直線與曲線參數(shù)方程問(wèn)題常見(jiàn)錯(cuò)誤分析

趙程程

(山東省鄒平市第二中學(xué))

直線和曲線參數(shù)方程的引入,為解析幾何問(wèn)題的求解提供了便利的工具,相關(guān)問(wèn)題的求解中既可以直接利用參數(shù)方程,也可以將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程.在某些問(wèn)題的求解中,學(xué)生常常因?yàn)楹鲆晠?shù)的幾何意義、不注意考慮參數(shù)的范圍等原因出錯(cuò),造成無(wú)謂失分,本文就常見(jiàn)的失分點(diǎn)舉例辨析.

1 未對(duì)直線傾斜角進(jìn)行討論

過(guò)點(diǎn)M(x0,y0),傾斜角為α(α≠)的直線l的直角坐標(biāo)方程為y-y0＝tanα(x-x0),其參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為

將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)要注意對(duì)傾斜角(即對(duì)斜率)存在與否進(jìn)行討論.

例1(2018年全國(guó)Ⅱ卷理22)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為 參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).

(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程;

(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),求l的斜率.

辨析上述解法的錯(cuò)誤之處在第(1)問(wèn),將直線的參數(shù)方程化為普通方程,且傾斜角α未知時(shí),要對(duì)其是否為(即cosα是否為0)進(jìn)行討論.

當(dāng)cosα≠0時(shí),l的直角坐標(biāo)方程為y＝tanα·x＋2-tanα;當(dāng)cosα＝0時(shí),l的直角坐標(biāo)方程為x＝1.求解類似問(wèn)題時(shí),需注意傾斜角的范圍是[0,π).

2 機(jī)械地套用參數(shù)的幾何意義

選擇的視角不同,同一直線或曲線的參數(shù)方程可能不同,因此參數(shù)方程有標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程之分.過(guò)定點(diǎn)M0(x0,y0),傾斜角為α的直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為(t為參數(shù)).其中參數(shù)|t|表示直線l上任意一點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)M0(x0,y0)的距離.對(duì)直線參數(shù)方程的一般形式(t為參數(shù)),若a2＋b2≠1,則參數(shù)t不具有這一幾何意義.

例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2.

(1)求直線l的一般方程以及圓C的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)P(-1,1),直線l和圓C相交于M,N兩點(diǎn),求||PM|＋|PN||的值.

錯(cuò)解(1)由消去參數(shù)t得x-2y＋3＝0,即為直線l的一般方程.由ρ2＝x2＋y2及ρ＝2,得x2＋y2＝4,即圓C的直角坐標(biāo)方程.

辨析本題中所給的直線的參數(shù)方程,并不是標(biāo)準(zhǔn)形式,其中的參數(shù)不具有相應(yīng)的幾何意義,因此可先將其化為參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式后再利用參數(shù)的幾何意義求解.

從而實(shí)現(xiàn)了參數(shù)方程一般式與標(biāo)準(zhǔn)式的轉(zhuǎn)化.

據(jù)此可得直線l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式為

3 遺漏對(duì)判別式的判定

坐標(biāo)系與參數(shù)方程大多以直線和曲線的位置關(guān)系為背景,此類問(wèn)題往往需要將直線方程與曲線方程聯(lián)立,借助判別式、根與系數(shù)的關(guān)系處理.有些題目聯(lián)立方程后所得一元二次方程的判別式并不是恒大于或等于0,這時(shí)就要對(duì)其加以限制.

例3過(guò)點(diǎn)P,0)作傾斜角為α的直線與曲線x2＋2y2＝1交于M,N兩點(diǎn),求|PM|·|PN|的最小值.

錯(cuò)解設(shè)直線的參數(shù)方程為

將其代入曲線x2＋2y2＝1得.

設(shè)點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1,點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t2,由根與系數(shù)的關(guān)系得t1t2＝,所以

因?yàn)?≤sin2α≤1,所以當(dāng)sin2α＝1時(shí),有

辨析對(duì)于直線與曲線相交問(wèn)題,利用代入消元法,將直線方程與曲線方程聯(lián)立得到一元二次方程后,首先要滿足的條件是判別式大于或等于0,即

4 無(wú)視參數(shù)范圍對(duì)坐標(biāo)的限制

將不同的方程進(jìn)行統(tǒng)一轉(zhuǎn)化是處理坐標(biāo)系與參數(shù)方程問(wèn)題的常用策略,在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中如果沒(méi)有注意參數(shù)范圍的限制,轉(zhuǎn)化后直角坐標(biāo)方程中x,y的范圍就會(huì)擴(kuò)大,從而使解題出現(xiàn)錯(cuò)誤.

例4(2020年全國(guó)Ⅰ卷理22)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為

(1)若k＝1,C1是什么曲線?

(2)若k＝4,求C1與C2的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo).

錯(cuò)解(1)當(dāng)k＝1時(shí),曲線(t為參數(shù)),進(jìn)而可得x2＋y2＝1,即曲線C1是圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為1的圓.

(2)當(dāng)k＝4 時(shí),曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),即(t為參數(shù)),進(jìn)而可得＋1,即C1的直角坐標(biāo)方程.

對(duì)于曲線C2:4ρcosθ-16ρsinθ＋3＝0,由x＝ρcosθ,y＝ρsinθ,得其直角坐標(biāo)方程為

當(dāng)然,類似的失分點(diǎn)還有很多,在此不再一一列舉.總之,在處理有關(guān)參數(shù)方程的問(wèn)題時(shí),學(xué)生要明確易錯(cuò)點(diǎn),認(rèn)清致錯(cuò)根源,找到合理的避錯(cuò)策略,避免“會(huì)而不對(duì),對(duì)而不全”等情況的出現(xiàn).

(完)