共面單脈沖攔截多目標(biāo)問題

夏存言，張剛，耿云海

哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱 150001

隨著航天事業(yè)發(fā)展，在軌航天器之間的交互需求也隨之增加，不論是非接觸式的相互通信、觀測(cè)等目的，還是接觸式的軌道攔截或交會(huì)，均離不開航天器在軌軌道機(jī)動(dòng)。軌道機(jī)動(dòng)從目標(biāo)約束條件不同可以分為軌道轉(zhuǎn)移、軌道攔截和軌道交會(huì)3類。從航天器自身機(jī)動(dòng)方式上又可以分為脈沖機(jī)動(dòng)和連續(xù)推力機(jī)動(dòng)。其中軌道轉(zhuǎn)移問題往往不會(huì)對(duì)機(jī)動(dòng)位置和機(jī)動(dòng)時(shí)間做嚴(yán)格約束。但是軌道攔截問題則對(duì)終端時(shí)刻的位置有著嚴(yán)格的要求，軌道交會(huì)問題還同時(shí)有著嚴(yán)格的速度匹配要求。

在軌道轉(zhuǎn)移、軌道攔截和軌道交會(huì)問題中，軌道轉(zhuǎn)移任務(wù)通常只涉及到燃料或時(shí)間的優(yōu)化問題，而軌道攔截和交會(huì)任務(wù)在現(xiàn)代航天中扮演著越來越重要的角色。不論是需要近距離飛掠或交會(huì)的近地小行星探測(cè)任務(wù)，或是需要近距離觀測(cè)的大型航天器在軌服務(wù)任務(wù)及近距離捕捉的空間碎片清除任務(wù)，抑或是需要精確攔截的假想空間攻防對(duì)抗任務(wù)等，都需要軌道攔截策略作為理論研究基礎(chǔ)?？紤]軌道機(jī)動(dòng)的形式為脈沖機(jī)動(dòng)時(shí)，軌道攔截及交會(huì)問題即為經(jīng)典的Lambert問題，對(duì)此也已經(jīng)有很多學(xué)者提出了多種有效解決方法，并且在經(jīng)典Lambert問題的基礎(chǔ)上，考慮了長飛行時(shí)間的條件，即多圈Lambert問題；以及考慮實(shí)際飛行環(huán)境中的攝動(dòng)力影響條件下的受攝Lambert問題。考慮到實(shí)際任務(wù)中雖然對(duì)于終端位置速度等條件有著較為嚴(yán)格的約束，但是對(duì)于脈沖時(shí)刻及飛行時(shí)長等其他條件往往并不會(huì)嚴(yán)格要求，所以此類任務(wù)通常還會(huì)涉及到對(duì)于燃料或時(shí)間的優(yōu)化過程。當(dāng)攔截器與待攔截航天器軌道共面時(shí)，還可以考慮當(dāng)脈沖方向受限情況下的攔截優(yōu)化問題。

雖然經(jīng)典的脈沖式軌道攔截問題不論在解法上或者優(yōu)化過程上都已經(jīng)得到了較為成熟的發(fā)展，但是往往相關(guān)理論研究均建立在一次脈沖或多次脈沖對(duì)應(yīng)單一目標(biāo)的基礎(chǔ)之上。然而隨著現(xiàn)在航天任務(wù)的增多，任務(wù)對(duì)于低成本、高效率的需求更加迫切。在很多任務(wù)中，往往存在著飛掠、攔截或交會(huì)多個(gè)空間目標(biāo)的需求。針對(duì)大規(guī)模目標(biāo)的攔截或飛掠任務(wù)，單次脈沖攔截或飛掠多個(gè)目標(biāo)可以提升任務(wù)效率。在實(shí)際工程背景下，航天器脈沖機(jī)動(dòng)的次數(shù)有時(shí)也會(huì)有著比較嚴(yán)格的限制，例如，對(duì)于傳統(tǒng)的固體助推火箭推進(jìn)系統(tǒng)，難以在軌多次開關(guān)機(jī)，通常均為一次性推進(jìn)使用。另外，目前大多數(shù)工程應(yīng)用中，航天器軌道機(jī)動(dòng)需要地面測(cè)控系統(tǒng)的支持；脈沖機(jī)動(dòng)次數(shù)越多，需要的地面資源越多。

單脈沖攔截多目標(biāo)這一理論問題，當(dāng)脈沖時(shí)刻和飛行時(shí)間均自由時(shí)，在理論上存在單脈沖攔截二目標(biāo)的可行解。而對(duì)于共面情況，理論上存在單脈沖攔截三目標(biāo)的可行解。與傳統(tǒng)的單脈沖對(duì)單目標(biāo)不同，該問題增加了一項(xiàng)終端位置約束，使得即使在二體條件下，也無法推導(dǎo)出此問題的完整解析解。在2019年的國際軌道優(yōu)化設(shè)計(jì)大賽(GTOC-X)中，“銀河系移民”賽題里也包含著單脈沖攔截多目標(biāo)這一子問題，這一子問題的求解也是競(jìng)賽取得高分的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。競(jìng)賽的冠軍隊(duì)伍結(jié)果中給出的解決方法是“打靶+優(yōu)化”。其思路可以概括為先隨機(jī)給定速度脈沖，然后通過數(shù)值積分得到其飛行軌跡，并在賽題給定的10萬個(gè)備選目標(biāo)中搜索出與其軌跡接近的目標(biāo)集，之后再通過對(duì)脈沖矢量進(jìn)行修正得到更精確的攔截解。由于備選目標(biāo)數(shù)量龐大，該方法可以通過搜索有效地得到一系列可行解集。但針對(duì)空間中給定的二到三個(gè)目標(biāo)，如何從理論上進(jìn)行求解，目前并無相關(guān)研究報(bào)道。

結(jié)合前文所述，本文將通過理論推導(dǎo)和研究，將共面條件下的單脈沖攔截二、三目標(biāo)問題化簡(jiǎn)總結(jié)為求解只包含兩個(gè)自由變量的非線性方程組問題，并給出求解初值搜索方法，再通過牛頓迭代，得到共面條件下二維方程組的數(shù)值解。此外，對(duì)于二目標(biāo)情況，其解不唯一，將通過數(shù)值優(yōu)化得到燃料最優(yōu)解。

1 問題描述

為表達(dá)簡(jiǎn)潔，問題描述以單脈沖攔截三目標(biāo)為例，單脈沖攔截二目標(biāo)的情況可視為在此基礎(chǔ)上減少一個(gè)待攔截目標(biāo)和對(duì)應(yīng)終端約束。

考慮地球二體引力模型下飛行軌道共面的4個(gè)航天器，包括1個(gè)攔截器和3個(gè)待攔截航天器,,。需要注意的是，待攔截航天器的編號(hào)與攔截目標(biāo)的編號(hào)并無直接對(duì)應(yīng)關(guān)系，攔截目標(biāo)編號(hào)以攔截順序?yàn)橐罁?jù)，即若攔截順序?yàn)椤?，則目標(biāo)2為航天器，目標(biāo)3為航天器(見圖1)。

問題中共涉及5個(gè)時(shí)刻，分別為整體任務(wù)的初始時(shí)刻、施加脈沖機(jī)動(dòng)時(shí)刻、3個(gè)目標(biāo)器的攔截時(shí)刻、、。在初始時(shí)刻，其初始位置點(diǎn)分別為0,,1,,2,,3,，對(duì)應(yīng)的位置矢量分別為0,,1,,2,,3,。在時(shí)刻(≥)，攔截器施加脈沖機(jī)動(dòng)Δ，使攔截器的飛行軌道由其初始軌道變?yōu)閿r截軌道，并使其在,,(<<<)時(shí)刻分別與3個(gè)目標(biāo)完成軌道攔截，如圖1所示。求解此問題即為求解脈沖時(shí)刻，攔截時(shí)刻,,及脈沖矢量Δ。

不難分析，當(dāng)目標(biāo)數(shù)量為2時(shí)，由于共面條件的存在，未知量個(gè)數(shù)為5個(gè)(,,及速度脈沖在平面內(nèi)的2個(gè)分量)，而終端約束方程為4個(gè)(即攔截器與目標(biāo)的位置矢量在平面內(nèi)2個(gè)分量分別相等)。未知量的個(gè)數(shù)多于約束方程的個(gè)數(shù)，所以理論上共面單脈沖攔截二目標(biāo)問題存在無窮多組解，同時(shí)也為該問題在固定脈沖時(shí)刻或者某一目標(biāo)的攔截時(shí)刻下的求解提供了條件。對(duì)應(yīng)的，當(dāng)目標(biāo)數(shù)量為3時(shí)，未知量個(gè)數(shù)為6個(gè)，終端

圖1 單脈沖攔截二/三目標(biāo)過程示意圖Fig.1 Schematic diagram of two/three-target orbit interception problem with a single impulse

約束方程也為6個(gè)，即共面條件下單脈沖攔截三目標(biāo)問題在給定的范圍內(nèi)，只有有限個(gè)數(shù)的可行解。

雖然該問題易于定性分析，但是不論是4個(gè)或6個(gè)方程構(gòu)成的高度非線性的方程組，在求解時(shí)都有著很高的難度和復(fù)雜度，并且很難找到合理的初值。所以，如果可以通過軌道理論將自由變量和方程的個(gè)數(shù)減少，求解過程將得以極大簡(jiǎn)化。此過程將在之后的內(nèi)容中具體推導(dǎo)和介紹。需要說明的是，文中所給出的理論方法均建立在二體引力模型下，當(dāng)考慮J2攝動(dòng)時(shí)，本文方法得到的結(jié)果仍可以保證攔截器與目標(biāo)近距離飛掠。

2 單脈沖攔截二目標(biāo)

2.1 終端約束非線性方程組

在二體引力模型下，航天器在其軌道某確定真近點(diǎn)角,(=0,1,2,3,4 and=0,1,2,3)處的位置矢量,可表示為

,=,,

(1)

(2)

,=

(3)

式中：,為位置矢量,的大??；,為地心慣性系下的位置矢量方向單位矢量；為半長軸；為偏心率；為真近點(diǎn)角；為軌道傾角；為升交點(diǎn)赤經(jīng)；為近地點(diǎn)幅角。

通過Gibbs三矢量定軌方法可知，在共中心引力體的前提下，3個(gè)共面的位置矢量可以確定一條開普勒軌道。考慮到本問題中共面的條件天然滿足，因此若,,已知，與之分別唯一對(duì)應(yīng)的3個(gè)位置矢量0,,1,,2,即可唯一確定一條航天器飛行軌道，即本問題中的攔截軌道。由Gibbs方法可以推導(dǎo)出攔截器在攔截軌道上對(duì)應(yīng)時(shí)刻的速度矢量表達(dá)式:

(4)

(5)

考慮到攔截所需的終端位置相等，式(5)中的相關(guān)矢量有著如下等式關(guān)系：

(6)

即式(4)中的所有變量均可表示為關(guān)于,,的函數(shù)。

通過狀態(tài)矢量，可以表示出攔截軌道的相關(guān)軌道根數(shù)：

1) 半長袖

(7)

2) 偏心率矢量

(8)

(9)

由真近點(diǎn)角與偏近點(diǎn)角、平近點(diǎn)角間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得到對(duì)應(yīng)位置處的平近點(diǎn)角表達(dá)式為

(10)

式中：=0,1,2,3,4且=0,1,2,3。

由開普勒方程建立關(guān)于目標(biāo)1和目標(biāo)2的終端時(shí)刻位置約束方程組：

(11)

不難發(fā)現(xiàn)，在式(11)中，等號(hào)右側(cè)各量均是關(guān)于、、的函數(shù)，即方程組的自由變量只有、、。所以關(guān)于共面單脈沖攔截二目標(biāo)問題，可以通過Gibbs三矢量定軌方法將其轉(zhuǎn)化為求解包含3個(gè)自由變量的二維非線性方程組，即式(11)的問題。但是由于自由變量個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)，該方程組在理論上存在無窮多組解，這給此問題人為增加期望的約束條件提供了可能。

通過人為給定、、其中之一，問題便可轉(zhuǎn)換為固定出發(fā)時(shí)刻或攔截目標(biāo)之一時(shí)刻條件下的共面單脈沖攔截二目標(biāo)問題。在2.2節(jié)中將具體介紹對(duì)于此問題的分析和求解過程。

2.2 給定t0、t1、t2之一的方程組求解

方程組(11)可以寫為

(12)

(13)

(14)

式中：為方程組的Jacobi矩陣，

(15)

(16)

式(16)中涉及到的各偏導(dǎo)數(shù)實(shí)際上均可通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到解析表示，由于過程較為繁瑣，為避免冗繁，在此處不做詳細(xì)推導(dǎo)。取而代之則可以通過數(shù)值方法得到近似偏導(dǎo)數(shù)矩陣。2.3節(jié)將給出牛頓迭代求解方程組的初值搜索方法。

另外，當(dāng)3個(gè)時(shí)刻均自由時(shí)，此問題還可以對(duì)燃料進(jìn)行優(yōu)化求解。如限制脈沖時(shí)刻在攔截器一個(gè)軌道周期內(nèi)條件下，傳統(tǒng)方法大多由進(jìn)化算法等全局優(yōu)化+序列二次規(guī)劃等局部?jī)?yōu)化尋得約束條件下的燃料最優(yōu)解；傳統(tǒng)方法的優(yōu)化變量包括脈沖時(shí)刻、攔截兩個(gè)目標(biāo)的時(shí)刻及共面脈沖向量的2個(gè)分量(共5個(gè)變量)，終端約束條件是攔截2個(gè)目標(biāo)的位置(共4個(gè)方程)。而本文首先針對(duì)給定脈沖時(shí)刻，求解二維方程組得到經(jīng)過兩目標(biāo)的解，然后僅優(yōu)化脈沖時(shí)刻，得到燃料最優(yōu)解，可以使整個(gè)問題的維度降低。

2.3 迭代初值搜索

對(duì)于此問題而言，由于其非線性程度很高，很難通過理論分析推導(dǎo)給出合理的初值，所以需要借助數(shù)值搜索算法進(jìn)行方程組迭代初值的獲取。得益于已經(jīng)將此問題的自由變量個(gè)數(shù)減少為2個(gè)，經(jīng)典的等高線圖，即PCP(Pork-Chop Plot)搜索算法可以有效地搜索合理的初值點(diǎn)。PCP法是一種在深空探測(cè)任務(wù)發(fā)射窗口搜索中十分重要的方法。通過將給定區(qū)間范圍的兩自由變量按照一定的步長網(wǎng)格化，對(duì)每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)計(jì)算指標(biāo)函數(shù)值，最后將數(shù)據(jù)通過等高線圖的形式可視化，合理的初值點(diǎn)即可輕松獲取。

PCP法對(duì)只有2個(gè)自由變量的初值搜索問題十分有效，因此同樣適用于單脈沖攔截二目標(biāo)問題。仍以固定脈沖時(shí)刻為例，則2個(gè)自由變量為、，令搜索的指標(biāo)函數(shù)為攔截兩個(gè)目標(biāo)的時(shí)間誤差之和，表示為

(17)

若足夠小，則表示攔截目標(biāo)1和目標(biāo)2的時(shí)間誤差均足夠小，與其對(duì)應(yīng)的[,]便可以認(rèn)為是合理的初值點(diǎn)。

通常來說，傳統(tǒng)意義上PCP法搜索初值點(diǎn)是通過人工在等高線圖上進(jìn)行選取。但為了求解計(jì)算的程序化，可以為PCP法增加一個(gè)篩選的過程，即在對(duì)每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)計(jì)算指標(biāo)函數(shù)值后，若小于給定的容許值(例如500 s)，則該點(diǎn)即可被視為是一個(gè)合理的初值點(diǎn)。通過這種策略得到的初值點(diǎn)，大部分都可以在迭代后收斂得到精確的可行解，其余無法收斂至=0的初值點(diǎn)則會(huì)被舍棄。最終得到的解，便是在給定區(qū)間范圍內(nèi)的所有單脈沖攔截二目標(biāo)的可行解。

3 單脈沖攔截三目標(biāo)

與單脈沖攔截二目標(biāo)不同，攔截三目標(biāo)時(shí)，若仍選擇Gibbs三矢量定軌法建立方程組，則易知方程維數(shù)和自由變量的個(gè)數(shù)均為3。雖然數(shù)量上只增加了一個(gè)，但是對(duì)于方程組求解的復(fù)雜度來說，其提升是巨大的。如Jacobi矩陣的待計(jì)算項(xiàng)將會(huì)由4項(xiàng)增至9項(xiàng)，且初值搜索由于自由變量個(gè)數(shù)增加了一個(gè)，導(dǎo)致網(wǎng)格點(diǎn)的數(shù)量會(huì)增加2～3個(gè)數(shù)量級(jí)。以上條件均表明關(guān)于共面單脈沖攔截三目標(biāo)問題，三矢定軌確定攔截軌道的策略不再適用。所以，為了使該問題同樣可以得到充分的簡(jiǎn)化以便于求解，一種通過Lambert解以減少自由變量個(gè)數(shù)的策略將在下文中介紹。

需要說明的是，與經(jīng)典的三脈沖攔截三目標(biāo)任務(wù)相比，單脈沖攔截三目標(biāo)有著更為嚴(yán)苛的約束條件。對(duì)于三脈沖攔截三目標(biāo)，自由變量包括三次脈沖的時(shí)刻、攔截3個(gè)目標(biāo)的時(shí)刻、以及三次脈沖分量(共12個(gè)變量)，約束方程包括攔截3個(gè)目標(biāo)時(shí)位置矢量(共6個(gè)約束條件)。對(duì)于單脈沖攔截三目標(biāo)，優(yōu)化變量和約束方程均為6個(gè)。因此，單脈沖攔截三目標(biāo)問題并不存在優(yōu)化空間，在一定的時(shí)間范圍約束下，該問題是否存在解以及存在解的個(gè)數(shù)，只能通過數(shù)值計(jì)算得到。

3.1 終端約束非線性方程組

由于增加了1個(gè)待攔截目標(biāo)，使得終端約束方程的數(shù)量增加，因此若仍期望使方程的數(shù)量為2，則需要令3個(gè)終端約束之一始終滿足，而Lambert理論則恰好適用。當(dāng)脈沖時(shí)刻以及攔截其中某一目標(biāo)(以目標(biāo)1為例)的時(shí)刻給定時(shí)，通過Lambert算法即可獲得一條可以保證滿足攔截目標(biāo)1的攔截軌道，同時(shí)由于所有的初始軌道均天然滿足共面條件，所以用Lambert算法得到的攔截軌道也必然處在同一平面內(nèi)。換言之，攔截軌道可以由[,]唯一確定。

當(dāng)攔截軌道的相關(guān)參數(shù)確定后，通過共面軌道的相關(guān)參數(shù)和幾何關(guān)系，可以得到其與目標(biāo)2、目標(biāo)3的軌道交點(diǎn)處各自的真近點(diǎn)角，過程如下。

當(dāng)兩軌道共面時(shí)，設(shè)兩軌道分別以A、B表示，則若二者有交點(diǎn)，交點(diǎn)處有=。由式(2) 可得

(18)

從真近點(diǎn)角的定義可知在交點(diǎn)處兩條軌道上的真近點(diǎn)角滿足如下關(guān)系：

(19)

令

(20)

則結(jié)合式(19)，可將式(18)變換為

+cos+sin=0

(21)

(22)

由三角函數(shù)關(guān)系求解方程(21)，并結(jié)合式(19) 即可求得及。通過以上分析，令攔截軌道為A軌道，目標(biāo)2、目標(biāo)3的軌道分別作為B軌道，則可以得到攔截軌道與目標(biāo)2、3軌道交點(diǎn)處各真近點(diǎn)角4,,4,,2,,3,。通過式(10)轉(zhuǎn)至平近點(diǎn)角，并建立相應(yīng)的開普勒時(shí)間方程為

(23)

在方程組(23)中，所有變量都是關(guān)于,的函數(shù)。通過加入Lambert方法，將共面單脈沖攔截三目標(biāo)問題也轉(zhuǎn)化為求解只包含兩個(gè)自由變量的非線性方程組的問題。與2.1節(jié)中單脈沖攔截二目標(biāo)的不同之處在于，式(23)中的各變量雖然是關(guān)于,的函數(shù)，但是由于Lambert問題的求解算法并不是完全解析的，導(dǎo)致式(23)的方程組無法解析表示，從而無法推導(dǎo)出其解析形式的Jacobi矩陣，只能通過數(shù)值方法近似得到其Jacobi矩陣再進(jìn)行牛頓迭代求解。

雖然求解過程只能使用數(shù)值方法，但是由于自由變量的個(gè)數(shù)為2，相比于3個(gè)自由變量的情況，綜合考慮初值搜索和求解的復(fù)雜度，該方法仍然有著明顯的優(yōu)勢(shì)。

3.2 方程組數(shù)值求解

方程組(23)可寫為

(24)

(25)

3.3 迭代初值搜索

對(duì)于單脈沖攔截三目標(biāo)問題，由于3.1節(jié)中工作已經(jīng)將問題的自由變量個(gè)數(shù)如攔截二目標(biāo)一樣減少為2。所以初值搜索仍然可以選擇2.3節(jié)中介紹的Pork-Chop圖法。只需將指標(biāo)函數(shù)的形式改寫為

(26)

由式(26)為指標(biāo)搜索得到的初值點(diǎn)即可代入迭代方程對(duì)方程組進(jìn)行求解。值得注意的是，對(duì)于單脈沖攔截三目標(biāo)問題，雖然通過引入Lambert理論將自由變量個(gè)數(shù)減少為2個(gè)，但是對(duì)于問題本身，其終端約束仍然比攔截二目標(biāo)更強(qiáng)，以至于在較短的時(shí)間范圍內(nèi)(如攔截器初始軌道的一個(gè)軌道周期內(nèi)出發(fā)，目標(biāo)2的一個(gè)軌道周期內(nèi)攔截)，有可能出現(xiàn)無法搜索到合理初值點(diǎn)的情況。所以，對(duì)于單脈沖攔截三目標(biāo)問題，在初值搜索時(shí)，若難以尋得合理初值點(diǎn)，可以考慮在滿足任務(wù)要求的前提下，將搜索區(qū)間適當(dāng)擴(kuò)大以尋求可行解。

4 仿真算例

4.1 單脈沖攔截二目標(biāo)

針對(duì)單脈沖攔截二目標(biāo)問題，初始攔截器及二目標(biāo)軌道參數(shù)如表1所示。

表1 攔截二目標(biāo)問題初始軌道參數(shù)

以給定脈沖時(shí)刻為例，對(duì)攔截目標(biāo)1和目標(biāo)2的時(shí)間,進(jìn)行搜索，值得注意的是，由于對(duì)于攔截順序并沒有約束，所以目標(biāo)1既可以是，也可以是。以目標(biāo)1為為例，令脈沖時(shí)刻=1 500 s，對(duì)于目標(biāo)1和目標(biāo)2的搜索的時(shí)間區(qū)間分別為(,]、(,],,分別為目標(biāo)1、目標(biāo)2的一個(gè)軌道周期。搜索時(shí)間步長為100 s。將初值搜索結(jié)果中>1 000 s的結(jié)果舍去，從而形成等高線圖，結(jié)果見圖2。

從圖2中可以看出，當(dāng)以為目標(biāo)1時(shí)，脈沖時(shí)刻固定為1 500 s條件下，有著可以使指標(biāo)函數(shù)足夠接近0的點(diǎn)，而在這些點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的及則可以視為足夠接近精確解，可作為求解方程組的初值點(diǎn)。

需要說明的是，在實(shí)際的仿真求解該問題的過程中，繪制等高線圖的過程是不必要的，只需要通過程序選擇指標(biāo)函數(shù)<500 s的點(diǎn)作為初值集合即可。此處給出等高線圖僅供讀者便于理解此過程。

圖2 S1為目標(biāo)1條件下初值搜索等高線圖Fig.2 Contour map of initial value search with S1 as target 1

表2中，1號(hào)解的結(jié)果是一條雙曲線軌道，雖然速度增量遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過實(shí)際應(yīng)用可以接受的范圍，但這也只是針對(duì)如表1的初始條件以及前文介紹的相關(guān)約束條件下的特殊情況，仍然可以說明本文對(duì)該問題的相關(guān)研究同樣適用于攔截軌道為雙曲線軌道的情況。2號(hào)解及3號(hào)解的速度增量則分別為3.777 km/s 及0.534 km/s。相應(yīng)的攔截所需時(shí)間也依次增加，在實(shí)際工程應(yīng)用時(shí)則可以根據(jù)任務(wù)需求，綜合燃料及時(shí)間因素進(jìn)行選擇。

同時(shí)，可以看出在本文的條件設(shè)置下，該問題的解中沒有攔截順序?yàn)椤那闆r，這說明在初值搜索時(shí)便沒有使指標(biāo)函數(shù)足夠小的點(diǎn)，說明對(duì)于以為目標(biāo)1的情況，在給定的時(shí)間約束條件下，沒有可以實(shí)現(xiàn)單脈沖攔截二目標(biāo)的解。

以表2中1～3號(hào)解中的速度增量最小的3號(hào)解為例，繪制航天器飛行軌跡如圖3所示，可以看出攔截器在脈沖后與二目標(biāo)實(shí)現(xiàn)了精準(zhǔn)攔截。

表2 攔截二目標(biāo)問題解集Table 2 Solutions of two-target interception problem

注:序號(hào)1～3為固定脈沖時(shí)刻=1 500 s條件下的解;序號(hào)“*”為燃料最優(yōu)解

圖3 最小速度增量解飛行軌跡Fig.3 Trajectories of the minimum-fuel solution

另外，考慮到單脈沖攔截二目標(biāo)的脈沖時(shí)刻可以任意給定，所以在一定的時(shí)間區(qū)間約束下，可以對(duì)所需燃料進(jìn)行優(yōu)化，并得到對(duì)應(yīng)的燃料最優(yōu)解。例如在攔截器的一個(gè)軌道周期內(nèi)施加速度脈沖并尋找燃料最優(yōu)解，則可以通過將脈沖時(shí)刻按一定步長搜索，得到相應(yīng)的最小脈沖隨脈沖時(shí)刻變化曲線。針對(duì)表2所示初始參數(shù)，以10 s為步長，畫出相應(yīng)曲線如圖4所示。

從圖4可以看出，對(duì)于給定的初始軌道參數(shù)，單脈沖攔截二目標(biāo)所需的最小速度增量隨攔截器脈沖時(shí)刻變化在大部分情況下可認(rèn)為是連續(xù)的，且可以從結(jié)果數(shù)據(jù)中得到近似最小速度增量解，在其附近減小步長即可搜索得到最小速度增量解，見表2中序號(hào)“*”。可以看出最小速度增量解所需速度增量為0.520 km/s，相比于本節(jié)設(shè)置的1 500 s脈沖時(shí)刻初始條件下求得的最小速度增量0.534 km/s所需燃料更少。

圖4 最小速度增量隨脈沖時(shí)刻變化曲線Fig.4 Minimum-fuel solution with different impulse times

另外，圖4中=3 390 s時(shí)，最小脈沖出現(xiàn)“跳躍”的情況，是由于此時(shí)刻附近求解得到的攔截軌道偏心率趨近于1，從慣性系中觀察，軌道的運(yùn)行方向即將反向，攔截軌道的軌道傾角即將從60°跳變?yōu)?20°(同時(shí)升交點(diǎn)赤經(jīng)由90°跳變?yōu)?70°)所致。

4.2 單脈沖攔截三目標(biāo)

對(duì)于單脈沖攔截三目標(biāo)問題，初始軌道參數(shù)如表3所示。

由于攔截順序并不作約束，單脈沖攔截三目標(biāo)問題的攔截順序與攔截二目標(biāo)相比選擇性更多。考慮到理論求解方法一致，所以在此處僅以其中一種攔截順序?yàn)槔?，攔截順序?yàn)椤?。首先?duì)此情況進(jìn)行初值搜索，令脈沖時(shí)刻范圍在的一個(gè)軌道周期之內(nèi)，即∈[0,]，攔截的時(shí)刻在的一個(gè)軌道周期之內(nèi)，即∈(,]。搜索步長100 s，舍去>1 000 s 的點(diǎn)，得到等高線圖結(jié)果如圖5所示。求解得到單脈沖攔截三目標(biāo)結(jié)果見表4。

表3 攔截三目標(biāo)問題初始軌道參數(shù)

圖5 攔截三目標(biāo)問題初值搜索等高線圖Fig.5 Contour map of initial value search of three-target interception problem

以表4中1號(hào)解為例，繪制航天器飛行軌跡如圖6所示。從圖中可以看出，攔截器成功通過一次脈沖實(shí)現(xiàn)了對(duì)3個(gè)目標(biāo)的攔截。

表4 單脈沖攔截三目標(biāo)問題解集Table 4 Solutions of three-target interception problem

圖6 攔截三目標(biāo)問題飛行軌跡Fig.6 Trajectories of three-target interception problem

4.3 針對(duì)三目標(biāo)攔截的單脈沖和三脈沖結(jié)果比較

由于三脈沖攔截三目標(biāo)由于有著6個(gè)維度的自由變量空間，可通過全局優(yōu)化算法(如遺傳算法等)得到最優(yōu)解。針對(duì)本文的特定初始軌道參數(shù)，給出單脈沖攔截三目標(biāo)的可行解與三脈沖攔截三目標(biāo)優(yōu)化解的對(duì)比結(jié)果，結(jié)果見表5。結(jié)果表明，當(dāng)攔截所有目標(biāo)的任務(wù)總時(shí)長約束在的1或2倍軌道周期內(nèi)時(shí)，遺傳算法得到的燃料最優(yōu)解與本文單脈沖攔截三目標(biāo)的結(jié)果一致。但是當(dāng)時(shí)間約束放寬至3或4倍時(shí)，遺傳算法得到的優(yōu)化解優(yōu)于單脈沖攔截三目標(biāo)的結(jié)果。

值得注意的是，單脈沖攔截三目標(biāo)問題解的存在性與最優(yōu)性與初始軌道直接相關(guān)，在某些初始條件下存在解，并且可能是較短時(shí)間約束下的最優(yōu)解；但在某些初始條件下不存在解，或單脈沖解所需燃料大于多目標(biāo)解。在實(shí)際工程應(yīng)用中，可根據(jù)脈沖次數(shù)和脈沖大小等實(shí)際因素進(jìn)行方案選擇。

表5 針對(duì)攔截三目標(biāo)的單脈沖和三脈沖結(jié)果對(duì)比Table 5 Comparison of single-impulse and three-impulse three-target interception results

5 結(jié) 論

本文通過分析固定脈沖或攔截某一目標(biāo)時(shí)刻的情況，對(duì)共面單脈沖攔截二目標(biāo)問題進(jìn)行了求解。對(duì)于二目標(biāo)的情況，其解不唯一，通過分析求解得到了燃料最優(yōu)解。同時(shí)對(duì)于脈沖時(shí)刻及攔截時(shí)刻均自由條件下的共面單脈沖攔截三目標(biāo)問題進(jìn)行了分析和數(shù)值求解。在二體模型下，分別利用Gibbs方法、Lambert理論，將2個(gè)理論問題轉(zhuǎn)化為僅含兩個(gè)自由變量的非線性方程組的求解問題。之后分別通過解析推導(dǎo)、數(shù)值計(jì)算得到二者的雅各比矩陣，并通過牛頓迭代實(shí)現(xiàn)了問題的求解。初始猜測(cè)由等高線圖法給出。采用提出的單脈沖多目標(biāo)攔截方法，在二體模型下實(shí)現(xiàn)了二/三目標(biāo)的精確攔截。數(shù)值結(jié)果表明，在一些初始條件和時(shí)間約束下，本文提出的單脈沖攔截三目標(biāo)方法的解與三脈沖攔截三目標(biāo)數(shù)值優(yōu)化解相同。