1 When ηx=0(x)=h/4，theoretical and simulated deflection values

4 結(jié)論

本文依據(jù)彈塑性分區(qū)最小勢能原理,對集中載荷作用下懸臂梁和簡支梁的撓曲變形進(jìn)行了求解,經(jīng)過數(shù)值計算結(jié)果與模擬值進(jìn)行對比分析,表明線性強(qiáng)化模型下對集中載荷作用于懸臂梁和簡支梁求解的撓曲線方程正確。說明本文方法能準(zhǔn)確計算出線性強(qiáng)化型彈塑性材料的彈性區(qū)和塑性區(qū)的分界問題,并為接下來彈塑性材料的進(jìn)一步研究與應(yīng)用提供了一個新的思路。