基于Kriging模型的彈性元件結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化

潘曉陽(yáng)， 黃崇莉， 汪 濤， 于 洋， 梁應(yīng)選

(陜西理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

稱重傳感器按工作原理可分為電阻式、電容式和光電式等。電阻應(yīng)變式稱重傳感器因結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、線性度和抗偏載性良好等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用。而彈性元件作為稱重傳感器的關(guān)鍵部分，其結(jié)構(gòu)外形尺寸將直接影響整個(gè)傳感器的測(cè)量精度[1-2]，因此提升稱重傳感器精度的關(guān)鍵在于彈性元件結(jié)構(gòu)參數(shù)的合理設(shè)計(jì)。朱目成[3]在力學(xué)分析和有限元分析的基礎(chǔ)上建立了測(cè)力傳感器的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)梁的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了CAD優(yōu)化設(shè)計(jì)。趙思宏等[4]利用Vizi CAD對(duì)有限元模型進(jìn)行了有限元應(yīng)力應(yīng)變分析，提高了產(chǎn)品靈敏度。龔中良等[2]利用響應(yīng)面優(yōu)化方法提高了彈性元件的固有頻率。Ye Lin等[5]將有限元和粒子群算法相結(jié)合，優(yōu)化了電感式角度傳感器結(jié)構(gòu)參數(shù)，從而降低了非線性誤差對(duì)傳感器精度的影響。Sheikh-Ahmad J Y等[6]利用有限元研究了不同幾何形狀測(cè)力儀的應(yīng)力應(yīng)變分布，獲得了最大靈敏度和最小串干擾的應(yīng)變位置及結(jié)構(gòu)參數(shù)。雖有諸多學(xué)者對(duì)傳感器彈性元件的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了各種優(yōu)化，但通過(guò)提升彈性元件貼片處的應(yīng)變差(即應(yīng)變片受拉、受壓時(shí)應(yīng)變大小差值)來(lái)彌補(bǔ)傳感器測(cè)量精度方面的研究存在不足。本文采用應(yīng)力集中的方式[7]來(lái)提高傳感器彈性元件貼片部位的應(yīng)變力水平，使其與被測(cè)載荷加載力的值相對(duì)應(yīng)，以此提高稱重傳感器的測(cè)量精度和靈敏度。

為進(jìn)一步提升稱重傳感器的測(cè)量精度和靈敏度，本文以L6N3稱重傳感器為研究對(duì)象，采用最優(yōu)拉丁超立方(optimal Latin hypercube method，OLHD)試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法獲得樣本點(diǎn)，構(gòu)建設(shè)計(jì)變量與優(yōu)化目標(biāo)之間的映射Kriging模型尋找全局最優(yōu)解，并利用非快速支配排序遺傳算法(non-dominated sorting genetic algorithm，NSGA-Ⅱ)對(duì)該模型進(jìn)行優(yōu)化，完成對(duì)傳感器彈性元件結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，在彈性元件線性彈性范圍內(nèi)盡可能提升貼片部位的應(yīng)變力水平，增加整體的應(yīng)變力差值。

1 稱重傳感器結(jié)構(gòu)及工作原理

1.1 傳感器模型建立

L6N3稱重傳感器為平行梁式，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、抗偏載性能強(qiáng)，被廣泛應(yīng)用于各個(gè)工程領(lǐng)域。稱重傳感器實(shí)物圖如圖1所示。傳感器上下各兩個(gè)螺紋孔，分別用于安裝秤盤和固定支撐底座。彈性元件為雙孔結(jié)構(gòu)，其目的是為了在受載條件下使應(yīng)力集中于平行梁的中心空心結(jié)構(gòu)半圓中心線處，此處應(yīng)變最大，應(yīng)變片貼于應(yīng)力集中處，測(cè)量結(jié)果更精確。為保證結(jié)構(gòu)良好的參數(shù)化性能及尺寸精度，采用Design Modeler模塊建立該彈性元件的三維模型，如圖2所示。

圖1 稱重傳感器實(shí)物圖 圖2 彈性元件有限元模型

1.2 工作原理及計(jì)算

電阻應(yīng)變式稱重傳感器的彈性元件受到載荷作用，在線性彈性范圍內(nèi)產(chǎn)生彈性變形，帶動(dòng)貼在彈性元件上的4個(gè)電阻應(yīng)變片產(chǎn)生變形，使其阻值發(fā)生變化，經(jīng)過(guò)檢測(cè)電路產(chǎn)生一個(gè)與載荷成線性變化的電壓信號(hào)，從而測(cè)量施加載荷的大小。檢測(cè)電路如圖3所示，彈性體受力分析簡(jiǎn)化如圖4所示。

圖3 檢測(cè)電路 圖4 受力分析簡(jiǎn)化

當(dāng)彈性元件加載位置受到載荷作用時(shí)，位于不同貼片位置的4個(gè)應(yīng)變片同時(shí)受到拉伸或擠壓作用，其中應(yīng)變片1、4受到拉伸作用，2、3受到擠壓作用，檢測(cè)電路將其應(yīng)變值轉(zhuǎn)化為電信號(hào)輸出。輸出電壓的計(jì)算公式為

(1)

式中U、U0分別是電橋輸出電壓和激勵(lì)電壓，ε為應(yīng)變片的應(yīng)變值，k為應(yīng)變片靈敏度系數(shù)。

貼片區(qū)1、3截面與2、4截面轉(zhuǎn)矩分別為

Ma=F×l1，Mb=F×l0，

(2)

貼片區(qū)應(yīng)力分別為

(3)

式中l(wèi)為加載力F施加位置與應(yīng)變片之間的距離，I為截面的慣性矩。

由于應(yīng)變片貼于彈性元件表面，彈性元件貼片區(qū)的應(yīng)變量即應(yīng)變片的應(yīng)變量，因此應(yīng)變片的應(yīng)變值可用貼片部位的應(yīng)變值表示：

εi=σi/E，i=1,2,3,4，

(4)

(5)

2 彈性元件數(shù)值計(jì)算

稱重傳感器的彈性元件材料應(yīng)具備復(fù)原性，一般選用鋁合金、不銹鋼、合金鋼等。本文彈性體材料為不銹鋼17-4PH，其材料特性參數(shù)見表1。

表1 彈性元件材料屬性

為了提高數(shù)值計(jì)算效率，在對(duì)彈性元件進(jìn)行有限元數(shù)值計(jì)算時(shí)，忽略了螺紋孔、各倒角、圓角等結(jié)構(gòu)對(duì)數(shù)值計(jì)算的影響。模型簡(jiǎn)化后會(huì)影響到彈性元件的穩(wěn)定性，故在此基礎(chǔ)上增加許用安全系數(shù)，以保證優(yōu)化后結(jié)構(gòu)強(qiáng)度符合安全規(guī)定。暫定安全系數(shù)為n0=1.3，許用應(yīng)力計(jì)算公式為

[σ]=σs/n0，

(6)

式中σs為屈服極限，n0為安全系數(shù)。

假定不銹鋼材料17-4PH的屈服極限為最低屈服極限725 MPa，經(jīng)計(jì)算，許用應(yīng)力為557.7 MPa。加載力取該傳感器最大量程100 kg，通過(guò)有限元求解得到貼片處最大應(yīng)力為336.04 MPa，應(yīng)力結(jié)果云圖如圖5所示，相對(duì)于許用應(yīng)力來(lái)說(shuō)還有很大的提升空間。

圖5 最大應(yīng)力分布云圖

考慮到稱重過(guò)程中施加載荷引起稱重機(jī)器振動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題，根據(jù)模態(tài)分析得到彈性元件的振動(dòng)特性，得到1—6階模態(tài)頻率如表2所示。

表2 彈性元件模態(tài)頻率

根據(jù)模態(tài)振型分析，在實(shí)際應(yīng)用中考慮到加載力的位置及加載時(shí)產(chǎn)生的振動(dòng)，1階模態(tài)頻率和3階模態(tài)頻率與實(shí)際加載載荷相符。本文在參數(shù)優(yōu)化過(guò)程中以不低于現(xiàn)有頻率為前提，盡可能在線性彈性范圍內(nèi)提升彈性元件的應(yīng)變差及1、3階模態(tài)頻率，從而達(dá)到優(yōu)化目的。

3 模型參數(shù)分析及優(yōu)化

圖6 控制參數(shù)結(jié)構(gòu)

根據(jù)彈性元件的實(shí)際尺寸建立參數(shù)化模型，彈性元件中心空心結(jié)構(gòu)對(duì)傳感器輸出值靈敏度及精確度有較大的影響，其中貼片區(qū)梁的厚度、孔中心距、梁寬等結(jié)構(gòu)參數(shù)都對(duì)傳感器性能有很大影響，故將上述結(jié)構(gòu)參數(shù)作為本次優(yōu)化的控制參數(shù)，彈性元件控制參數(shù)結(jié)構(gòu)如圖6所示。

3.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

L6N3彈性元件的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量及取值范圍參數(shù)較多，若采用正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)難以獲得較好的設(shè)計(jì)樣本，而采用最優(yōu)拉丁超立方(OLHD)試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法能夠較好地解決多變量設(shè)計(jì)的抽樣問(wèn)題。故本文采用OLHD作為試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，各設(shè)計(jì)變量取值范圍見表3。通過(guò)試驗(yàn)設(shè)計(jì)與有限元模型結(jié)合分析得出試驗(yàn)點(diǎn)響應(yīng)值，最終得到樣本點(diǎn)見表4。

表3 各設(shè)計(jì)變量取值范圍

表4 樣本點(diǎn)與分析結(jié)果

對(duì)數(shù)據(jù)集進(jìn)行回歸分析可以得到Pareto圖，該圖能反映樣本擬合后模型中各個(gè)參數(shù)對(duì)每個(gè)目標(biāo)響應(yīng)的貢獻(xiàn)度，并將其以百分比的形式呈現(xiàn)出來(lái)，具體如圖7所示，其中左側(cè)柱體表示正效應(yīng)，右側(cè)柱體表示負(fù)效應(yīng)。圖7(a)、(b)、(c)分別為各參數(shù)對(duì)最大應(yīng)變差、1階模態(tài)頻率及3階模態(tài)頻率響應(yīng)貢獻(xiàn)百分比。圖7(a)顯示p1、p2及交叉項(xiàng)p2-p3、p1-p2對(duì)應(yīng)變差有較大的影響；7(b)顯示1階模態(tài)頻率受p2影響最大，其他各參數(shù)平方項(xiàng)對(duì)其也有很大影響，并且呈正相關(guān)；7(c)中p1、p2、p4、p5對(duì)3階模態(tài)有一定的影響，其中p1、p2影響較大并且呈負(fù)相關(guān)，各參數(shù)交叉項(xiàng)對(duì)1、3階模態(tài)影響很小。

(a)應(yīng)變差響應(yīng) (b)1階模態(tài)響應(yīng) (c)3階模態(tài)響應(yīng)圖7 Pareto圖

本文以提高彈性元件應(yīng)變差f1(P)、1階模態(tài)頻率f2(P)和3階模態(tài)頻率f3(P)為目標(biāo)，約束其固有頻率及最大應(yīng)變差，得出優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為

(7)

3.2 Kriging模型

由于設(shè)計(jì)變量與優(yōu)化目標(biāo)之間存在高度非線性關(guān)系，一般常用的多項(xiàng)式難以逼近這種多變量高度非線性關(guān)系，Kriging模型在解決這種高度非線性問(wèn)題上有著很大優(yōu)勢(shì)，是一種基于隨機(jī)過(guò)程理論的空間插值技術(shù)，對(duì)強(qiáng)非線性輸入輸出關(guān)系有很好的近似能力[8]。Kriging模型表示為

(8)

式中x為設(shè)計(jì)變量，y(x)為響應(yīng)函數(shù)，fi(x)為回歸函數(shù)的基函數(shù)，Z(x)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，βi為回歸系數(shù)。

基函數(shù)fi(x)可以有多種不同類型，常見的基函數(shù)有多項(xiàng)式基函數(shù)、高斯基函數(shù)、S型基函數(shù)，其中高斯基函數(shù)針對(duì)非線性關(guān)系的模型求解有較大優(yōu)勢(shì)，故本文采用高斯基函數(shù)作為Kriging模型的回歸基函數(shù)，其表達(dá)式為

(9)

式中l(wèi)i表示控制位置，σ表示控制跨度(σ越小函數(shù)圖就越陡，越大函數(shù)圖就越緩)。

協(xié)方差矩陣為

(10)

圖8 Kriging模型預(yù)測(cè)值與樣本值對(duì)比

利用OLHD法與有限元結(jié)合得到的試驗(yàn)樣本點(diǎn)建立Kriging近似模型，并隨機(jī)挑選5組樣本點(diǎn)進(jìn)行對(duì)比，得到如圖8所示的最大應(yīng)變差對(duì)比圖。

如圖8所示，本文僅列出最大應(yīng)變差樣本值與預(yù)測(cè)值之間的對(duì)比，預(yù)測(cè)值與樣本值之間差值很小，可以忽略不計(jì)。同時(shí)為驗(yàn)證Kriging模型是否滿足精度要求，采用決定系數(shù)R2作為判定依據(jù)，R2越接近1表示模型精度越高[9]。決定系數(shù)R2的表達(dá)式為

(11)

表5 Kriging模型各目標(biāo)決定系數(shù)

如表5所示，各目標(biāo)決定系數(shù)均大于0.9，擬合程度均表現(xiàn)良好，說(shuō)明模型能很好地逼近試驗(yàn)數(shù)據(jù)值，可以用來(lái)預(yù)測(cè)該彈性元件各目標(biāo)參數(shù)。Kriging模型的部分響應(yīng)面關(guān)系如圖9所示。

(a)應(yīng)變差 (b)1階模態(tài) (c)3階模態(tài)圖9 Kriging模型部分響應(yīng)面

由于設(shè)計(jì)變量較多，因此繪制響應(yīng)面只選取部分影響較大的設(shè)計(jì)變量，做出該響應(yīng)面來(lái)表示設(shè)計(jì)變量與目標(biāo)變量之間的關(guān)系。但該響應(yīng)面僅能顯示目標(biāo)值與設(shè)計(jì)值之間的大致關(guān)系，無(wú)法直接獲得最優(yōu)結(jié)果，故必須采用優(yōu)化算法來(lái)求解該模型的全局最優(yōu)解。

3.3 算法優(yōu)化

Kriging模型在預(yù)測(cè)過(guò)程中梯度信息無(wú)法獲得，目前針對(duì)Kriging模型優(yōu)化問(wèn)題，可采用的優(yōu)化算法有模擬退火、遺傳算法、粒子群算法等?；赑areto解集的帶有精英策略的非支配排序遺傳算法(NSGA-II)在眾多多目標(biāo)優(yōu)化算法中最具代表性[10]，受到眾多學(xué)者的一致好評(píng)。故本文采用NSGA-II算法對(duì)Kriging模型進(jìn)行全局尋優(yōu)，在保證固有頻率不低于原有結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，盡可能提升彈性元件在線性彈性范圍內(nèi)的應(yīng)變差為目的進(jìn)行優(yōu)化，其優(yōu)化結(jié)果見表6。

絕壓變送器、差壓變送器、溫度變送器輸出的4～20 mA標(biāo)準(zhǔn)電流信號(hào)被ADAM4118模塊采集，所有采集的信號(hào)經(jīng)ADAM4520I模塊轉(zhuǎn)換后輸入計(jì)算機(jī)，通過(guò)數(shù)據(jù)采集程序?qū)崟r(shí)監(jiān)測(cè)和在線采集。

表6 有限元結(jié)果分析對(duì)比

由表6給出的優(yōu)化方案看，在滿足所有優(yōu)化條件的前提下，優(yōu)先考慮應(yīng)變差最大及模態(tài)頻率較高的點(diǎn)。候選點(diǎn)的選擇依據(jù)如下：

(1)所有候選點(diǎn)均滿足變量約束及目標(biāo)優(yōu)化要求；

(2)候選點(diǎn)1相對(duì)于2、3來(lái)說(shuō)，在最大應(yīng)力值相差不大的前提下，應(yīng)變差提升幅度最大；

(3)候選點(diǎn)3的各階模態(tài)頻率雖比其他候選點(diǎn)高，但其最大應(yīng)變差提升幅度最低；

(4)候選點(diǎn)1相對(duì)于原結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，最大應(yīng)變差變化最大，其余除6階模態(tài)頻率外，其他階頻率均有所提升，優(yōu)化效果較為顯著。

綜合考慮，選擇候選點(diǎn)1作為最優(yōu)解。此時(shí)優(yōu)化點(diǎn)與原結(jié)構(gòu)相比應(yīng)變差提升量及提升百分比計(jì)算公式為

Δε=ε1-ε0，

(12)

(13)

式中 Δε為優(yōu)化前后最大應(yīng)變差提升量(mm)，ε0為原結(jié)構(gòu)在受載情況下的最大應(yīng)變差(5.245×10-3mm)，ε1為優(yōu)化后結(jié)構(gòu)在受載情況下的最大應(yīng)變差(7.424×10-3mm)，εp為提升百分比(%)，計(jì)算得到

Δε=2.179×10-3mm，εp=41.55%。

4 結(jié)論

(1)根據(jù)彈性元件的實(shí)際尺寸，建立彈性元件的有限元模型，并通過(guò)有限元數(shù)值分析方法對(duì)稱重傳感器彈性元件一系列靜力學(xué)特性進(jìn)行了數(shù)值模擬，其最大應(yīng)變差為5.245×10-3mm。

(2)采用最優(yōu)拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)法進(jìn)行抽樣，利用樣本點(diǎn)建立Kriging模型響應(yīng)面，通過(guò)決定系數(shù)R2確定Kriging模型的可靠性，可以用來(lái)預(yù)測(cè)彈性元件受載各目標(biāo)變量參數(shù)。

(3)采用NSGA-Ⅱ優(yōu)化算法對(duì)建立的Kriging模型進(jìn)行全局尋優(yōu)，優(yōu)化設(shè)計(jì)共選取了3個(gè)候選點(diǎn)，其中候選點(diǎn)1與原結(jié)構(gòu)相比在材料線彈性范圍內(nèi)最大應(yīng)變差提升了41.55%，各階模態(tài)頻率均有不同程度的提升，優(yōu)化結(jié)果較為顯著。