隨機(jī)激勵(lì)作用下飛機(jī)飛行姿態(tài)動(dòng)力學(xué)研究

李海泉,陳小前,張嘉圖,王亮

1. 國(guó)防科技大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院,長(zhǎng)沙 410073 2. 中國(guó)航空工業(yè)集團(tuán)有限公司 沈陽(yáng)飛機(jī)設(shè)計(jì)研究所,沈陽(yáng) 110035 3. 中國(guó)人民解放軍軍事科學(xué)院 國(guó)防科技創(chuàng)新研究院,北京 100071 4. 西北工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,西安 710072

進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái),中國(guó)的航空科技事業(yè)面臨著巨大的發(fā)展機(jī)遇與挑戰(zhàn)。新一代飛機(jī)設(shè)計(jì)對(duì)平臺(tái)性能和作戰(zhàn)效能要求越來(lái)越苛刻,總體綜合優(yōu)化問(wèn)題越來(lái)越突出,飛行控制系統(tǒng)精細(xì)化設(shè)計(jì)要求不斷提高,這都對(duì)飛行動(dòng)力學(xué)模型的精準(zhǔn)度提出了更高的要求。加強(qiáng)對(duì)飛行動(dòng)力學(xué)建模和求解方法的研究,不僅影響著飛機(jī)飛行仿真系統(tǒng)的運(yùn)行效率和精度,也對(duì)提高設(shè)計(jì)質(zhì)量、確保飛行安全具有重要的意義。

目前的飛行器設(shè)計(jì)方法一般僅考慮確定性情況下的建模仿真,忽略了實(shí)際上廣泛存在的各類(lèi)不確定性影響,如復(fù)雜的外界飛行環(huán)境干擾、飛機(jī)本體零部件質(zhì)量以及加工、裝配質(zhì)量等都可能存在不確定性。飛機(jī)在飛行過(guò)程中,由于飛機(jī)本體具有復(fù)雜的結(jié)構(gòu)和測(cè)量控制系統(tǒng),飛行環(huán)境中溫度、濕度、氣流運(yùn)動(dòng)等因素復(fù)雜多變,完全基于確定理論來(lái)建立飛機(jī)的飛行動(dòng)力學(xué)模型無(wú)法模擬飛機(jī)的真實(shí)飛行狀態(tài),在型號(hào)實(shí)踐中常遇到飛行動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果與飛行實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)存在較大偏差的現(xiàn)象。飛行動(dòng)力學(xué)模型是研究飛機(jī)控制、性能、操穩(wěn)、載荷等問(wèn)題的基礎(chǔ),由于仿真結(jié)果的精度問(wèn)題,通常為了保證設(shè)計(jì)結(jié)果的可靠性,不得不在仿真數(shù)據(jù)上乘以固定的安全系數(shù),這樣做付出了巨大的代價(jià)。

隨機(jī)噪聲廣泛存在于實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中,對(duì)真實(shí)的系統(tǒng)具有重要的影響,這些不確定性從數(shù)學(xué)的角度可以描述為各種各樣的隨機(jī)噪聲和隨機(jī)變量。學(xué)者們往往通過(guò)在確定仿真系統(tǒng)中恰當(dāng)?shù)匾腚S機(jī)因素,來(lái)展示一個(gè)更加準(zhǔn)確的客觀世界,從而更好地探索問(wèn)題本質(zhì)。研究人員為了獲取準(zhǔn)確的飛行仿真結(jié)果,通過(guò)引入大氣擾動(dòng)等隨機(jī)模型來(lái)模擬連續(xù)紊流、陣風(fēng)等飛行過(guò)程中的隨機(jī)因素,研究飛行動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性。這些研究中的隨機(jī)模型多是根據(jù)假設(shè)建模或來(lái)源于大氣觀測(cè),或來(lái)源于結(jié)構(gòu)、氣動(dòng)單一學(xué)科的因素,目前還沒(méi)有采用飛行實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行隨機(jī)模型的建模研究,而飛行實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)往往包含較全面的不確定因素。隨著系統(tǒng)及參數(shù)識(shí)別理論的不斷完善,以及飛機(jī)飛行實(shí)驗(yàn)積累了大量飛行實(shí)測(cè)數(shù)據(jù),基于實(shí)測(cè)飛行參數(shù)統(tǒng)計(jì)分析來(lái)建立并修正飛行動(dòng)力學(xué)模型,可以為更準(zhǔn)確地研究飛機(jī)飛行動(dòng)力學(xué)問(wèn)題提供強(qiáng)有力的支撐。

本文基于飛行實(shí)測(cè)數(shù)據(jù),合理引入隨機(jī)因素建立不確定性模型,通過(guò)與確定性模型和實(shí)際情況的對(duì)比,分析姿態(tài)響應(yīng)的差別程度,探索這些隨機(jī)因素的概率統(tǒng)計(jì)特性,研究其對(duì)確定模型的影響,對(duì)于認(rèn)識(shí)一個(gè)更加準(zhǔn)確的飛機(jī)飛行動(dòng)力學(xué)問(wèn)題具有重要的意義和作用。

1 通用飛行姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型

飛機(jī)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程是描述飛機(jī)飛行狀態(tài)的一類(lèi)基本的力學(xué)方程,這些方程描述了飛機(jī)在飛行過(guò)程中在各個(gè)方向的速度、角速度及加速度。一般來(lái)說(shuō),姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程描述如式(1)～式(3)所示。

力方程

(1)

力矩方程

(2)

其中：

(3)

另外,機(jī)體坐標(biāo)系下的飛行運(yùn)動(dòng)學(xué)特征由式(4) 和式(5)描述。

姿態(tài)角方程

(4)

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程

(5)

其中：

式(1)～式(5)都是在理想狀況下建立的,在實(shí)際飛行過(guò)程中,飛機(jī)可能會(huì)受到諸多因素的影響,譬如氣壓、氣溫、大氣密度、湍流等,以及飛行過(guò)程中受到的載荷、復(fù)雜外界環(huán)境的干擾、飛機(jī)本體參數(shù)的不確定性等等。這些因素是物理系統(tǒng)及其環(huán)境中的固有可變性,都可能造成求解方程所得到的結(jié)果與真實(shí)數(shù)據(jù)產(chǎn)生偏差。為了使飛行運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的求解結(jié)果更加符合實(shí)際情況,本文將考慮上述主要因素對(duì)方程的影響,即在一些對(duì)外界或本體因素敏感的飛行參數(shù)或變量中合理引入隨機(jī)噪聲或隨機(jī)變量,然后再對(duì)新得到的飛行運(yùn)動(dòng)學(xué)方程在隨機(jī)動(dòng)力學(xué)理論框架下進(jìn)行求解。

2 具有隨機(jī)不確定性激勵(lì)的飛機(jī)飛行姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型

當(dāng)多種復(fù)雜的隨機(jī)因素共同作用在飛機(jī)上時(shí),飛機(jī)受到的力和力矩就會(huì)發(fā)生隨機(jī)的變化,飛機(jī)的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象就會(huì)表現(xiàn)出不確定性,這會(huì)影響飛機(jī)的速度、姿態(tài)等動(dòng)力學(xué)參數(shù)。因此,合理的分析飛機(jī)產(chǎn)生噪聲的機(jī)理,準(zhǔn)確的將隨機(jī)因素引入到飛機(jī)動(dòng)力學(xué)模型中進(jìn)行計(jì)算,對(duì)飛機(jī)動(dòng)力學(xué)特征的描述就會(huì)更加準(zhǔn)確。通常,飛機(jī)在飛行過(guò)程中需要通過(guò)控制舵面的偏轉(zhuǎn)來(lái)改變飛機(jī)姿態(tài),其中飛機(jī)所受到的氣動(dòng)力矩是改變飛機(jī)姿態(tài)最為主要的因素。本文以式(2)為例,研究隨機(jī)因素對(duì)于飛行姿態(tài)動(dòng)力學(xué)的影響。

通過(guò)大量飛行實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析之后,可以粗略估計(jì)這種隨機(jī)現(xiàn)象的特定屬性。首先對(duì)飛行實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理,即在主要的處理以前對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行的一些處理,例如將數(shù)據(jù)中的某些異常值除去,之后對(duì)處理過(guò)后的數(shù)據(jù)進(jìn)行核密度估計(jì),即采用平滑的峰值函數(shù)(“核”)來(lái)擬合觀察到的數(shù)據(jù)點(diǎn),從而對(duì)真實(shí)的概率分布曲線進(jìn)行模擬。之后將其與確定性結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析,從而可以根據(jù)它們的統(tǒng)計(jì)學(xué)特征,例如某些情況下,這種隨機(jī)因素往往是具有周期性的,并有較為穩(wěn)定的頻率,但是并不嚴(yán)格按照某個(gè)周期運(yùn)動(dòng)。某些情況下,這種隨機(jī)因素的幅度分布可以近似為高斯分布。因而這種隨機(jī)現(xiàn)象可以用隨機(jī)相位激勵(lì)或者高斯白噪聲來(lái)描述。

本文重點(diǎn)研究隨機(jī)相位激勵(lì)和高斯白噪聲對(duì)飛機(jī)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)的影響。假設(shè)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程的隨機(jī)作用主要體現(xiàn)在力矩項(xiàng),將隨機(jī)噪聲引入式(2) 力矩項(xiàng)得到式(6)。

(6)

式中：()、()、()為隨機(jī)激勵(lì)或隨機(jī)噪聲。在對(duì)該模型進(jìn)行分析求解時(shí),發(fā)現(xiàn)由于式(3)力矩項(xiàng)中、、等操作參數(shù)會(huì)隨著時(shí)間變化而變化,因此該系統(tǒng)為一變參數(shù)系統(tǒng)。對(duì)于變參數(shù)系統(tǒng),使用傳統(tǒng)的數(shù)值方法很難對(duì)其進(jìn)行求解,文獻(xiàn)[19]中采用了3種傳統(tǒng)攝動(dòng)方法對(duì)其分析求解。針對(duì)本文涉及到的變參數(shù)系統(tǒng),本文對(duì)傳統(tǒng)的數(shù)值方法進(jìn)行改進(jìn)同時(shí)采用蒙特卡洛模擬法對(duì)式(6) 進(jìn)行求解,進(jìn)而分析隨機(jī)因素對(duì)于該系統(tǒng)的影響。

首先,使用蒙特卡洛模擬法,采取與文獻(xiàn)[20]中類(lèi)似的做法對(duì)方程進(jìn)行分析求解。蒙特卡洛模擬法指的通過(guò)大量產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的模擬方法來(lái)用于數(shù)值統(tǒng)計(jì)計(jì)算以獲得問(wèn)題的近似解,其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是概率論中的大數(shù)定理,即頻率依概率收斂于概率。蒙特卡洛方法能夠比較逼真地描述事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過(guò)程,解決一些數(shù)值方法難以解決的問(wèn)題。在具體操作過(guò)程中,只要樣本取得足夠多,可以得到任意精度的結(jié)果。在考慮加入隨機(jī)噪聲或是隨機(jī)激勵(lì)后的隨機(jī)微分方程組,可以借助蒙特卡洛模擬法的思想,利用數(shù)值方法和蒙特卡洛模擬法對(duì)所得到的隨機(jī)微分方程組進(jìn)行求解。

另外,由于隨機(jī)系統(tǒng)的響應(yīng)是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程(或者是一隨機(jī)變量),無(wú)法與真實(shí)數(shù)據(jù)直接進(jìn)行對(duì)比,故此時(shí)考慮通過(guò)提取隨機(jī)響應(yīng)的數(shù)字特征,即樣本均值,通過(guò)比較樣本均值響應(yīng)與確定性響應(yīng)和實(shí)際數(shù)據(jù)的異同,來(lái)說(shuō)明隨機(jī)的影響以及隨機(jī)系統(tǒng)是否能夠更好的描述實(shí)際飛行問(wèn)題。

下面通過(guò)兩型飛機(jī)具體數(shù)值仿真來(lái)說(shuō)明隨機(jī)因素對(duì)式(2)的影響。

3 數(shù)值仿真

3.1 確定模型與隨機(jī)模型仿真結(jié)果對(duì)比

首先以某大型運(yùn)輸飛機(jī)為例,其部分參數(shù)如表1所示。

根據(jù)表1數(shù)據(jù),設(shè)飛機(jī)以=204 m/s的飛行速度進(jìn)行壓坡度轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)飛行。對(duì)確定性模型式(2)以及受到隨機(jī)擾動(dòng)的模型式(6)進(jìn)行分析,基于一些飛行實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí),發(fā)現(xiàn)某些隨機(jī)擾動(dòng)往往是具有周期性的,并有較為穩(wěn)定的頻率,但是并不嚴(yán)格按照某個(gè)周期運(yùn)動(dòng),而隨機(jī)相位激勵(lì)表示的是一種具有周期性的噪聲激勵(lì)。因而可以取式(6)中()、()、()為隨機(jī)相位激勵(lì),隨機(jī)相位激勵(lì)表達(dá)形式為：()=cos(+),=1,2,3。其中為位移幅值；為響應(yīng)頻率；Φ為隨機(jī)相位角。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)以及對(duì)于一些飛行實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的分析,取=0000 3、=0003、=0000 03,=1,為噪聲強(qiáng)度為0.01的高斯白噪聲。

計(jì)算得到的結(jié)果如圖1～圖3所示,其中紅線代表確定性模型式(2)的計(jì)算結(jié)果。由于隨機(jī)動(dòng)力學(xué)模型式(6)的計(jì)算結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程,也就是隨機(jī)變量的集合,因此無(wú)法畫(huà)出其軌跡,上圖的藍(lán)線畫(huà)出了其均值響應(yīng)。通過(guò)對(duì)比圖1～圖3,可以直觀的觀察到,在隨機(jī)相位激勵(lì)的作用下,均值響應(yīng)與確定性姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程的軌跡不同。當(dāng)飛機(jī)進(jìn)行主動(dòng)機(jī)動(dòng)時(shí),隨機(jī)因素的影響并不明顯,但對(duì)機(jī)動(dòng)制動(dòng)過(guò)程有特別顯著的影響,這說(shuō)明隨機(jī)因素對(duì)于飛機(jī)的動(dòng)力學(xué)行為有一定的影響,具體的影響將在3.2節(jié)進(jìn)行描述。

表1 某型號(hào)飛機(jī)部分參數(shù)Table 1 Some parameters of a certain type of aircraft

圖1 ωx求解結(jié)果對(duì)比Fig.1 Comparison of solution results of ωx

圖2 ωy求解結(jié)果對(duì)比Fig.2 Comparison of solution results of ωy

圖3 ωz求解結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison of solution results of ωz

3.2 確定性與隨機(jī)性關(guān)于飛行實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的比較

本節(jié)將通過(guò)一組飛行實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)對(duì)比分析隨機(jī)因素對(duì)確定性仿真模型所帶來(lái)的影響,表2為一型高機(jī)動(dòng)飛機(jī)的典型參數(shù)。

根據(jù)表2數(shù)據(jù),設(shè)飛機(jī)以=204 m/s的飛行速度飛行。

1) 飛行狀態(tài)1

在飛行員有較大操縱時(shí)的飛行狀態(tài)下,基于飛行實(shí)測(cè)數(shù)據(jù),取式(6)中()為均值是零、噪聲強(qiáng)度是0.01的高斯白噪聲。確定性模型式(2)以及受到隨機(jī)因素影響的模型式(6)的計(jì)算結(jié)果如圖4和圖5所示。

表2 高機(jī)動(dòng)飛機(jī)的部分參數(shù)Table 2 Some parameters of high mobility aircraft

圖4和圖5分別為角速度分量、的計(jì)算結(jié)果。其中紅線代表通過(guò)確定性模型式(2)求解所得到的確定性軌線；藍(lán)線代表高斯白噪聲下的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型式(6)的均值響應(yīng)；黑線代表的是飛機(jī)飛行過(guò)程中的飛行實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)。從圖4、圖5可以發(fā)現(xiàn),飛機(jī)在急劇滾轉(zhuǎn)情況下,確定性模型和隨機(jī)模型仿真結(jié)果非常接近,由于操縱力遠(yuǎn)大于隨機(jī)因素,不確定性因素影響不顯著；在角速度快

圖4 ωx求解結(jié)果對(duì)比(狀態(tài)1)Fig.4 Comparison of solution results of ωx (Case 1)

圖5 ωy求解結(jié)果對(duì)比(狀態(tài)1)Fig.5 Comparison of solution results of ωy (Case 1)

速變小的急劇制動(dòng)過(guò)程中,飛機(jī)主動(dòng)機(jī)動(dòng)減弱過(guò)程中不確定性因素影響較大,并且隨機(jī)模型仿真結(jié)果與飛行實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)非常接近(圖4中圓圈所示)。經(jīng)過(guò)本狀態(tài)分析可見(jiàn)受高斯白噪聲作用的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型在一定程度上更能體現(xiàn)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)的特征。

為了更好地描述隨機(jī)因素帶來(lái)的影響,采用全歷程均方差定量地來(lái)分析以上數(shù)據(jù)。表3給出了飛行狀態(tài)1確定性模型及隨機(jī)模型求解結(jié)果與飛行實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)間的均方誤差。

2) 飛行狀態(tài)2

在飛行員操縱飛機(jī)穩(wěn)定飛行狀態(tài)下,同樣取式(6)中()為均值是零、噪聲強(qiáng)度是0.01的高斯白噪聲,確定性模型式(2)以及受到隨機(jī)因素影響的模型式(6)的計(jì)算結(jié)果如圖6、圖7所示,并且通過(guò)表4給出本飛行狀態(tài)確定性模型及隨機(jī)模型求解結(jié)果與飛行實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)間的均方誤差。

圖6、圖7給出了飛機(jī)在穩(wěn)定飛行過(guò)程中角速度分量、的計(jì)算結(jié)果。定性分析可以發(fā)現(xiàn),由于主動(dòng)操縱因素影響較小,飛機(jī)姿態(tài)細(xì)微變化主要是由于環(huán)境不確定性和本體不確定性,所以隨機(jī)因素影響較大。通過(guò)確定模型和隨機(jī)模型仿真結(jié)果與飛行實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比可見(jiàn),引入適當(dāng)強(qiáng)度隨機(jī)白噪聲的隨機(jī)模型仿真結(jié)果非常逼近飛行實(shí)測(cè)數(shù)據(jù),說(shuō)明選取合理的噪聲對(duì)改善模型仿真結(jié)果意義重大。

表3 均方誤差對(duì)比(狀態(tài)1)Table 3 Comparison of mean square errors (Case 1)

圖6 ωx求解結(jié)果對(duì)比(狀態(tài)2)Fig.6 Comparison of solution results of ωx (Case 2)

圖7 ωy求解結(jié)果對(duì)比(狀態(tài)2)Fig.7 Comparison of solution results of ωy (Case 2)

表4 均方誤差對(duì)比(狀態(tài)2)Table 4 Comparison of mean square errors (Case 2)

通過(guò)表3和表4進(jìn)行初步的定量計(jì)算之后可以發(fā)現(xiàn),無(wú)論是飛行員有較大操縱時(shí)還是平穩(wěn)飛行狀態(tài)下,考慮噪聲影響的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程的模型一定程度上都更能貼近飛行實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)。特別是飛機(jī)在平穩(wěn)飛行過(guò)程中,隨機(jī)不確定性模型更能可靠的模擬飛機(jī)的實(shí)際飛行狀態(tài)。

4 結(jié) 論

通過(guò)上面所給出的計(jì)算結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn)在飛機(jī)飛行姿態(tài)動(dòng)力學(xué)建模仿真過(guò)程中,在仿真模型的主要參數(shù)項(xiàng)考慮合適的隨機(jī)不確定性影響,對(duì)仿真結(jié)果有著顯著的影響。

1) 從飛行仿真典型參數(shù)的時(shí)間歷程曲線的定性對(duì)比和從均方誤差的定量結(jié)果兩方面來(lái)看,都發(fā)現(xiàn)加入隨機(jī)噪聲后的動(dòng)力學(xué)方程與確定性的飛行動(dòng)力學(xué)方程之間有一定差別。

2) 通過(guò)不同飛行狀態(tài)的飛行姿態(tài)仿真,加入隨機(jī)噪聲后的動(dòng)力學(xué)模型仿真結(jié)果更加貼合飛行實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)。證實(shí)了在求解飛機(jī)動(dòng)力學(xué)方程時(shí),考慮隨機(jī)噪聲或者隨機(jī)變量建模對(duì)提升仿真結(jié)果精度有很重要的意義。

3) 定量的驗(yàn)證了考慮隨機(jī)因素的影響后,對(duì)大幅度機(jī)動(dòng)動(dòng)作影響不明顯,但在飛機(jī)不進(jìn)行主動(dòng)機(jī)動(dòng)的平穩(wěn)飛行過(guò)程中,考慮隨機(jī)因素可以有效提高飛行動(dòng)力學(xué)模型的精度,繼而可以大幅提高飛機(jī)設(shè)計(jì)參數(shù)的可信性。

目前只測(cè)試了典型的高斯白噪聲對(duì)參數(shù)的影響,后續(xù)將采取參數(shù)識(shí)別的方法更好的去分析噪聲的性質(zhì),尋找更合適的隨機(jī)噪聲或是隨機(jī)激勵(lì)以及在不同參數(shù)或是變量中加入隨機(jī)因素的影響,不斷地提高模型精度,提升飛行仿真的可信性,進(jìn)而達(dá)到預(yù)期的結(jié)果。