全概率公式下構造遞推關系求概率

潘小峰 聶振榮

(1.江蘇省外國語學校 2.南京師范大學)

高中階段經常會碰到構造數列遞推求概率的問題,這類問題往往都是基于上一步的情況,探討下一步情況,如直線分割區(qū)域、傳接球、涂色等問題.許多問題都可以歸結為求某個數列的通項公式,而直接求數列的通項公式往往較困難,此時可考慮求該數列通項的遞推關系,然后解這個遞推關系,如果能順利完成這兩個步驟,則問題就得到了解決.建立遞推關系進而解遞推關系是解決組合計數問題的常用方法.

在構造數列遞推關系時,高中階段往往按照分類加法和分步乘法原則列式,其本質就是全概率公式,下面首先介紹全概率公式.

設B1,B2,…,Bn為樣本空間Ω的一個分割,如圖1 所示(陰影部分為事件A),即B1,B2,…,Bn互不相 容,且＝Ω,如 果P(Bi)＞0,i＝1,2,…,n,則對任一事件A有P(A)＝

圖1

注意,若將條件B1,B2,…,Bn為樣本空間的一個分割改為B1,B2,…,Bn互不相容,且,此公式仍然成立.

觀察到全概率公式類似于條件概率公式,故可由條件概率進行推理證明.

將P(ABi)＝P(Bi)P(A|Bi),i＝1,2,…,n代入上式即證.

全概率公式中最簡單的形式:若0＜P(B)＜1,則P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(ˉB)P(A|ˉB),即通過一組對立事件對樣本空間進行分割.我們不妨來將其運用到摸獎模型中,在摸獎券過程中,我們經常會考慮摸到的機會是否會與自身所處的前后位置有關.

例1設n張彩票中有1張獎券,求第二個人摸到獎券的概率是多少?

設Ai表示事件“第i人摸到獎券”,i＝1,2,…,n.我們知道事件A1是否發(fā)生會直接影響到事件A2發(fā)生的概率,即

這表明摸到獎券的機會與先后次序無關,后者去摸獎可能處于有利狀態(tài)(即前者沒有摸到獎券,從而增加后者摸到獎券的機會),或后者處于不利狀態(tài)(即前者已經摸到獎券),以上兩種情況是用全概率公式進行加權平均所得結果,從中發(fā)現機會是均等的,這對于摸獎的參與者是合乎情理的.用類似的方法可得P(A3)＝P(A4)＝…＝P(An)＝.這說明當購買彩票時,無論購買順序如何,中彩機會是均等的.

下面來看看先構造遞推關系再運用全概率公式求概率的應用.

例2甲口袋有1個黑球,N-1個白球,乙口袋有N個白球,現從甲、乙口袋中各取一個球交換放入另一口袋,求交換n次后,黑球仍在甲口袋的概率,并討論n→∞時的情況.

針對上述例題,記An表示第n次之后黑球在甲口袋表示第n次之后黑球不在甲口袋,記pn＝P(An),由全概率公式得

通過調整黑球個數,探索全概率公式的進一步應用.

例3(2020年江蘇卷理23)甲口袋中裝有2個黑球和1個白球,乙口袋中裝有3個白球.現從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋,重復n次這樣的操作,記甲口袋中黑球個數為Xn,恰有2個黑球的概率為pn,恰有1個黑球的概率為qn.

(1)求p1,q1和p2,q2;

(2)求2pn＋qn與2pn-1＋qn-1的遞推關系式和Xn的數學期望E(Xn)(用n表示).

(1)略.

(2)若第n次交換后甲口袋中有2個黑球,則第n-1次甲口袋分為兩種情況:有2個黑球或只有1個黑球.若有2個黑球,則乙口袋全是白球,此時甲口袋只能抽出白球與乙口袋白球交換;若只有1個黑球,此時甲口袋只能抽出白球與乙口袋中唯一的黑球交換.由全概率公式可得

若第n次交換后甲口袋中有1個黑球,則第n-1次甲口袋分為三種情況:有2個黑球、1個黑球或沒有黑球,同上由全概率公式可得

表1

通過上述解析發(fā)現,全概率公式已經在高考題中有所體現,由于此題考慮了2個黑球、1個黑球和沒有黑球這三種情況,故不能使用全概率公式中最簡單的形式.因此在使用公式時需要將可能誘導最終基本事件發(fā)生的所有可能因素考慮完整,不可遺漏.近年來,概率論與其他學科不斷交叉融合,發(fā)揮著不可替代的作用,概率論學科逐步走向數學的前沿,而且引領著數學科學的發(fā)展.高中概率主題內容是高中數學課程的基礎內容,在發(fā)展學生的數學抽象、數學建模、邏輯推理以及數學運算等核心素養(yǎng)方面有著重要的作用,數列又是離散的函數,對于學生進一步理解函數,理解迭代思想起了重要的作用.高中新教材中,將概率知識與數列知識相融合,創(chuàng)造了新的交會問題,對學生的綜合能力提出更高的要求,教學中要引起重視.

(完)