高中數(shù)學(xué)排列組合中四種基本模型的探究

孟弦

【摘要】排列組合問題在高中數(shù)學(xué)中是一個(gè)特別的內(nèi)容，知識點(diǎn)不多，但題型靈活多變，對學(xué)生的分類討論能力、轉(zhuǎn)化與化歸等綜合能力要求比較高。本文是筆者在教學(xué)中對學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn)歸納出來四種模型：分組分配模型、指數(shù)模型、不相鄰模型、隔板模型。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);分組分配模型;指數(shù)模型;不相鄰模型;隔板模型

一、分組分配模型

1.基本模型題

例1：將5個(gè)不同的球放入4個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，則不同的放法共有（? ）種。

A.480? ? ?B.360? ? ?C.240? ? ?D.120

解析：本題易錯(cuò)點(diǎn)是其中一個(gè)盒子里面有兩個(gè)球，這兩個(gè)不同的球位置與順序無關(guān)。按照先分組后分配方法，5個(gè)球分為4組有? 種，分給4個(gè)不同盒子有A44種排法，共有C25A44=240種。按照縮倍除法先把5個(gè)不同的球全排列，其中有一個(gè)盒子2個(gè)球與順序無關(guān)，有盒3盒子里面都是相同數(shù)量的球，共有A44=240種，故選C。

2.模型遷移

例2：（2017年高考全國新課標(biāo)Ⅱ卷理科第6題）安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式有（? ）種。

A.12? ? ?B.18? ? ?C.24? ? ?D.36

解析：題目中“4項(xiàng)工作”看成是“4個(gè)不同的球”，把“3名志愿者”看成是“3個(gè)不同的盒子”。此題的本質(zhì)就是將4個(gè)不同的球放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，先分組為（2，1，1）有C24==6種，放到3個(gè)不同的盒子有A33=6種，共有36種，故選D。

結(jié)論1：一般的，將n=m1+m2+…+mk（m1≠m2≠…mk）個(gè)不同的球放入k個(gè)不同的盒子中且分組為（m1，m2，…mk），則不同的放法有種;將mn個(gè)不同的球平均分到n個(gè)不同盒子中，不同放法有  種;如果只是部分平均分組，則除以相應(yīng)組數(shù)的階乘即可。

二、指數(shù)模型

1.基本題型

例3：將5個(gè)不同的球放入4個(gè)不同的盒子中，則不同的放法共有多少種？

解析：本題學(xué)生容易混淆的點(diǎn)在于是“球選盒子”還是“盒子選球”，題目的目的是球放進(jìn)盒子里面，所以是“球選盒子”，每一個(gè)球都有4個(gè)盒子可以選擇，由分步乘法原理可得共有45=1024種。

2.模型遷移

例4：（2007年高考全國Ⅱ卷文科第10題）5名同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外小組，每個(gè)同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法有（? ）種。

A.10? ? ?B.20? ? ?C.25? ? ?D.32

解析：把“5名同學(xué)”看成是“5個(gè)不同的球”，把“兩個(gè)課外小組”看成是“2個(gè)不同的盒子”。此題的本質(zhì)就是將5個(gè)不同的球放入2個(gè)不同的盒子中，共有25=32種，故選D。

結(jié)論2：將n個(gè)不同的球放入k個(gè)不同盒子中，不同的放法共有kn種。

三、不相鄰模型

1.基本模型

例5：有9個(gè)大小、形狀完全相同的小球，其中5個(gè)白球，4個(gè)黑球?，F(xiàn)將這9個(gè)球排成一排，其中任何兩個(gè)黑球彼此不相鄰，有多少種排法？

解析：本題的思考角度選擇正確是關(guān)鍵。既然黑球任意兩個(gè)不相鄰，所有黑球的左右兩邊都是白球，那就先把5個(gè)白球排成一排，黑球排在6個(gè)空位就可以保證兩兩互不相鄰，共有C46=15種。

2.模型遷移

例6：（2014年高考遼寧卷理科第6題）6把椅子排成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的座法種數(shù)為（? ）。

A.10? ? ?B.20? ? ?C.25? ? ?D.32

解析：本題是很明顯的“不相鄰模型”，學(xué)生對這一模型是否熟悉是解題關(guān)鍵。任意兩人不相鄰，先將3把空椅子排成一排，然后3人放到4個(gè)空位上進(jìn)行排列，共A34=24種。

例7：若（1+x）（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，在展開式右邊的九項(xiàng)中，隨機(jī)任取不同的三項(xiàng)，假設(shè)這三項(xiàng)均不相鄰，則有多少種不同的取法（用數(shù)字作答）？

解析：解題中需要轉(zhuǎn)化與化歸的思想，大部分學(xué)生很難想到，只能一一列舉出來，但此題本質(zhì)就是“不相鄰模型”。題意是取出三項(xiàng)剩下六項(xiàng)，取出的三項(xiàng)在原來的位置均不相鄰，可以看作有六個(gè)研究對象先排成一排，再將另外三個(gè)研究對象插入進(jìn)去，并且兩兩互不相鄰，這兩種方式是一一對應(yīng)關(guān)系，所以共有C37=35種。

結(jié)論3：有m+n（m≥n-1）個(gè)大小、形狀完全相同的小球，其中m個(gè)白球，n個(gè)黑球，現(xiàn)將這m+n個(gè)球排成一排，其中任何兩個(gè)黑球彼此不相鄰的排法共有Cnm+1種。

四、隔板模型

1.基本模型

例8：將5個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，則不同的放法共有多少種？

解析：本題與例1只有球是相同和不同的區(qū)別，但解法截然不同，學(xué)生容易對條件混淆導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。本題的實(shí)質(zhì)是把5個(gè)相同的球分成4組，5個(gè)相同的球有4個(gè)空位，用3個(gè)隔板放在這4個(gè)空位上，恰好把5個(gè)相同的球分成4組，共有C34=4種。

2.模型遷移

例9：已知集合A={a1，a2，…，a100}與集合B={b1，b2，…，b25}，建立映射f：A→B，使得B中每個(gè)元素都有象，且滿足f（a1）≥f（a2）≥…f（a100），則能建立多少個(gè)這樣的映射？

解析：此題本質(zhì)就是將100個(gè)相同的球放入25個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子不能為空，共有C2499個(gè)。

結(jié)論4：將n（n≤k）個(gè)相同的球放入k個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，共有Ck-1種。

結(jié)論4.1：將n個(gè)相同的球放入k個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子可以任意放球，共有Ck-1? ? ?=Cnm+n-1種。

解析：該結(jié)論是“隔板模型”的一個(gè)推廣，先在k個(gè)盒子中每個(gè)盒子放一個(gè)球，就可以轉(zhuǎn)化為將n+k個(gè)相同的球放入k個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，共有Ck-1? ? ?=Cnm+n-1種。

結(jié)論4.2：將n（n﹥）個(gè)相同的球放入編號分別為1，2，…，k的盒子中，其中每個(gè)盒子放球數(shù)不得少于編號數(shù)，共有Ck-1? ? ? ? ? ?種放法。

解析：該結(jié)論實(shí)質(zhì)是“隔板模型”的另一個(gè)推廣，先在編號為2的盒子里面放1個(gè)球，編號為3的盒子里面放2個(gè)球，依次如此，最后在編號為k的盒子里面放k-1個(gè)球，就轉(zhuǎn)化成將n-個(gè)相同的球放入k個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，共有Ck-1? 種放法。