“四個(gè)理解”視角下的橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)研究

安徽省宿州學(xué)院附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 馬 杰 （郵編：234000）

安徽省宿州市第三中學(xué) 王 輝 （郵編：234000）

2017 年4 月，在“以核心素養(yǎng)為綱的數(shù)學(xué)教學(xué)改革”的研討會(huì)上，章建躍博士完善了他提出的“四個(gè)理解”，即理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)、理解技術(shù).這為廣大一線教師的教學(xué)提供了風(fēng)向標(biāo)，是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)，也是教學(xué)的一個(gè)重要抓手.2021 年11 月4 日，筆者在宿州三中的錄播室中聆聽了王輝老師的一節(jié)示范課，課題名稱是“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”，教學(xué)設(shè)計(jì)理念來(lái)自于對(duì)“四個(gè)理解”的認(rèn)識(shí)，教學(xué)思路清晰，教學(xué)手段豐富，以小組合作探究的方式完成了本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).現(xiàn)把王老師的教學(xué)思路和筆者的一些教學(xué)思考，整理成文，以饗讀者.

1 從概念本質(zhì)特征上——理解數(shù)學(xué)

美國(guó)認(rèn)知教育心理學(xué)家奧蘇貝爾曾說(shuō)：“在向?qū)W生傳授新知識(shí)之前，給學(xué)生一個(gè)短暫的具有概括性和引導(dǎo)性的說(shuō)明.”本節(jié)是北師大版選擇性必修第一冊(cè)第二章“圓錐曲線”的起始課，在教材的章節(jié)導(dǎo)入語(yǔ)中，明確了“圓錐曲線”的概念，即用平面去截圓錐面，根據(jù)截面與圓錐面的軸的夾角不同，所得的截線分別是圓、橢圓、拋物線、雙曲線，并把它們統(tǒng)稱圓錐曲線.它揭示了該章名稱的由來(lái)，作為學(xué)生對(duì)圓錐曲線認(rèn)知的起點(diǎn)，能有效激發(fā)學(xué)生對(duì)本章的整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)，建立與前面已學(xué)的知識(shí)聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生我們接下來(lái)需要研究的主題，因此，本節(jié)課的教學(xué)無(wú)論從數(shù)學(xué)思想上，還是數(shù)學(xué)方法上對(duì)全章起到引領(lǐng)作用，有效地發(fā)揮了章節(jié)導(dǎo)入語(yǔ)的價(jià)值.

理解數(shù)學(xué)重在抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，橢圓的本質(zhì)特征就是橢圓上的任意一點(diǎn)到平面兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)（該常數(shù)大于兩定點(diǎn)之間的距離），這也是1579 年意大利畫家蒙蒂對(duì)橢圓的定義.教學(xué)中充分利用幾何畫板、細(xì)繩畫橢圓以及丹德林雙球模型的微視頻，目的是讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化中的規(guī)律，尋找運(yùn)動(dòng)變化中的不變性，有利于學(xué)生抓住這一根本，明晰橢圓的概念，理解數(shù)學(xué)知識(shí)，從而為探究橢圓的方程和性質(zhì)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，也為本單元的知識(shí)學(xué)習(xí)整體構(gòu)建框架，符合新課程倡導(dǎo)的單元教學(xué)理念.

2 從學(xué)生思維規(guī)律上——理解學(xué)生

在此之前，學(xué)生在上一章已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線和圓，已經(jīng)初步經(jīng)歷和體驗(yàn)了研究解析幾何的方法——坐標(biāo)法，所以，學(xué)生對(duì)用坐標(biāo)法研究本節(jié)內(nèi)容，并不陌生，已有相關(guān)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，為順利開展本節(jié)課的教學(xué)提供了方法保障.由于本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)就是橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，同時(shí)這也是本節(jié)的難點(diǎn).教學(xué)中，讓學(xué)生根據(jù)動(dòng)畫演示、微視頻、細(xì)繩畫橢圓，都是為了激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，經(jīng)過(guò)教師的引導(dǎo)，類比圓的定義，抽象出橢圓的定義.在得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之前，教師設(shè)計(jì)了一系列的問(wèn)題，提醒學(xué)生遵循對(duì)稱的觀點(diǎn)建立合適的坐標(biāo)系，利用推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，得出方程2a，對(duì)方程的化簡(jiǎn)到(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)后，引導(dǎo)學(xué)生類比圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的簡(jiǎn)潔、優(yōu)美的形式，小組討論，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，這個(gè)運(yùn)算過(guò)程需要學(xué)生有沉著冷靜的思維品質(zhì)，特別有利于提升數(shù)學(xué)運(yùn)算這一核心素養(yǎng).因此，理解學(xué)生就是要遵循建構(gòu)主義的觀點(diǎn)，既不能把問(wèn)題設(shè)計(jì)的太難，也不能把問(wèn)題設(shè)計(jì)的沒有思維含量，要以“不捅破窗戶紙為最佳”.這樣才能做到，通過(guò)教師的教學(xué)幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)更清晰、更深入、更全面的、更合理地進(jìn)行思考，并能由“理性思維”逐步走向“理性精神[1]”.

3 從把握教學(xué)規(guī)律上——理解教學(xué)

課堂是教師教學(xué)的主陣地，是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的加油站.充分把握教育規(guī)律，遵循學(xué)生的認(rèn)知心理，循序漸進(jìn)，逐步讓學(xué)生自主構(gòu)建知識(shí).學(xué)生的學(xué)習(xí)就是在澄清問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中得以不斷推進(jìn)的[2].因此，課堂教學(xué)中，王老師采用以問(wèn)題為導(dǎo)向，注重對(duì)學(xué)生思維的引導(dǎo)，加強(qiáng)學(xué)生的理解力的培養(yǎng)，從而給學(xué)生提供一個(gè)知識(shí)架構(gòu).主要教學(xué)過(guò)程,摘錄如下:

3.1 認(rèn)識(shí)橢圓

問(wèn)題設(shè)計(jì)請(qǐng)大家觀察幻燈片中常見的圖片，如圖1、圖2，回答問(wèn)題：

圖1

圖2

你看到了什么形狀？你還有哪些生活經(jīng)驗(yàn)?zāi)苌蓹E圓？

設(shè)計(jì)意圖從行星運(yùn)動(dòng)軌跡到生活中的橢圓，學(xué)生在感嘆大自然的神奇的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

3.2 形成概念

在教學(xué)中，如何點(diǎn)撥才能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)橢圓的本質(zhì)特征.王老師采取了三個(gè)措施：利用微視頻播放丹德林雙球模型、利用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示、學(xué)生合作用細(xì)繩畫出橢圓，三個(gè)活動(dòng)都具有明確的指向性——凸顯橢圓的本質(zhì)，進(jìn)而構(gòu)建概念.

圖3

圖4

問(wèn)題設(shè)計(jì)觀看丹德林雙球模型的微視頻你發(fā)現(xiàn)了什么？根據(jù)幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，觀察動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，有什么樣的發(fā)現(xiàn)？利用細(xì)繩畫出的橢圓的過(guò)程中，什么是一直不變的？當(dāng)繩長(zhǎng)等于兩定點(diǎn)距離以及小于兩定點(diǎn)之間的距離的時(shí)候，能畫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡嗎？

追問(wèn)你能類比圓的定義得到橢圓的定義嗎？

設(shè)計(jì)意圖心理學(xué)家皮亞杰指出:“活動(dòng)是認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，智慧從動(dòng)手開始.”學(xué)生在實(shí)驗(yàn)操作中，體會(huì)橢圓的定義特征；在小組活動(dòng)中，培養(yǎng)學(xué)生的合作、探究意識(shí)，通過(guò)設(shè)置的問(wèn)題的引導(dǎo)，自然生成了橢圓的概念.

3.3 推導(dǎo)方程

問(wèn)題設(shè)計(jì)推導(dǎo)直線和圓的方程的方法是什么？能利用這種方法去推導(dǎo)橢圓的方程嗎？

請(qǐng)小組討論如下建系方案：

方案1以定點(diǎn)F1為原點(diǎn)，兩定點(diǎn)的連線為x軸；

方案2以定點(diǎn)F2為原點(diǎn)，兩定點(diǎn)的連線為x軸；

方案3以定點(diǎn)F1、F2的連線為x軸，它的垂直平分線為y軸；

方案4以定點(diǎn)F1、F2的連線為y軸，它的垂直平分線為x軸；

根據(jù)你建立的坐標(biāo)系，你能寫出動(dòng)點(diǎn)滿足的集合嗎？

追問(wèn)1類比圓的標(biāo)準(zhǔn)方程如何化簡(jiǎn)這個(gè)方程嗎？（小組合作，利用平板電腦上傳化簡(jiǎn)結(jié)果，教師進(jìn)行分析）

追問(wèn)2當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),它的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的呢?

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生在實(shí)際操作中，體會(huì)到數(shù)學(xué)的對(duì)稱之美、簡(jiǎn)潔之美.建立平面直角坐標(biāo)系，得到點(diǎn)P滿足的集合{ }P||PF1|+|PF2|=2a，利用兩點(diǎn)間的距離公式容易得到方程，引導(dǎo)學(xué)生從不同的思路去化簡(jiǎn).當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察、思考會(huì)發(fā)現(xiàn)，只要交換坐標(biāo)軸就可以了，從而得到了焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

這種小組的合作討論，學(xué)生體驗(yàn)了不同思路的思維碰撞（有的平方化簡(jiǎn)，有的分子有理化等），體會(huì)求曲線方程的一般方法即建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、檢驗(yàn)，形成了學(xué)習(xí)橢圓知識(shí)過(guò)程中基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為拋物線、雙曲線的后續(xù)學(xué)習(xí)提供建構(gòu)基礎(chǔ).

3.4 知識(shí)深化

問(wèn)題設(shè)計(jì)請(qǐng)同學(xué)們完成以下表格

x2 y2 y2 x2標(biāo)準(zhǔn)方程b2=1(a ＞b ＞0)a2 +b2=1(a ＞b ＞0)____a2 +不同_______點(diǎn)相同__________點(diǎn)圖形形狀焦點(diǎn)坐標(biāo)______________________________________橢圓________________________________________定義a、b、c 三者關(guān)系_____________________________________

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生對(duì)橢圓知識(shí)結(jié)構(gòu)有一個(gè)整體的認(rèn)知，把知識(shí)系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想.

3.5 鞏固應(yīng)用

例1（1）在平面內(nèi)，若動(dòng)點(diǎn)P到A(-3,0)，B(3,0)的距離之和為8，則點(diǎn)P的軌跡是______;

（2）在平面內(nèi)，若動(dòng)點(diǎn)P到A(-4,0)，B(4,0)的距離之和為8，則點(diǎn)P的軌跡是______;

（3）在平面內(nèi)，若動(dòng)點(diǎn)P到A(-1,0)，B(1,0)的距離之和為1，則點(diǎn)P的軌跡是______.

例2已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2坐標(biāo)分別為(-2,0)，(2,0)，點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和三角形PF1F2的周長(zhǎng).

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)例題的學(xué)習(xí)，重點(diǎn)考察橢圓的基礎(chǔ)知識(shí)，讓學(xué)生理解的基礎(chǔ)上掌握橢圓的概念和求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法.

3.6 課堂練習(xí)

（2）求適合下列條件的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：

①a=，b=1，焦點(diǎn)在x軸上；

②焦點(diǎn)為（0，-3）,(0,3)且a=5.

（3）（思考題）已知點(diǎn)C(2,0)為圓A：（x+2）2+y2=36 半徑上一點(diǎn)，點(diǎn)M在圓A上，作MC的中垂線交AM于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)M在圓A上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡.

設(shè)計(jì)意圖課堂練習(xí)分層，起到了鞏固橢圓知識(shí)的作用，思考題是本節(jié)課數(shù)學(xué)思想與方法的延續(xù)，起到單元教學(xué)的一體性的作用.

4 從服務(wù)數(shù)學(xué)教學(xué)上——理解技術(shù)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）在教學(xué)建議中要求，“重視信息技術(shù)運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)課堂技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合[3]”.為了把本節(jié)教學(xué)與信息技術(shù)充分融合，選擇的教學(xué)場(chǎng)所是一間多功能教室，兼有智慧課堂和錄播室的功能.因此，無(wú)論是教師的教學(xué)展開還是學(xué)生對(duì)問(wèn)題的解決，都可以平板電腦上進(jìn)行，這也為學(xué)生的深度學(xué)習(xí)提供一個(gè)環(huán)境和氛圍.節(jié)約了和認(rèn)知體驗(yàn).例如，先利用微視頻播放丹德林雙球模型，再到運(yùn)用幾何畫板制作的動(dòng)畫展示等內(nèi)容，直觀地展示了橢圓形象，這既節(jié)約了時(shí)間又增加了課堂教學(xué)容量；在課堂練習(xí)環(huán)節(jié)，老師先設(shè)置好答案，充分利用平板電腦的統(tǒng)計(jì)和投屏功能，及時(shí)總結(jié)學(xué)生的錯(cuò)誤地方，特別對(duì)那道思考題的教學(xué)，部分學(xué)生利用幾何畫板自主探究了動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題.這些認(rèn)知體驗(yàn)，是無(wú)法由他人替代的，印象是深刻的，促進(jìn)了對(duì)學(xué)生橢圓概念的理解，對(duì)凸顯教學(xué)重點(diǎn)、突破教學(xué)難點(diǎn)提供幫助，有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng)，為教學(xué)的順利開展提供了積極的輔助作用.

5 教學(xué)思考與啟示

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來(lái)發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（簡(jiǎn)稱“四基”）[3].本節(jié)課在“四個(gè)理解”的基礎(chǔ)上，以問(wèn)題為引領(lǐng)，以信息技術(shù)為輔助，圍繞“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（常數(shù)大于|F1F2|）”來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)，落實(shí)教學(xué)的基本知識(shí)；運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決橢圓的問(wèn)題，促進(jìn)了學(xué)生基本技能的發(fā)展；利用平面直角坐標(biāo)系推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的基本思想；學(xué)生經(jīng)歷了由形入數(shù)，再由數(shù)入形的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，讓學(xué)生獲得關(guān)于橢圓知識(shí)的這一基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).因此，“四個(gè)理解”是指導(dǎo)教師進(jìn)行課堂教學(xué)的定海神針，能培養(yǎng)學(xué)生的“四基”，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，當(dāng)然“四個(gè)理解”是一體的，互為表里，不能割裂，才能落實(shí)新課程下的單元教學(xué)理念.