借助構(gòu)造法 解答高考數(shù)學(xué)題

楊蓓蓓 王佳

摘 要：高中數(shù)學(xué)解題中基于對數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的深入把握，構(gòu)造相關(guān)的函數(shù)關(guān)系，揭示相關(guān)規(guī)律，有助于學(xué)生迅速找到解題突破口，實(shí)現(xiàn)解題效率的提高.本文結(jié)合高考中的具體習(xí)題，探討構(gòu)造法在解題中的具體應(yīng)用，以指引學(xué)生更好地解題.

關(guān)鍵詞：構(gòu)造法;高考;數(shù)學(xué)習(xí)題;解答

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）10-0021-03

近年來高考數(shù)學(xué)習(xí)題對構(gòu)造法的考查較為頻繁.很多學(xué)生不注重構(gòu)造法的應(yīng)用，導(dǎo)致在解題中走了不少彎路，因此，教學(xué)中為使學(xué)生認(rèn)識到構(gòu)造法在解題中的重要性，掌握運(yùn)用構(gòu)造法解題的相關(guān)技巧與細(xì)節(jié)，有必要為學(xué)生講解構(gòu)造法在高考數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

1 構(gòu)造法解不等式習(xí)題

不等式是高中數(shù)學(xué)的重要知識點(diǎn)，相關(guān)習(xí)題的解題思路靈活多變.教學(xué)中為避免學(xué)生思維定勢，掉進(jìn)命題人設(shè)置的陷阱之中，既要注重與學(xué)生一起總結(jié)不等式習(xí)題解答思路，又要示范構(gòu)造法的應(yīng)用，使學(xué)生體會構(gòu)造法在解題中的便利，更好地把握相關(guān)習(xí)題特點(diǎn)，逐漸提升其運(yùn)用構(gòu)造法解題的意識.

例1 （2020年全國Ⅱ卷第12題）若2x-2y<3-x-3-y，則（? ）.

A.ln（y-x+1）>0?? B.ln（y-x+1）<0

C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0

該題目給出的已知條件較為簡單，但卻考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、構(gòu)造法等知識點(diǎn)，是一道不錯的好題.

解析 因?yàn)?x-2y<3-x-3-y，

所以2x-3-x<2y-3-y.

令f（t）=2t-3-t，因?yàn)?t為增函數(shù)，-3-t為增函數(shù)，所以f（t）為增函數(shù).

又因?yàn)閒（x）=2x-3-x

例4 （2020年全國Ⅰ卷）已知函數(shù)f（x）=ex+ax2-x.

（1）當(dāng)a=1時，討論f（x）的單調(diào)性;

（2）當(dāng)x≥0時，f（x）≥12x3+1，求a的取值范圍.

該題目中的第（1）問考查學(xué)生靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性問題，第（2）問考查學(xué)生運(yùn)用構(gòu)造法求函數(shù)最值問題.

解析 （1）因?yàn)閒（x）=ex+x2-x，則

f ′（x）=ex+2x-1.

則f ″（x）=ex+2>0.

所以f ′（x）在R上單調(diào)遞增.

又因?yàn)閒 ′（x）=0時，x=0，

則當(dāng)x<0時，f ′（x）<0;

當(dāng)x>0時，f ′（x）>0.

即f（x）的遞減區(qū)間為（-∞，0），遞增區(qū)間為（0，+∞）.

（2）當(dāng)x=0時，f（x）=1≥1成立，此時a∈R;

當(dāng)x>0時，由f（x）≥12x3+1整理，得

a≥12x3+x+1-exx2.

令h（x）=12x3+x+1-exx2，

問題轉(zhuǎn)化為求h（x）的最大值，則

h′（x）=（2-x）（ex-12x2-x-1）x3.

因?yàn)閤>0，因此h′（x）的正負(fù)號和2-x，ex-

12x2-x-1有關(guān).

令g（x）=ex-12x2-x-1，

則g′（x）=ex-x-1，g″（x）=ex-1>0，表明

g′（x）單調(diào)遞增.

又因?yàn)間′（0）=ex-x-1=0，

所以當(dāng)x>0時，g′（x）>0，

因?yàn)間（x）min=g（0）=0，

所以當(dāng)x>0時，g（x）>0.

當(dāng)0