巧轉(zhuǎn)化 習(xí)新知 妙解題

廖雨馨

在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是十分重要的教學(xué)目標(biāo)，而轉(zhuǎn)化思想又是其中既基本又重要的一種思想，因此教師在日常教學(xué)中應(yīng)注重轉(zhuǎn)化思想的滲透。本文主要闡述了如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透轉(zhuǎn)化思想，有意識地培養(yǎng)學(xué)生自覺轉(zhuǎn)化、有意轉(zhuǎn)化的習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生針對具體問題尋找合適的轉(zhuǎn)化方法，提高學(xué)生從不同角度分析和解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

轉(zhuǎn)化是解決數(shù)學(xué)問題的一種常見的重要的策略，更是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要的思想方法。轉(zhuǎn)化的特點是不提倡直接解決問題，而是將問題轉(zhuǎn)化，即把新問題轉(zhuǎn)化為舊知識，把一個復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為幾個簡單問題的集合，把抽象問題轉(zhuǎn)化為具體問題，把特殊問題轉(zhuǎn)化為一般問題，把逆向問題轉(zhuǎn)化為順向思維。蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)第十冊第七單元《解決問題的策略》中安排了教學(xué)用轉(zhuǎn)化的策略解決相關(guān)的問題，但任何一個新知識，都不可能是憑空出現(xiàn)的，而應(yīng)當(dāng)是原有知識發(fā)展和升華的結(jié)果，直截了當(dāng)?shù)闹R學(xué)習(xí)、乏味重復(fù)的系統(tǒng)訓(xùn)練遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如潛移默化的學(xué)習(xí)。且書本篇幅有限，幾個例題習(xí)題僅能展現(xiàn)運用轉(zhuǎn)化思想解決的一部分模式的問題。教師在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)中就應(yīng)當(dāng)深入發(fā)掘教材，合理滲透轉(zhuǎn)化思想，為此單元的學(xué)習(xí)奠定堅實基礎(chǔ)，增強(qiáng)利用轉(zhuǎn)化思想解決問題的策略意識，發(fā)展學(xué)生形成分析問題、解決問題的能力和數(shù)學(xué)思考。

一、新知轉(zhuǎn)化為舊知

學(xué)生的學(xué)習(xí)是不斷汲取新知識的一個過程，而新知又可以轉(zhuǎn)化為舊知，既是“溫故而知新”又是“教人應(yīng)使人無被教之感”。教師心中應(yīng)有一張網(wǎng)，星羅棋布，一脈相通。在實際教學(xué)中，教師利用編織的“數(shù)學(xué)之網(wǎng)”將學(xué)生初次接觸的陌生問題沿脈絡(luò)轉(zhuǎn)化成比較熟悉的知識，使學(xué)生在熟悉的氛圍中更好地接受新知識，同時也鞏固了舊知識。

例如在三年級圖形與幾何教學(xué)中，學(xué)生初次通過擺一擺，數(shù)一數(shù)由小正方形拼成的長方形的面積，探索規(guī)律，總結(jié)出長方形的面積公式，在學(xué)習(xí)正方形的面積時，就可以根據(jù)舊知“正方形是特殊的、長和寬相等的長方形”，自然而然引出正方形的面積=邊長×邊長;五年級時，學(xué)生需要探索平行四邊形的面積公式，教材引導(dǎo)學(xué)生動手實踐操作——“剪一剪”“移一移”“拼一拼”，將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，觀察得到平行四邊形的底由長方形的長轉(zhuǎn)化而來，平行四邊形的高由長方形的寬轉(zhuǎn)化而來，順其自然得到平行四邊形的面積=底×高;在探索三角形和梯形面積時，學(xué)生動手將兩個完全一樣的三角形、梯形拼成一個平行四邊形，發(fā)現(xiàn)三角形的底、梯形上下底的和是由平行四邊形的底轉(zhuǎn)化而來，三角形、梯形的高是由平行四邊形的高轉(zhuǎn)化而來，這樣的轉(zhuǎn)化雖提高了難度，但學(xué)生因已有之前的經(jīng)驗，得到三角形的面積=底×高÷2，梯形的面積=（上底+下底）×高÷2輕而易舉;而這樣的鋪墊又能讓學(xué)生在之后探索圓的面積時，對于將圓平均分成若干份，拼成一個無限接近長方形的形狀易于接受，通過觀察得到圓的半徑就是由長方形的寬轉(zhuǎn)化而來，圓周長的一半是長方形的長轉(zhuǎn)化而來，推算出圓的面積=πr2水到渠成。

而數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的知識亦可以轉(zhuǎn)化，加減法的計算是以20以內(nèi)的加減法為基礎(chǔ)，多位數(shù)加減法、小數(shù)加減法、分?jǐn)?shù)加減法都是由其計算法則轉(zhuǎn)化而來的。學(xué)生隨著年級升高，認(rèn)識的數(shù)的增大，會將20以內(nèi)加減法的計算法則延伸至兩三位數(shù)的加減法，教師只需稍加引導(dǎo)便可;小數(shù)加減法計算法則與整數(shù)加減法計算法則中最重要的“滿十進(jìn)一”一脈相承;分?jǐn)?shù)加減法在學(xué)生習(xí)得通分之后更是無需教師教學(xué)，不少學(xué)生已然能熟練計算。乘除法的計算以九九乘法表為基礎(chǔ)，多位數(shù)乘除法、小數(shù)乘除法都可以轉(zhuǎn)化為表內(nèi)乘除法。九九乘法表解決了表內(nèi)乘除法，兩位數(shù)乘一位數(shù)結(jié)合了表內(nèi)乘除法的算理與數(shù)的組成，多位數(shù)乘除法亦是如此，而小數(shù)乘除法更是直接建立在多位數(shù)乘除法算理之上。不僅僅如此，加法與減法、乘法與除法、加法與乘法之間又存在著相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系：一道加法或乘法算式可轉(zhuǎn)化為兩道減法或除法算式，加數(shù)相同的加法算式可轉(zhuǎn)化為乘法算式。這樣千絲萬縷的關(guān)系需要教師在課堂教學(xué)前認(rèn)真分析教材，把握好教材內(nèi)容的知識結(jié)構(gòu)，深入分析其中蘊含的轉(zhuǎn)化思想，在課堂上有意識地培養(yǎng)學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想習(xí)得新的計算法則，為后續(xù)更高層次的計算學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。例如在學(xué)到小數(shù)乘法第一課《小數(shù)乘整數(shù)》時，為了使學(xué)生滲透“轉(zhuǎn)化”思想，在以后的學(xué)習(xí)中能主動聯(lián)想到使用“新知識轉(zhuǎn)化為舊知識”的轉(zhuǎn)化方法，我設(shè)計了如下的新授課部分：

出示書本例題情境圖、條件、問題：“夏天的時候西瓜0.8元/千克，購買3千克西瓜要多少元？”要解決這個問題，可以怎樣列式？

生：總價=單價×數(shù)量，我們可以列式0.8×3=2.4。

師：數(shù)量關(guān)系正確，但這個列式我們之前沒有學(xué)習(xí)過，其中一個乘數(shù)是小數(shù)，怎樣計算小數(shù)乘整數(shù)？誰能聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識想辦法把它計算出來？

生1：0.8×3可以看成是3個0.8相加，0.8+0.8+0.8=2.4（元）。

生2：0.8元=8角，0.8元×3可以看成8角×3，得數(shù)為24角，24角=2.4元。

生3：8×3=24，我猜想0.8×3=2.4。

師：第一位同學(xué)根據(jù)乘法的意義——“求幾個相同加數(shù)的和可以用乘法計算”，將乘法轉(zhuǎn)化為加法求出答案，第二位同學(xué)是利用單位換算——1元=10角，把以元為單位的小數(shù)轉(zhuǎn)化成以角為單位的整數(shù)求出來的，其實大家都在不知不覺都把新知識轉(zhuǎn)化成了舊知識。（板書：新知識→舊知識）

師：把新知識轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的舊知識，這種方法就是轉(zhuǎn)化的思想方法（板書：轉(zhuǎn)化）。在今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時經(jīng)常要用到這種方法，遇到新問題時認(rèn)真思考，看是否把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的問題進(jìn)行解決。

通過這樣的設(shè)計，使學(xué)生領(lǐng)悟到，新知識其實并不新，只要將所學(xué)的知識與已學(xué)過的知識溝通起來，并運用正確的數(shù)學(xué)思想方法，就能順利地理解內(nèi)化為自己的能力。因此在每一次教學(xué)的過程中，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生感受形成過程，及時總結(jié)聯(lián)系，以構(gòu)成知識的“網(wǎng)”。

二、復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單

小學(xué)數(shù)學(xué)階段涉及的等量關(guān)系雖千變?nèi)f化，根據(jù)具體情境總有差異，但不外乎以下四類關(guān)系：部總關(guān)系、相差關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系、總分關(guān)系，再復(fù)雜的解決問題也不會逃離之外。例如：一只毛毛蟲，一天天慢慢長大，每天的長度是前一天的2倍，20天后長到了40厘米，那么它是第幾天長到10厘米的？根據(jù)題意，很多學(xué)生能得到等量關(guān)系“后一天的長度=前一天的長度×2”。但是題目中并沒有告訴我們毛毛蟲第一天的長度，學(xué)生對這種毫無頭緒的問題無法解決，感覺繞進(jìn)了一個死胡同。但是，如果把這道題目乘法的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為除法“前一天的長度=后一天的長度÷2”，至此學(xué)生便豁然開朗，問題變得簡單了，第19天的長度是第20天長度的一半（40÷2=20厘米），第18天的長度是第19天的一半（20÷2=10厘米），通過一一列舉法，就可以得到問題的答案，學(xué)生驚喜之余，收獲解題的成就。

轉(zhuǎn)化的思想方法在解決分?jǐn)?shù)的實際問題時也十分重要，如：“工程隊修一段公路，已修的米數(shù)是未修的[13]，如果再修10米，已修的米數(shù)是未修的[25]，這段公路長多少米？”雖然兩個分?jǐn)?shù)前面都是“未修的”，但由于在修路的過程中，“已修的”和“未修的”總在發(fā)生變化，這便是一道略微復(fù)雜的單位“1”不統(tǒng)一的問題。在教學(xué)時，我們可以引導(dǎo)學(xué)生在碰到此類問題時有意識地先將條件中的單位“1”統(tǒng)一，再解答問題?！耙研薜拿讛?shù)是未修的[13]”在此條件中，未修的米數(shù)是單位“1”，平均分成3份，已修的米數(shù)是這樣的1份，而根據(jù)“總長度=未修的米數(shù)+已修的米數(shù)”可知總長度是這樣的4份，因此可將題中條件轉(zhuǎn)化為“已修的米數(shù)是全長的[14]”，而“已修的米數(shù)是未修的[25]”以同理思考，將此時未修的米數(shù)看作單位“1”平均分成5份，已修的米數(shù)是這樣的2份，全長是這樣的7份，題目便可轉(zhuǎn)化為：“工程隊修一段公路，已修的米數(shù)是全長的[14]，如果再修10米，已修的米數(shù)是全長的[27]，這段公路長多少米？”將復(fù)雜的單位“1”不統(tǒng)一的題目轉(zhuǎn)化為簡單的單位“1”統(tǒng)一的題目，選擇典型的實際題目，通過為學(xué)生提供合適的探索空間，引導(dǎo)學(xué)生逐步積累針對具體問題的轉(zhuǎn)化經(jīng)驗。學(xué)生通過解決這類問題的體驗，不斷反思，當(dāng)遇到一個難以直接解決的問題，通過深入觀察和研究，轉(zhuǎn)化為簡單問題便可，在此探索過程中逐步加深了對轉(zhuǎn)化的認(rèn)識，提高用轉(zhuǎn)化策略解決問題的能力。

三、數(shù)字轉(zhuǎn)化為圖形

數(shù)字轉(zhuǎn)化為圖形即數(shù)學(xué)上常提到的“數(shù)形結(jié)合”思想，數(shù)形結(jié)合就是一種將數(shù)學(xué)語言與圖形相互結(jié)合起來的思想，小學(xué)生的邏輯思維能力較弱，純粹的數(shù)字語言難以理解，而使用數(shù)形結(jié)合思想則可以引導(dǎo)學(xué)生開拓一種新的轉(zhuǎn)化方法，借助形的直觀來闡述數(shù)之間的關(guān)系，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實現(xiàn)提高學(xué)習(xí)效率的目的，亦為初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。例如：在教學(xué)運算律之乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c時，為了使學(xué)生能更好地理解記憶乘法分配律，我設(shè)計了如下的環(huán)節(jié)：

師：請大家求出圖中最大的長方形的面積。

生1：這是一個長是（a+b），寬是c的大長方形，面積可以用這樣的字母表達(dá)式表示：S=（a+b）×c。

生2：這是由兩個小長方形組合而成的大長方形，左邊的長方形長c，寬a，面積為a×c，右邊的長方形長b，寬c，面積為b×c，最大的長方形的面積S=a×c+b×c。

師：同學(xué)們真棒！說的都非常對，居然用了兩種不一樣的方法來求這個最大的長方形的面積。這兩種方法殊途同歸，表示的都是這個大長方體的面積，因此，我們可以為這兩個式子畫上等于號，變?yōu)椋╝+b）×c=a×c+b×c。

通過解決實際問題引入，再通過自行列舉大量算式總結(jié)出乘法分配律，這種方法對于四年級的學(xué)生而言略顯枯燥，歸納總結(jié)難度也較大，而通過圖形既直觀又能自然而然引出字母表達(dá)式。

四、數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為生活

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活情境，從學(xué)生的生活經(jīng)驗和知識出發(fā)，使學(xué)生初步感受數(shù)學(xué)與日常生活的密切聯(lián)系?！薄皵?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)的?！睌?shù)學(xué)知識若直接呈現(xiàn)給學(xué)生，必是抽象、理性與標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)模型，小學(xué)生的認(rèn)知水平有限，對于數(shù)學(xué)的很多未知領(lǐng)域探索能力較差。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)中，把抽象的知識還原到生活中，生活化的課堂情境更能激起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，發(fā)掘數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，主動在生活中探索數(shù)學(xué)問題。例如：在教學(xué)《平均數(shù)》一課時，我設(shè)計了如下的教學(xué)活動：將學(xué)生分為四人一組，計算每個小組的平均身高。相較于書本上的習(xí)題，來源于生活的活動使得學(xué)生的積極性立馬被調(diào)動起來，課堂氣氛十分活躍。在每組求出結(jié)果后，不僅僅讓完成速度較快的小組交流經(jīng)驗，更拋出一系列的問題：“你是用什么方法來計算你們小組的平均身高的？”“通過這些數(shù)據(jù)，你能得到什么結(jié)論？”。平均數(shù)的相關(guān)知識點——求平均數(shù)的方法、平均數(shù)的范圍……其實都蘊含在學(xué)生的頭腦風(fēng)暴中。這樣的教學(xué)活動使得學(xué)生意識到數(shù)學(xué)與生活之間的緊密聯(lián)系，不能脫離生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。同時，在這樣的課堂活動中會出現(xiàn)各種現(xiàn)實的問題，學(xué)生更有興趣去解決，其中蘊含的數(shù)學(xué)知識，學(xué)生更容易掌握理解并牢記在心。數(shù)學(xué)不僅反映生活更需要服務(wù)于生活，數(shù)學(xué)知識最終應(yīng)當(dāng)用于解決生活中的問題，數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為生活，學(xué)生更善于用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活中的問題，真正體會到數(shù)學(xué)知識的價值。

總而言之，轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)思想的精髓，數(shù)學(xué)中許多知識可以用到轉(zhuǎn)化，可用轉(zhuǎn)化策略分析和解決的實際問題有很多，卻沒有統(tǒng)一的固定的模式。作為教師，我們應(yīng)當(dāng)全面了解學(xué)生，深入研究他們的知識水平，努力鉆研，將數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想貫穿于小學(xué)數(shù)學(xué)教育的始終，通過逐步積累用轉(zhuǎn)化策略解決問題的經(jīng)驗，增強(qiáng)學(xué)生主動運用策略的自覺性，如順?biāo)浦郯闾岣邔W(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生能力的全面發(fā)展，為學(xué)生的持續(xù)發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ)。