懸鏈線方程在輸電線路參數(shù)計(jì)算中的應(yīng)用

吳春暉，朱亦振，王 曉

（金華八達(dá)集團(tuán)有限公司監(jiān)理分公司，浙江 金華 321000）

0 引言

近年來，隨著電網(wǎng)工程建設(shè)的高速發(fā)展，工程質(zhì)量驗(yàn)收與輸電線路的維護(hù)變得愈發(fā)重要。其中，輸電線路自身的弧垂、線路兩兩交跨點(diǎn)間的交跨弧垂都是線路設(shè)計(jì)、施工建設(shè)和后期維護(hù)的重要指標(biāo)［1］。線路弧垂是否在安全范圍內(nèi)直接影響輸電系統(tǒng)能否安全、穩(wěn)定地運(yùn)行?；〈惯^小，當(dāng)遇到大風(fēng)天氣時(shí)，線路可能因受到的拉力過大而斷線，進(jìn)而導(dǎo)致危險(xiǎn)事故發(fā)生；弧垂過大，則可能導(dǎo)致弧垂和地面物體接觸，進(jìn)而發(fā)生放電事故。因此出于輸電線路及其周邊環(huán)境的安全考慮，需要定期對輸電線路各檔的弧垂進(jìn)行測量［3］。

已建成輸電線路弧垂的測量通常由工作人員使用全站儀完成［4］，這種方法雖然能夠保證測量的精確度，但工作效率不盡人意，特別是在高山、湖泊、叢林、峽谷這些難以到達(dá)的目的地，測量任務(wù)無法完成。隨著無人機(jī)的興起，激光雷達(dá)測距逐漸投入弧垂測量作業(yè)中，但激光雷達(dá)存在造價(jià)高昂、易受天氣因素影響的弊端，所以尋找一種快速、高效且成本較低的測量方法尤為重要［5］。

如今無人機(jī)技術(shù)日漸成熟，本文提出一種創(chuàng)新性的測量方案：利用無人機(jī)自身的空間定位功能，讓其沿輸電線路進(jìn)行航點(diǎn)飛行，對線路軌跡進(jìn)行拍照定位，傳回空間位置坐標(biāo)信息，隨后用懸鏈線方程擬合線路軌跡，最終計(jì)算出線路弧垂、桿塔檔距等參數(shù)。相較于利用全站儀人工測量，該方案在精度上稍遜一籌，但自動化程度更高，尤其是能解決人工無法到達(dá)區(qū)域的測量問題。相較于使用激光雷達(dá)測量，該方案建設(shè)成本更低。

1 懸鏈線模型擬合輸電線路軌跡

1.1 輸電線路軌跡模型的選取

通過理論分析可知，在對輸電線路進(jìn)行軌跡擬合時(shí)有2 種數(shù)學(xué)模型最相近，一種是拋物線公式，一種是懸鏈線公式。采用拋物線公式計(jì)算得到的線路弧垂往往偏小，并且隨著參數(shù)的增大誤差也會逐漸增大，不能滿足日常監(jiān)測的需要。相對而言，懸鏈線公式更適合沿線路軌跡的弧垂計(jì)算［6］。

懸鏈線公式如下［7-9］：

式中：以輸電線路側(cè)面為二維平面，海平面初始值為0，H為輸電線路軌跡上的點(diǎn)離海平面的距離；t為輸電線路軌跡上的點(diǎn)距離參考點(diǎn)的水平距離；A、B、C為常數(shù)，其值由懸鏈線方程通過3個航點(diǎn)測量值t計(jì)算得到，多組數(shù)據(jù)所得的A、B、C值不同時(shí)取均值。A決定懸鏈線開口方向以及大小，B決定偏移距離，A、C共同決定離海平面距離，三者共同決定懸鏈線形狀。

當(dāng)選取的參考坐標(biāo)系以及初始參考點(diǎn)不同時(shí)，會導(dǎo)致A、B、C的取值不同，但計(jì)算弧垂以及其他相關(guān)參數(shù)時(shí)，最終的測量結(jié)果并不會發(fā)生變化。

1.2 模型空間坐標(biāo)系的重建方案

1.2.1 地理坐標(biāo)系與投影坐標(biāo)系的簡介

工程中使用GPS（全球定位系統(tǒng)），其地理坐標(biāo)系包含經(jīng)度、緯度和高程，因此得到的位置信息是基于WGS-84 標(biāo)準(zhǔn)的。而人們?nèi)粘Ｉ钪兴吹降淖鴺?biāo)系是二維的，這種坐標(biāo)系被稱為投影坐標(biāo)系［10］。

從三維坐標(biāo)系變化到二維坐標(biāo)系，必然會直接導(dǎo)致投影后的圖像發(fā)生變形或失真，在不同的三維投影坐標(biāo)系下可能會出現(xiàn)不同的失真，這就需要根據(jù)實(shí)際情況對其進(jìn)行投影轉(zhuǎn)換。常見的投影方法主要包括墨卡托投影法和等矩形投影法，其失真效果如圖1 所示。對墨卡托投影坐標(biāo)系而言，越到緯度高的地方，大小扭曲變形程度越大，所以墨卡托投影坐標(biāo)系無法顯示極地地區(qū)。

圖1 墨卡托投影坐標(biāo)系與等矩形投影坐標(biāo)系失真效果

1.2.2 地理坐標(biāo)系在偽墨卡托投影下的轉(zhuǎn)換

本文提出的模型空間坐標(biāo)系重建設(shè)計(jì)方案是將地理坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換成偽墨卡托投影坐標(biāo)系［11］。偽墨卡托投影坐標(biāo)系去除了緯度在85.051 129°以上的南北兩極區(qū)域，保證了其中一個正方形的獨(dú)特性，從而使不同緯度和層次上的物體外形和形狀保持固定不變，一個正方形可以接連不斷地被劃分成更多的小正方形來顯示更多的細(xì)節(jié)。轉(zhuǎn)換公式如式（2）—（3）所示：

式中：L1為GPS 中的經(jīng)度；L2為GPS 中的緯度；x為空間坐標(biāo)系中X軸數(shù)值；y為空間坐標(biāo)系中Y軸數(shù)值。

1.2.3 建立新的空間坐標(biāo)系

本文以從地理坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到偽墨卡托投影坐標(biāo)系的x、y值為基礎(chǔ)，再添加地理坐標(biāo)系中的高度信息，將其作為z值，此外將其中一根桿塔所在位置定義為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立新的空間坐標(biāo)系，如圖2所示。

圖2 新的空間坐標(biāo)系

在新的坐標(biāo)系中，桿塔OA與另一個桿塔O′B連接形成的直線結(jié)合其高度形成新的二維平面坐標(biāo)系，如圖3所示。

圖3 輸電線路側(cè)面投影為新的二維坐標(biāo)系

2 輸電線路相關(guān)參數(shù)的計(jì)算方法

2.1 等高桿塔間輸電線路的弧垂計(jì)算

等高桿塔中間輸電線路的大致軌跡如圖4 所示。圖中，h1為輸電線路最大弧垂，h2為輸電線路最小離地高度，w1為桿塔之間的檔距，H為桿塔位置的輸電線路高度。

圖4 等高輸電線路軌跡

結(jié)合圖2可知，當(dāng)獲取到輸電線路軌跡上某點(diǎn)的經(jīng)緯度信息，將其轉(zhuǎn)換到新的空間坐標(biāo)系后，可以推導(dǎo)出式（4）—（6）。

式中：θ1為桿塔所在直線與新空間坐標(biāo)系中X軸所形成的夾角；y為式（3）中由緯度轉(zhuǎn)換得到的值；x為式（3）中由經(jīng)度轉(zhuǎn)換得到的值；z為輸電線路軌跡上的點(diǎn)通過懸鏈線公式擬合計(jì)算得到的高度值。

因?yàn)榈雀邨U塔中間的輸電線路軌跡所擬合的懸鏈線為對稱圖形（如圖4所示），那么最大弧垂位置即在兩桿塔之間的中心位置。將中心位置所對應(yīng)的t值代入式（6）即可得到輸電線路軌跡在空間坐標(biāo)系中的高度值z，再利用無人機(jī)在桿塔位置獲取的輸電線路高度H減去z，就得到該等高輸電線路的最大弧垂。通過無人機(jī)記錄的桿塔位置信息，轉(zhuǎn)換到空間坐標(biāo)系后，也可計(jì)算出兩桿塔之間的檔距w1。最小離地弧垂值h2可以通過H-h1得到。

等高桿塔還存在非等高地形的情況，如圖5所示。圖中，H1為桿塔a位置的輸電線路離地高度，H2為桿塔b位置輸電線路離地高度，θ2為坡度。

圖5 等高輸電線路非等高地形

此種類型的輸電線路最大弧垂、兩桿塔之間的檔距均與前文計(jì)算方法一致。輸電線路離地高度可根據(jù)坡度來計(jì)算。

2.2 非等高桿塔間輸電線路的弧垂計(jì)算

非等高桿塔中間輸電線路的軌跡大致如圖6所示。圖中，桿塔a所在輸電線路離地高度為H1，桿塔b所在輸電線路離地高度為H2，θ3為最大弧垂所在點(diǎn)的切線斜率所對應(yīng)的角度，w1為桿塔之間的檔距，h1為輸電線路最大弧垂。

圖6 非等高輸電線路

若要計(jì)算h1，首先利用式（7）計(jì)算得出θ3：

其中雙曲余弦的求導(dǎo)公式為：

則懸鏈線的求導(dǎo)公式如下：

將θ3對應(yīng)的斜率帶入懸鏈線的求導(dǎo)公式中，通過式（10）算出最大弧垂所對應(yīng)的t值。

將利用式（10）算出的t代入桿塔兩端輸電線路源頭所連接形成的直線方程中，即圖6中輸電線路軌跡上方的虛直線，可計(jì)算出一個高度值ht，再利用式（11）可計(jì)算得到最大弧垂h1：

2.3 輸電線路交跨位置的高度差計(jì)算

輸電線路的交跨示意圖如圖7所示。如果2條交跨線路間的弧垂設(shè)計(jì)不當(dāng)，同樣會引發(fā)事故，所以監(jiān)測交跨位置點(diǎn)的弧垂高度差也是電力巡檢的重要任務(wù)。

圖7 輸電線路的交跨示意圖

圖7中，Sag為桿塔A1A2和桿塔B1B2交跨位置點(diǎn)的弧垂高度差。首先找到Sag對應(yīng)輸電線路所在位置的t值；再將輸電線路軌跡在新建空間坐標(biāo)系中以俯視圖投影到平面坐標(biāo)系，如圖8所示；在平面坐標(biāo)系中，可以得到桿塔A1A2和桿塔B1B2所在的直線方程，求解聯(lián)立方程式（12），便可得出交跨點(diǎn)位置（x，y）。

根據(jù)投影坐標(biāo)系的特點(diǎn)，將x值轉(zhuǎn)換得到其對應(yīng)懸鏈線投影上的值t，將t1、t2代入懸鏈線方程中，得到各自在交跨點(diǎn)的弧垂點(diǎn)離地高度，再相減就可以得到輸電線路中交跨位置的高度差。

2.4 輸電線路與樹木等障礙物的交跨距離

輸電線路與樹木等障礙的交跨示意圖如圖8所示。

圖8 輸電線路與樹木等障礙的交跨示意圖

先確定從GPS 到新建空間坐標(biāo)系中的（x，y），再通過x計(jì)算得到對應(yīng)的t值，代入懸鏈線方程得到懸鏈線軌跡上交跨點(diǎn)位置對應(yīng)的弧垂離地高度h1，（x，y）離懸鏈線投影距離d可由式（13）得到。

交跨距離可由式（14）計(jì)算得到。

3 輸電線路參數(shù)計(jì)算系統(tǒng)

3.1 巡線方案設(shè)計(jì)

在以往研究成果［12-13］的基礎(chǔ)上，本文提出輸電線路參數(shù)計(jì)算方案如下：基于無人機(jī)自身GPS 定位功能，飛手控制無人機(jī)從桿塔A位置沿線路軌跡飛行，記錄經(jīng)度、緯度、高度信息，并將上述信息傳入線路參數(shù)計(jì)算系統(tǒng)中，系統(tǒng)擬合該線路的數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)模型計(jì)算得出相應(yīng)參數(shù)。

在無人機(jī)作業(yè)過程中，飛手控制無人機(jī)始終和輸電線路保持平行，所采集到的數(shù)據(jù)實(shí)際上是待測線路在空間上的平移，這種平移在計(jì)算弧垂時(shí)不會造成測量誤差。并且目前行業(yè)級的無人機(jī)自身基于RTK模塊可以達(dá)到較高的定位精度。因此，通過用無人機(jī)飛行軌跡從空間平移的角度來模擬輸電線路軌跡的方式在理論上是可行的。圖9為無人機(jī)描點(diǎn)方式的三維示意圖。

圖9 無人機(jī)描點(diǎn)方式的三維示意圖

3.2 系統(tǒng)誤差分析

為了測試系統(tǒng)誤差，工作人員利用全站儀采集輸電線路弧垂和交跨處的弧垂高度差等數(shù)據(jù)。因?yàn)闂U塔之間的檔距由經(jīng)緯度之間轉(zhuǎn)換得到，對無人機(jī)沒有直接影響，所以不必分析其誤差。

在無人機(jī)測量輸電線路交跨軌跡時(shí)，會因?yàn)闊o人機(jī)偏移而造成測量誤差［3］。根據(jù)實(shí)際情況，發(fā)現(xiàn)該尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于地球尺度，故提出一種更為簡便的調(diào)整誤差的計(jì)算方法。在調(diào)整偏移誤差時(shí)，可以投影到平面坐標(biāo)系計(jì)算，具體如圖10所示。

圖10 中，AB點(diǎn)為線路交跨點(diǎn)，圖中虛線所示為無人機(jī)飛行軌跡，所形成的交跨點(diǎn)為A′B′點(diǎn)。在該點(diǎn)得到的弧垂分別為AB′、A′B點(diǎn)對應(yīng)的弧垂，這樣就會有測量上的誤差，對此需要根據(jù)無人機(jī)相對輸電線路的飛行方式作出誤差矯正。

圖10 誤差軌跡俯視圖

同理，如圖11、12 所示，樹木等障礙物與導(dǎo)線的交跨距離也存在誤差。

圖11 無人機(jī)位于障礙物與輸電線路之間時(shí)的誤差

3.3 誤差矯正

采用式（15）對圖10所示交跨誤差進(jìn)行矯正：

式中：P為無人機(jī)與輸電線路實(shí)際位置的偏移值，根據(jù)無人機(jī)在輸電線路側(cè)邊方向不同取正負(fù)值。

采用式（16）對圖11所示交跨誤差進(jìn)行矯正：

式中：W為無人機(jī)距離輸電線路水平偏移距離。將式（16）代入式（14）可得交跨距離。

采用式（17）對圖12所示交跨誤差進(jìn)行矯正：

圖12 無人機(jī)位于輸電線路和障礙物同側(cè)時(shí)的誤差

將式（17）代入式（14）可得交跨距離。

3.4 結(jié)果分析

本系統(tǒng)對采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換計(jì)算，并將其與全站儀測得的數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，結(jié)果如表1—7所示。

表1 各類數(shù)據(jù)說明

通過對表中誤差進(jìn)行分析，可知本系統(tǒng)的誤差主要來源于以下4個方面。

1）懸鏈線方程包含3個未知量，用3點(diǎn)即可擬合出一條懸鏈線。本系統(tǒng)在用懸鏈線擬合輸電線路軌跡時(shí)只使用了3個點(diǎn)的坐標(biāo)，在實(shí)際作業(yè)場景中，輸電線路軌跡并不一定完全符合懸鏈線公式，因此可以掃描多點(diǎn)，進(jìn)行多次擬合，最后取均值，減少誤差。

2）飛手在操控?zé)o人機(jī)進(jìn)行打點(diǎn)定位時(shí)，與輸電線路間的距離并不穩(wěn)定，存在作業(yè)操作上的人為誤差，與系統(tǒng)無關(guān)。

3）表7中，第1、2組計(jì)算數(shù)據(jù)與測量數(shù)據(jù)誤差為3.759%，第3、4組誤差為0.365 5%，第5、6組誤差為0.806 16%，第7、8 組誤差為0.658 58%。這是由于第1、2 組數(shù)據(jù)采用5 個點(diǎn)擬合懸鏈線所在直線，變換到新的坐標(biāo)系下產(chǎn)生誤差較大，其余數(shù)據(jù)直接使用兩點(diǎn)計(jì)算直線，誤差較小。與以往研究［15］對比發(fā)現(xiàn)，本文提出的計(jì)算方案精度處于一個較高水平。

表2 作業(yè)中獲取的各類數(shù)據(jù)

表3 作業(yè)中獲取的桿塔之間掃描點(diǎn)經(jīng)度數(shù)據(jù)（°）

表4 作業(yè)中獲取的桿塔之間掃描點(diǎn)緯度數(shù)據(jù)（°）

表5 作業(yè)中獲取的桿塔之間掃描點(diǎn)高度數(shù)據(jù)m

表6 系統(tǒng)計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)測數(shù)據(jù)

表7 數(shù)據(jù)誤差分析

4）無人機(jī)在對輸電線路進(jìn)行打點(diǎn)定位時(shí)，由于天氣原因輸電線路并不是固定不動的，所以也會存在誤差。

4 結(jié)語

本文提出的基于懸鏈線方程的輸電線路參數(shù)計(jì)算系統(tǒng)，能夠在誤差允許范圍內(nèi)較快計(jì)算出輸電線路的弧垂、交跨點(diǎn)弧垂高度差和桿塔檔距，并且完成工程應(yīng)用。相較于以往方案，本方案在數(shù)據(jù)采集時(shí)具有較高的時(shí)效性，并且作業(yè)成本較低，只需一臺小型無人機(jī)即可完成整套操作，能夠到達(dá)山林、河流、密林等人力難以到達(dá)的地方進(jìn)行測量，顯著提高了作業(yè)效率。此外，本文所提方案所需參數(shù)更少，計(jì)算速度更快，計(jì)算結(jié)果誤差小。因此，本文提出的輸電線路參數(shù)計(jì)算系統(tǒng)在線路巡檢和維護(hù)中具有較高的工程應(yīng)用價(jià)值。