梁寒玉，張文瀚，王振華,*，沈毅

1.北京控制工程研究所，北京 100190 2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001

飛輪是衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的關(guān)鍵執(zhí)行部件之一。雖然衛(wèi)星飛輪具有較高的設(shè)計(jì)可靠性，但是由于其長(zhǎng)期運(yùn)行在惡劣的空間環(huán)境中，故障是無法完全避免的。衛(wèi)星飛輪的故障可能會(huì)引起姿態(tài)控制性能下降，甚至?xí)绊懶l(wèi)星的正常運(yùn)行。因此，對(duì)飛輪的故障進(jìn)行及時(shí)有效的診斷和處理，對(duì)于衛(wèi)星的安全穩(wěn)定運(yùn)行具有重要意義。

航天器控制系統(tǒng)的故障診斷與容錯(cuò)控制技術(shù)得到了國(guó)內(nèi)外研究者的廣泛關(guān)注。在衛(wèi)星飛輪故障診斷方面，文獻(xiàn)[6]針對(duì)衛(wèi)星動(dòng)量輪閉環(huán)系統(tǒng)提出了一種基于未知輸入觀測(cè)器的飛輪故障隔離方法；文獻(xiàn)[7]提出了一種利用擴(kuò)展卡爾曼濾波技術(shù)的衛(wèi)星飛輪故障檢測(cè)方法；文獻(xiàn)[8]基于歷史觀測(cè)數(shù)據(jù)建立了飛輪的高斯混合模型，采用貝葉斯后驗(yàn)概率方法研究了衛(wèi)星飛輪的故障診斷方法；文獻(xiàn)[9]中提出了一種基于偏差分離原理和兩階段卡爾曼濾波的衛(wèi)星反作用飛輪故障診斷方法，并利用半實(shí)物仿真平臺(tái)進(jìn)行了驗(yàn)證；文獻(xiàn)[10]提出了一種基于兩階段擴(kuò)展卡爾曼濾波的衛(wèi)星飛輪故障估計(jì)方法。目前文獻(xiàn)中的大部分結(jié)果集中在衛(wèi)星飛輪的故障診斷方面，在衛(wèi)星飛輪故障預(yù)測(cè)方面的研究相對(duì)較少。文獻(xiàn)[11]針對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的故障預(yù)測(cè)問題，提出了一種結(jié)合模糊基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)與自回歸模型的故障預(yù)測(cè)方法，但是該方法需要使用大量衛(wèi)星正常運(yùn)行時(shí)的歷史數(shù)據(jù)來訓(xùn)練模糊基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)，在一定程度上限制了其實(shí)用性。文獻(xiàn)[12]基于衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的可重構(gòu)性分析，利用Kaplan-Meier估計(jì)器和極大似然估計(jì)方法建立了系統(tǒng)故障的Petri網(wǎng)預(yù)測(cè)模型，并在此基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了對(duì)衛(wèi)星故障的預(yù)測(cè)和系統(tǒng)剩余使用壽命的估計(jì)。文獻(xiàn)[13]通過使用指數(shù)模型來描述衛(wèi)星反作用飛輪故障，提出了一種結(jié)合卡爾曼濾波和粒子濾波的飛輪故障預(yù)測(cè)方法，但是粒子退化現(xiàn)象會(huì)影響該方法的性能。

基于退化模型的故障預(yù)測(cè)方法的性能通常依賴于退化模型的精度。對(duì)于衛(wèi)星飛輪這樣的在軌運(yùn)行器件，通過地面試驗(yàn)的方式可以得到其退化模型的形式，但是很難準(zhǔn)確地確定出每個(gè)飛輪個(gè)體退化模型中的參數(shù)。因此，如何在軌估計(jì)出飛輪退化模型中的未知參數(shù)，對(duì)于飛輪的故障預(yù)測(cè)是至關(guān)重要的。但是，在對(duì)飛輪退化模型中的參數(shù)進(jìn)行在軌估計(jì)時(shí)，需要考慮模型或者測(cè)量偏差，這就需要研究魯棒估計(jì)方法?，F(xiàn)有的魯棒估計(jì)方法，卡爾曼濾波和估計(jì)是最常用的2種方法。在卡爾曼濾波中，通常需要假設(shè)偏差的概率分布是已知的；在估計(jì)中，需要假設(shè)偏差的能量是有界的。但實(shí)際上，實(shí)際系統(tǒng)中的偏差通常是未知但有界的。集員估計(jì)方法可以處理未知但有界不確定性條件下的估計(jì)問題，近年來得到了很多學(xué)者的重視，尤其是在故障診斷方面，集員估計(jì)技術(shù)得到了越來越多的應(yīng)用。與故障診斷相比，集員估計(jì)技術(shù)在故障預(yù)測(cè)方面缺乏相關(guān)研究?；谏鲜鲇懻?，本文提出了一種基于中心對(duì)稱多面體的集員估計(jì)方法，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)飛輪故障的檢測(cè)和預(yù)測(cè)。本文還利用數(shù)值仿真對(duì)提出的方法進(jìn)行了驗(yàn)證，仿真結(jié)果表明所提出的方法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)飛輪故障的早期檢測(cè)和提前預(yù)警，具有較好的可靠性和有效性。

1 衛(wèi)星飛輪動(dòng)態(tài)模型

飛輪轉(zhuǎn)速精度是影響飛輪輸出力矩精度的主要因素，因而采用轉(zhuǎn)速反饋進(jìn)行速率控制是最直接有效的方法。根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)[22-23]和實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)可得到如圖1所示的飛輪閉環(huán)系統(tǒng)的方框圖。

圖1 飛輪閉環(huán)系統(tǒng)方框圖Fig.1 Block diagram of flywheel closed-loop system

(1)

針對(duì)圖1中的飛輪閉環(huán)系統(tǒng)，可得到如下形式的傳遞函數(shù)：

(2)

(3)

(4)

式中：=+sign()。式(2)為飛輪電機(jī)電流和實(shí)際輸出轉(zhuǎn)速之間的傳遞函數(shù)；式(3)為飛輪模型只受力矩噪聲影響時(shí)的傳遞函數(shù)；式(4)為飛輪模型只受轉(zhuǎn)速指令控制時(shí)的傳遞函數(shù)。根據(jù)式(2)～式(4)，可得到如下的連續(xù)時(shí)間模型:

(5)

(6)

(7)

根據(jù)實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)可知，飛輪中的黏性摩擦系數(shù)、庫(kù)侖摩擦系數(shù)和力矩噪聲角偏差無法準(zhǔn)確確定，故和3,均為未知的。因此，將式(6)和式(7)中的未知項(xiàng)處理為不確定性干擾，具體形式為

(8)

(9)

式中：

然后，選擇采樣時(shí)間，則利用歐拉一步離散法則可將式(9)轉(zhuǎn)換為如下離散時(shí)間系統(tǒng):

(10)

本文的目的是利用飛輪閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型設(shè)計(jì)一種故障預(yù)測(cè)方法，在飛輪故障造成重大影響前及時(shí)給出有效的預(yù)警信號(hào)，保證飛輪系統(tǒng)的安全性。本文的故障預(yù)測(cè)方法主要針對(duì)的是性能已經(jīng)發(fā)生退化的飛輪對(duì)象，且是在性能退化被檢測(cè)到之后才開始使用，并不直接應(yīng)用于無故障的飛輪對(duì)象中。因此，在飛輪應(yīng)用故障預(yù)測(cè)方法之前，需要先對(duì)其進(jìn)行故障檢測(cè)，在檢測(cè)到飛輪性能故障后才開始使用故障預(yù)測(cè)技術(shù)。

2 基于集員狀態(tài)估計(jì)的故障檢測(cè)方法

基于飛輪閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型，本文提出了一種基于集員估計(jì)的故障檢測(cè)方法。首先，利用中心對(duì)稱多面體的傳播與交集性質(zhì)來估計(jì)模型中的系統(tǒng)狀態(tài)；然后，基于估計(jì)的系統(tǒng)狀態(tài)和實(shí)際輸出生成殘差，再結(jié)合閾值來實(shí)現(xiàn)飛輪故障檢測(cè)。

2.1 中心對(duì)稱多面體的定義與性質(zhì)

在設(shè)計(jì)基于集員估計(jì)的故障檢測(cè)方法前，首先介紹一些關(guān)于中心對(duì)稱多面體的定義和性質(zhì)。

一個(gè)維空間中的階中心對(duì)稱多面體Z?(≤)是超立方體=[-1,1]的仿射變換，即

Z={∈:=+,∈}

(11)

式中：∈和∈×分別為中心對(duì)稱多面體的中心和形狀矩陣。

(12)

式中：⊕表示閔可夫斯基和符號(hào)。

(13)

式中：∈×為給定的矩陣。

2.2 基于中心對(duì)稱多面體的集員狀態(tài)估計(jì)

(14)

為了實(shí)現(xiàn)基于中心對(duì)稱多面體的集員狀態(tài)估計(jì)，本文提出如下的定理。

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

圖2 基于中心對(duì)稱多面體的集員狀態(tài)估計(jì)Fig.2 Zonotope-based state set-membership estimation

根據(jù)性質(zhì)1和性質(zhì)2可以得到

則可得證等式(15)和式(16)。

則可得到如下等式：

(20)

(21)

(22)

基于定理1中的集員狀態(tài)估計(jì)算法，本文給出如下形式的殘差生成公式:

(23)

(24)

考慮到直接判斷殘差和中心對(duì)稱多面體R的包含關(guān)系十分復(fù)雜，本文選擇先計(jì)算包含中心對(duì)稱多面體R的區(qū)間盒子，然后判斷殘差是否被區(qū)間盒子包含來檢測(cè)故障。根據(jù)文獻(xiàn)[15]，可以得到如下的中心對(duì)稱多面體區(qū)間求取公式:

(25)

在得到中心對(duì)稱多面體R的區(qū)間盒子后，可以得到如下的故障檢測(cè)邏輯：

(26)

為了保證檢測(cè)的可靠性，需要在某一時(shí)間段內(nèi)存在多個(gè)時(shí)刻的殘差超出R的區(qū)間盒子，才可以判定飛輪故障，此時(shí)切入故障預(yù)測(cè)模式；反之，則說明飛輪工作正常。故障檢測(cè)中的時(shí)間段長(zhǎng)度和超出的時(shí)刻個(gè)數(shù)可依據(jù)實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)選取。

3 基于集員參數(shù)估計(jì)的故障預(yù)測(cè)方法

在利用第2節(jié)中的方法檢測(cè)出飛輪出現(xiàn)了故障且性能正在退化后，本節(jié)提出了一種故障預(yù)測(cè)方法，在飛輪故障造成重大影響前及時(shí)給出有效的預(yù)警信號(hào)，保證飛輪系統(tǒng)的安全性和可靠性。

3.1 飛輪電流退化模型構(gòu)建

根據(jù)地面仿真和歷史數(shù)據(jù)分析可知，飛輪電流的大小可以作為反映其健康狀態(tài)的重要指標(biāo)。所以本文采用飛輪的電流作為故障特征信號(hào)并由此來實(shí)現(xiàn)對(duì)飛輪的故障預(yù)測(cè)和預(yù)警。在飛輪故障預(yù)測(cè)方法中，考慮到飛輪瞬時(shí)電流數(shù)據(jù)的參考價(jià)值有限，本文采取衛(wèi)星與運(yùn)行周期相關(guān)的一段時(shí)間內(nèi)的電流均值作為特征參數(shù)：

(27)

式中：為當(dāng)前的特征信號(hào)；為第個(gè)時(shí)刻的電流大?。粸橛?jì)算特征信號(hào)所用的時(shí)間長(zhǎng)度。

雖然可以作為反映飛輪性能的征兆信號(hào)，但是由于存在測(cè)量噪聲等不確定性，會(huì)導(dǎo)致與真實(shí)的健康指標(biāo)有一定的偏差，即

=+

(28)

式中：為準(zhǔn)確反映飛輪性能退化的參數(shù);為實(shí)測(cè)值和準(zhǔn)確值之間的偏差。

如果能夠準(zhǔn)確地描述特征參數(shù)的演化規(guī)律，則可對(duì)其未來的趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)合一定的閾值即可實(shí)現(xiàn)對(duì)飛輪故障的提前預(yù)警。結(jié)合地面測(cè)試和試驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)，可采用如下4種線性或非線性退化模型來描述的演化規(guī)律：

=+

(29)

=exp(+)

(30)

=exp(-)

(31)

(32)

式中：和為退化模型中的未知參數(shù)。

雖然可以通過地面測(cè)試與試驗(yàn)確定出與衛(wèi)星飛輪電流數(shù)據(jù)相關(guān)的退化模型的形式，但是，考慮到飛輪的個(gè)體差異和實(shí)際運(yùn)行情況，模型中的參數(shù)和的值是無法事先確定的。這就需要根據(jù)的值，結(jié)合式(29)～式(32)中的模型，對(duì)和的值進(jìn)行在軌估計(jì)。在得到參數(shù)和的估計(jì)值后，再采用式(29)～式(32)中的退化模型對(duì)將來時(shí)刻的飛輪健康狀況進(jìn)行預(yù)測(cè)。

上述4種模型中，式(29)中線性模型的參數(shù)估計(jì)較為方便，但式(30)～式(32)中的非線性模型則會(huì)為參數(shù)估計(jì)帶來不便，為此需要對(duì)其進(jìn)行線性化處理。下面介紹模型2到4的處理方法。

對(duì)式(30)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得

ln()=+

(33)

對(duì)式(31)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得

ln()=-

(34)

對(duì)式(32)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得

ln()=ln()+ln()

(35)

對(duì)于式(28)中的偏差，模型2到4在兩邊取對(duì)數(shù)后均可將其處理為

ln()=ln(+)=ln()+

(36)

式中：表示ln()和ln()之間的偏差。

從式(28)、式(29)和式(33)～式(35)可以看出，經(jīng)過上述取對(duì)數(shù)處理后，4種退化模型具有如下相同形式的線性動(dòng)態(tài)方程：

=++

(37)

式中：式(37)中各參數(shù)的具體形式與模型類型相關(guān)，參數(shù)選取方式為

=,=,=,=

=ln(),=,=,==-,=ln(),=

=,=

=ln(),=,=ln()=ln()

基于飛輪電流特征數(shù)據(jù)和4種退化模型統(tǒng)一后的動(dòng)態(tài)方程，本文提出了一種基于集員參數(shù)估計(jì)的故障預(yù)測(cè)方法。首先，利用中心對(duì)稱多面體的傳播與交集性質(zhì)來估計(jì)模型中的未知參數(shù)，然后基于估計(jì)的參數(shù)來對(duì)飛輪電流數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，再結(jié)合預(yù)測(cè)值和閾值來實(shí)現(xiàn)飛輪故障預(yù)警。

3.2 基于中心對(duì)稱多面體的集員參數(shù)估計(jì)

雖然前述內(nèi)容確定出了飛輪4種退化模型統(tǒng)一后的動(dòng)態(tài)方程，但是其模型參數(shù)和是未知的，故為了實(shí)現(xiàn)對(duì)飛輪電流值的預(yù)測(cè)，需先對(duì)模型參數(shù)和進(jìn)行估計(jì)進(jìn)而得到飛輪電流的預(yù)測(cè)值?？紤]到在飛輪電流的演變過程中，模型參數(shù)和的變化是十分緩慢的，故可以采用如下的模型描述參數(shù)和的變化過程：

(38)

式中：1,和2,為模型參數(shù)和變化過程受到的擾動(dòng);1,和2,通常是未知但有界的。

基于飛輪退化模型統(tǒng)一后的動(dòng)態(tài)方程(37)和參數(shù)變化過程(38)則可得如下的估計(jì)問題：

(39)

(40)

式中：為每種退化模型下各自實(shí)測(cè)值和準(zhǔn)確值之間的偏差，且是未知但有界的。由此，本文建立了飛輪退化模型參數(shù)的估計(jì)問題。

雖然無法確定出參數(shù)和的值，但通過地面測(cè)試與試驗(yàn)可估計(jì)出系統(tǒng)(40)狀態(tài)初值、擾動(dòng)和噪聲的上下邊界。由此可得到如下的未知但有界條件：

(41)

根據(jù)定義1，可將未知有界(41)假設(shè)轉(zhuǎn)換為如下的中心對(duì)稱多面體形式：

為了實(shí)現(xiàn)基于中心對(duì)稱多面體的集員參數(shù)估計(jì)，本文提出如下的定理。

|-1=[-1]

(42)

(43)

(44)

(45)

定理2的證明過程同定理1，此處不再重復(fù)證明。同時(shí)，注1中的降階方法在定理2中同樣適用，有助于降低集員參數(shù)估計(jì)的計(jì)算量。

3.3 飛輪故障預(yù)測(cè)策略

本節(jié)將對(duì)飛輪未來時(shí)刻的電流數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，再結(jié)合預(yù)測(cè)值和設(shè)置的閾值來實(shí)現(xiàn)飛輪故障預(yù)警。假設(shè)現(xiàn)在共有+1個(gè)飛輪電流特征數(shù)據(jù)，期望每個(gè)時(shí)刻往后預(yù)測(cè)的電流特征個(gè)數(shù)為。

當(dāng)采用式(29)中的退化模型1時(shí)，采用式(46)來對(duì)未來時(shí)刻的飛輪電流值進(jìn)行預(yù)測(cè):

(46)

當(dāng)采用式(30)中的退化模型2時(shí)，則采用式(47) 來對(duì)未來時(shí)刻的飛輪電流值進(jìn)行預(yù)測(cè)

(47)

當(dāng)采用式(31)中的退化模型3時(shí)，則采用式(48) 來對(duì)未來時(shí)刻的飛輪電流值進(jìn)行預(yù)測(cè):

(48)

當(dāng)采用式(32)中的退化模型4時(shí)，則采用式(49) 來對(duì)未來時(shí)刻的飛輪電流值進(jìn)行預(yù)測(cè):

(49)

1) 若對(duì)從1取到，都使得式(50)成立

(50)

則說明在時(shí)刻未預(yù)測(cè)到故障。

2) 若對(duì)從1取到，存在一個(gè)使得

(51)

則說明在時(shí)刻預(yù)測(cè)到了故障，預(yù)測(cè)的未來發(fā)生故障的時(shí)刻為+。

4 仿真結(jié)果

本節(jié)基于圖1中的飛輪模型，利用數(shù)值仿真來驗(yàn)證本文方法的有效性，再將所提出的方法和兩種現(xiàn)有的故障預(yù)測(cè)技術(shù)進(jìn)行了對(duì)比，進(jìn)一步驗(yàn)證了所提方法的優(yōu)越性。仿真中，飛輪模型的各參數(shù)設(shè)置為：=2.5,=4,=0.095 N·m/A,=0.031 N·m·s,∈0.001×[-1,1] N·m,∈0.002×[-1,1] N·m,∈0.02×[-1,1] rad,=0.2 rad/s,=16 A·rad/V·s,=40 rad/s,=0.05 s，由此可以確定如下的離散時(shí)間系統(tǒng)(10)中的參數(shù)矩陣:

故障預(yù)測(cè)過程中，考慮到飛輪瞬時(shí)電流數(shù)據(jù)的參考價(jià)值有限，本文采取與運(yùn)行周期相關(guān)的一段時(shí)間內(nèi)的電流均值作為特征參數(shù)，通過對(duì)飛輪的電機(jī)電流數(shù)據(jù)進(jìn)行式(27)中的處理可以得到如圖5所示的模擬飛輪故障電流特征數(shù)據(jù)。

故障預(yù)測(cè)仿真中，采用退化模型1來描述電流特征數(shù)據(jù)的演化規(guī)律，具體仿真參數(shù)設(shè)置為

圖3 飛輪故障數(shù)據(jù)Fig.3 Fault data of flywheel

圖4 飛輪故障檢測(cè)結(jié)果Fig.4 Flywheel fault detection results

圖5 飛輪電流特征數(shù)據(jù)Fig.5 Flywheel current characteristic data

為了驗(yàn)證方法的優(yōu)越性，將所提出的方法與Predictive Maintenance Toolbox (PMT) 中的故障預(yù)測(cè)方法和基于灰色模型的預(yù)測(cè)方法進(jìn)行對(duì)比。采用與上述相同的仿真參數(shù)，由此可得到如圖7所示的故障預(yù)測(cè)對(duì)比仿真結(jié)果。

從圖7中的結(jié)果可以看出，在=19,=27和=34時(shí)，本文方法給出的電流預(yù)測(cè)結(jié)果更接近于實(shí)際的電流特征數(shù)據(jù)信號(hào)，這表明本文方法能給出比灰色模型預(yù)測(cè)方法和PMT故障預(yù)測(cè)方法更準(zhǔn)確的故障預(yù)測(cè)結(jié)果。

為了更清楚的說明本文方法給出的預(yù)測(cè)結(jié)果比基于灰色模型的預(yù)測(cè)方法和PMT中故障預(yù)測(cè)方法給出的結(jié)果更接近于實(shí)際電流特征信號(hào)，本文還給出了3種方法在=19,=27和=34時(shí)的預(yù)測(cè)誤差對(duì)比結(jié)果。仿真中采用預(yù)測(cè)誤差之和來進(jìn)行對(duì)比，計(jì)算公式為

圖6 電流數(shù)據(jù)的故障預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.6 Fault prognosis results of current data

圖7 故障預(yù)測(cè)性能對(duì)比結(jié)果Fig.7 Comparison results of fault prognosis performance

表1 故障預(yù)測(cè)誤差對(duì)比結(jié)果Table 1 Comparison results of fault prognosis errors

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于集員估計(jì)的衛(wèi)星飛輪故障檢測(cè)和預(yù)測(cè)方法。

1) 根據(jù)飛輪的動(dòng)態(tài)特性和實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)建了飛輪閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了基于集員估計(jì)的故障檢測(cè)方法。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的方法可以準(zhǔn)確有效的檢測(cè)出飛輪故障，檢測(cè)性能良好。

2) 選用飛輪電流作為故障特征信號(hào)，構(gòu)建了電流退化模型，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了基于集員估計(jì)的故障預(yù)測(cè)方法。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的方法可以在故障特征信號(hào)超出閾值前給出預(yù)警信號(hào)，預(yù)警性能可靠。

3) 與現(xiàn)有的Predictive Maintenance Toolbox中的故障預(yù)測(cè)方法和灰色模型的預(yù)測(cè)方法相比，本文方法的預(yù)測(cè)結(jié)果更接近于實(shí)際信號(hào)，預(yù)測(cè)性能更好，體現(xiàn)了所設(shè)計(jì)方法的優(yōu)越性。