12.3 角的平分線的性質(zhì) 教學(xué)設(shè)計(jì)

焦麗英

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.從“公路”的具體情境中，抽象出幾何模型，初步感悟“具有某條件的點(diǎn)的特征”.

2.類比平行線，探索并證明角的平分線的性質(zhì).

3.在探索活動(dòng)中，體會(huì)合情推理的作用，理解模型思想、集合思想.

4.通過(guò)對(duì)定理證明的一般步驟的梳理，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展邏輯推理能力.

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：

重點(diǎn)：探索并證明角的平分線的性質(zhì)

難點(diǎn)：證明以文字形式給出的角的平分線的性質(zhì)

學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)：

一、借助情境，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

情境1：秋天的中國(guó)是色彩斑斕的、最美的，國(guó)慶節(jié)期間，有很多人會(huì)出去旅游，欣賞祖國(guó)的大好河山。在旅游圖中拍了這樣一張照片，公路兩上的兩條白線互相平行，最中間一條黃線的位置是如何確定的？

師生活動(dòng)：學(xué)生觀察圖片后，從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，畫(huà)出圖形，并確定黃線的位置.教師適當(dāng)追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生分析“中間的線”“到兩平行線距離相等的點(diǎn)”之間的關(guān)系，明確應(yīng)從兩個(gè)角度去探究問(wèn)題.

【活動(dòng)1】畫(huà)出兩平行線間的“中間的線”并簡(jiǎn)要記錄畫(huà)圖步驟.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)際情境引入，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;借助情境，學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，從更易于理解的平行線間“中間的線”開(kāi)始探究起，逐步分析出兩個(gè)猜想，既要研究直線上所有的點(diǎn)都滿足一定條件，還要研究滿足特定條件的所有的點(diǎn)都在直線上，既為下一個(gè)環(huán)節(jié)探究角的平分線的性質(zhì)做了鋪墊，又讓學(xué)生獲得一定的研究經(jīng)驗(yàn).

二、問(wèn)題變式，類比探究

情境2：如果公路很長(zhǎng)很長(zhǎng)，則抽象成一個(gè)角，這時(shí)你還能找到中間的線么？

問(wèn)題1：當(dāng)兩直線不平行時(shí)，“中間的線”還存在嗎？它有名字嗎？

問(wèn)題2：角的平分線有與“中間的線”有相類似的性質(zhì)嗎？

【活動(dòng)2】提出關(guān)于角的平分線的猜想.

類比兩平行線間“中間的線”的猜想，提出角的平分線的兩條猜想：猜想1——角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等;猜想2——角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等點(diǎn)在角的平分線上.

設(shè)計(jì)意圖：情境由兩條平行的直線變?yōu)橐粋€(gè)角，學(xué)生能夠在這種特殊到一般的變化中，主動(dòng)的運(yùn)用類比的方法，較為順利地提出對(duì)角的平分線的性質(zhì)的兩條猜想.

三、證明猜想，歸納小結(jié)

【活動(dòng)3.1】將命題1改寫成符號(hào)語(yǔ)言.

分析命題1的條件和結(jié)論，明確命題1的研究對(duì)象是線上的點(diǎn);借助量角器，畫(huà)出角的平分線，再將命題的條件、結(jié)論分別用符號(hào)語(yǔ)言表述出來(lái).教師展示學(xué)生的作圖，并請(qǐng)一名學(xué)生簡(jiǎn)要描述自己的作圖步驟，師生共同辨析得出大家都認(rèn)可的一種恰當(dāng)?shù)谋硎?

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生經(jīng)歷猜想——畫(huà)圖——改寫——證明這一系列探究的過(guò)程，初步獲得研究幾何問(wèn)題的方法和步驟.

在將命題的文字表述轉(zhuǎn)化成符號(hào)語(yǔ)言的過(guò)程中，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)不同的理解.

預(yù)設(shè)1：已知，如圖，∠AOC=∠BOC，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E.求證：PD=PE.

預(yù)設(shè)2：已知，如圖，∠AOC=∠BOC，點(diǎn)P在OC上.求證：PD=PE.

預(yù)設(shè)3：已知，如圖，射線OC平分角∠AOB，點(diǎn)P在射線OC上.求證：點(diǎn)P到OA、OB的距離相等.

學(xué)生在將文字改寫成符號(hào)語(yǔ)言時(shí)，對(duì)于如何描述距離出現(xiàn)不同的理解，教師引導(dǎo)學(xué)生分析幾名同學(xué)的改寫，確定預(yù)設(shè)1中的書(shū)寫是最為恰當(dāng)?shù)谋硎?

【活動(dòng)3.2】完成命題1的證明過(guò)程.

學(xué)生獨(dú)立完成命題1證明過(guò)程，在黑板上板演證明的完整過(guò)程.

【活動(dòng)3.3】師生共同歸納證明一個(gè)幾何命題的一般步驟：閱讀命題——分析條件和結(jié)論——畫(huà)出圖形——寫成符號(hào)語(yǔ)言——完成證明.

【活動(dòng)3.4】獨(dú)立完成命題2的證明.

四、拓展探究，提高能力

【活動(dòng)4.1】探究角平分線的畫(huà)法.

【活動(dòng)4.2】拓展作業(yè)

特色學(xué)習(xí)資源分析，技術(shù)手段應(yīng)用說(shuō)明：

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是角的平分線的兩條性質(zhì)定理的探究及證明，角的平分線是到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的集合，為了讓學(xué)生能夠?qū)堑钠椒志€有更加深刻和完整的理解，教師設(shè)計(jì)了充分的活動(dòng).

首先在情境引入環(huán)節(jié)，教師沒(méi)有直接引入角和角的平分線，而是先由一個(gè)實(shí)際情境引出了學(xué)生更易理解的兩平行線和兩平行線間的“中間的線”，引導(dǎo)學(xué)生提出“中間的線”的兩條猜想，再畫(huà)圖說(shuō)明;再將平行線變?yōu)橄嘟痪€，通過(guò)類比“中間的線”的研究思路，再來(lái)探究角的平分線，分散了角的平分線的性質(zhì)探究的難點(diǎn)，對(duì)提升學(xué)生思維有很大的幫助，這種設(shè)計(jì)思路非常新穎.

教師引導(dǎo)學(xué)生從充分性和必要性兩個(gè)角度去提出猜想，在整個(gè)授課的過(guò)程中也都在不斷滲透這種集合思想，很好的訓(xùn)練了學(xué)生思維，對(duì)以后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起著很重要的作用.

教師在授課前，對(duì)八年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了充分的調(diào)研和學(xué)情分析，基于學(xué)生的問(wèn)題，設(shè)計(jì)學(xué)生活動(dòng)，有的放矢，課堂上讓學(xué)生充分的參與和展示，真正的做到了以學(xué)生為本.