兩種平方損失下反向帕累托分布形狀參數(shù)的E-Bayes估計

藍 海, 徐 寶

(吉林師范大學 數(shù)學學院， 吉林 四平 136000)

0 引言

在Bayes統(tǒng)計推斷中,先驗分布和損失函數(shù)的選取是最為重要的環(huán)節(jié)之一.常用的損失函數(shù)有：平方損失函數(shù)、加權(quán)平方損失函數(shù)、LINEX損失函數(shù)、熵損失函數(shù).文獻[1]使用平方損失函數(shù)得到可靠度Bayes估計；文獻[2]在加權(quán)平方損失函數(shù)下研究了冪函數(shù)分布參數(shù)的Bayes估計與性質(zhì)；文獻[3]利用LINEX損失函數(shù)對手術(shù)工具標定理論與實驗；文獻[4]在LINEX損失函數(shù)下估計指數(shù)種群的位置參數(shù)；文獻[5]在加權(quán)p,q對稱熵損失函數(shù)下給出了pareto分布形狀參數(shù)的最小風險同變估計；文獻[6]使用加權(quán)廣義熵損失函數(shù)研究了Weibull模型的貝葉斯可靠性.

選取先驗分布時往往都會帶入新的參數(shù)，進而影響了估計的效果，為了減小新參數(shù)對估計的影響，文獻[7]提出了一種新的參數(shù)估計法——“E-Bayes估計法”.基于該估計法的優(yōu)點，大量學者都相繼使用該估計法來對參數(shù)進行估計.如：文獻[8]帶應用的Weibull分布可靠性特征的E-Bayes估計；文獻[9]非對稱損失函數(shù)下指數(shù)Lomax分布的E-Bayes估計；文獻[10]威布爾模型的E-Bayes和多層Bayes估計比較；文獻[11]認為威布爾分布無失效數(shù)據(jù)的E-Bayes估計是可靠度的估計；文獻[12]逆高斯分布形狀參數(shù)的E-Bayes估計；文獻[13]在Mlinex損失函數(shù)下得到了幾何分布的E-Bayes估計.

本文在第一節(jié)中給出反向帕累托分布在位置參數(shù)已知時，形狀參數(shù)在加權(quán)平方損失函數(shù)下的E-Bayes估計.在第二節(jié)中給出了形狀參數(shù)在平方損失函數(shù)下的E-Bayes估計.在第三節(jié)中通過隨機模擬驗證了本文所使用的方法的合理性且E-Bayes估計的仿真性較高.其中反向帕累托分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為

f(x)=αθ-αxα-1;00,
F(x)=θ-αxα;00,

α為形狀參數(shù),θ為位置參數(shù)，簡記RP(θ,α).加權(quán)平方損失函數(shù)和平方損失函數(shù)的表達式分別為

(1)

L2(α,δ)=(δ-α)2,(α>0).

(2)

1 加權(quán)平方損失函數(shù)下的E-Bayes估計

在Bayes統(tǒng)計推斷中，隨著先驗分布的選取往往會添加新的參數(shù)，為了減小這些新參數(shù)對估計的影響，有學者提出了E-Bayes估計.本節(jié)首先列出E-Bayes估計的定義，然后結(jié)合定義討論RP(θ,α)分布中的形狀參數(shù)α在損失函數(shù)(1)下的E-Bayes估計.

由定義可以看出：為了求出形狀參數(shù)α在損失函數(shù)(1)下的E-Bayes估計，首先需要求出參數(shù)的Bayes估計，因此下面將在Bayes理論框架下，討論參數(shù)α的Bayes估計，進而求出α的E-Bayes估計.

定理1.1設(shè)X1,X2,…,Xn為來自RP(θ,α)分布的樣本觀察值，記X=(X1,X2,…,Xn)，在損失函數(shù)(1)下，對于任意的先驗分布，形狀參數(shù)α的Bayes估計為

證明設(shè)δ(X)為參數(shù)α的任一估計,在損失函數(shù)(1)下，δ(X)的Bayes風險為

δ2(X)E(α-2|X)-2δ(X)E(α-1|X)+1，

所以將上式關(guān)于δ求微分并令其為零，便可得到極值點

又因為該極值點是其唯一的極小值點，所以形狀參數(shù)α的Bayes估計為

定理1.2設(shè)定RP(θ,α)分布的形狀參數(shù)α的先驗分布為Γ(β,γ)，其中參數(shù)β,γ為超參數(shù)，且β>0,γ>0,則在損失函數(shù)(1)下，形狀參數(shù)α的Bayes估計為

證明因為形狀參數(shù)α的先驗分布為Γ(β,γ)，則有

又因為RP(θ,α)分布的密度函數(shù)為f(x)=αθ-αxα-1;00,所以樣本的似然函數(shù)為

因此形狀參數(shù)α的后驗密度為

同理可得

因此由定理1.1易知,α的Bayes估計為

接下來將在先驗分布為Γ(β,γ)下討論形狀參數(shù)α在損失函數(shù)(1)下的E-Bayes估計.根據(jù)文獻[15]，為了使估計的效果較好，參數(shù)β和γ的取值應使先驗分布密度函數(shù)為參數(shù)α的減函數(shù).再根據(jù)文獻[16]，考慮估計的穩(wěn)健性，最終確定0<β<1,0<γ

定理1.3RP(θ,α)分布中的形狀參數(shù)α在損失函數(shù)(1)下的E-Bayes估計為

證明首先由定理1.2可知，參數(shù)α在損失函數(shù)(1)下的Bayes估計為

2 平方損失函數(shù)下的E-Bayes估計

本節(jié)將研究RP(θ,α)分布在位置參數(shù)θ已知時，基于損失函數(shù)(2)探討形狀參數(shù)α的E-Bayes估計.

定理2.1設(shè)X1,X2,…,Xn為來自RP(θ,α)分布的樣本觀察值，記X=(X1,X2,…,Xn)，在損失函數(shù)(2)下，對于任意的先驗分布，形狀參數(shù)α的Bayes估計為δB*(X)=E(α|X).

證明仿照定理1.1的證明過程即可證明，因此這里從略.

定理2.2設(shè)定RP(θ,α)分布的形狀參數(shù)α的先驗分布為Γ(β,γ)，其中參數(shù)β,γ為超參數(shù)且β>0,γ>0,則在損失函數(shù)(2)下，形狀參數(shù)α的Bayes估計為

因此由定理2.1可知,α的Bayes估計為

定理2.3RP(θ,α)分布中的形狀參數(shù)α在損失函數(shù)(2)下的E-Bayes估計為

證明由定理2.2可知，參數(shù)α在損失函數(shù)(1)下的Bayes估計為

3 模擬計算

為了驗證本文所使用的方法的合理性以及估計的精確性，本文通過MATLAB進行隨機模擬.設(shè)定θ=1000,α=1,c=1.其中EB表示形狀參數(shù)α的E-Bayes估計，MSE表示估計的均方誤差，Abs表示偏差的絕對值.模擬結(jié)果見表1、表2，表中的結(jié)果均為模擬結(jié)果的平均值.

表1 加權(quán)平方損失函數(shù)下EB估計的模擬結(jié)果(θ=1000,α=1,c=1)

表2 平方損失函數(shù)下EB估計的模擬結(jié)果(θ=1000,α=1,c=1)

由表1和表2的模擬結(jié)果可以看出,無論是在損失函數(shù)(1)還是損失函數(shù)(2)下，當樣本容量增大時E-Bayes估計的MSE和Abs都在減小, 說明估計量具有大樣本性質(zhì).在損失函數(shù)(1)下的E-Bayes估計的值隨著樣本容量的增大逐漸遞增地接近真值，而在損失函數(shù)(2)下的E-Bayes估計的值隨著樣本容量的增大逐漸遞減地接近真值，并發(fā)現(xiàn)當樣本容量為n=100時,模擬效果最好.因此接下來在樣本容量固定為100時，改變c的值進行隨機模擬.由于考慮估計的穩(wěn)健性c的值分別取為c=(0.1,0.2,0.5,0.7,0.9).模擬結(jié)果見表3、表4.

表3 加權(quán)平方損失函數(shù)下EB估計的模擬結(jié)果(θ=1000,α=1,n=100)

表4 平方損失函數(shù)下EB估計的模擬結(jié)果(θ=1000,α=1,n=100)

由表3至表4的結(jié)果可以看出,在損失函數(shù)(1)下的E-Bayes估計的值要比在損失函數(shù)(2)下的E-Bayes估計更靠近真值，因此在研究RP(θ,α)分布的形狀參數(shù)時,選取損失函數(shù)(1)相比損失函數(shù)(2)效果較好.還發(fā)現(xiàn)在不同損失函數(shù)下,形狀參數(shù)α的E-Bayes估計的MSE和Abs都較小且精度較高，因此可在此基礎(chǔ)上對RP(θ,α)分布形狀參數(shù)α進行更深入的研究與探討.

4 結(jié)束語

E-Bayes估計法有效地改善了存在于先驗分布中的新參數(shù)對估計的影響，鑒于該估計法的優(yōu)點以及目前反向帕累托分布的理論研究較少，本文在位置參數(shù)已知時討論了反向帕累托分布的形狀參數(shù)分別在加權(quán)平方損失函數(shù)和平方損失函數(shù)下的Bayes估計和E-Bayes估計，并通過模擬計算驗證了E-Bayes估計的合理性，在一定程度上豐富了對于反向帕累托分布的理論研究.