羅文軍
(甘肅省秦安縣第二中學(xué))
(本試卷共22小題,滿分150分,考試用時(shí)120分鐘)
一、選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)
1.已知集合A={-1,0,1},B={1,2,3},C={(x,y)|x∈A,y∈B,xy∈A},則集合C中所含元素的個(gè)數(shù)為( ).
A.3 B.4 C.5 D.6
2.復(fù)數(shù)z滿足(z+2)(3+4i)=25(i為虛數(shù)單位),則z的共軛復(fù)數(shù)為( ).
A.1-4i B.1+4i C.1+3i D.1-3i
3.已知函數(shù)f(x)=sinx+sin(cosx),下列說法正確的是( ).
A.函數(shù)f(x)為奇函數(shù) B.函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=π對(duì)稱C.π為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期 D.函數(shù)f(x)在[-,0]上單調(diào)遞增
4.若e1,e2是兩個(gè)夾角為45°的單位向量,已知a=3e1+4e2,則|a|=( ).
5.已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊與x軸非負(fù)半軸重合,終邊與直線2x-y+3=0平行,則的值為( ).
6.已知傾斜角為60°的直線m經(jīng)過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F且與C的準(zhǔn)線l交于點(diǎn)A,記直線m與C在x軸上方的交點(diǎn)為B,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△AOB的面積為( ).
7.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+x在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x+4y-2=0,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
8.已知數(shù)列{an}滿足an+1=,a1=,則a2022=( ).
二、多選題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得2分.)
9.已知點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0),A(0,2)的距離之比為,記點(diǎn)M的軌跡為E,若直線y=+b與曲線E相切,則b的可能取值是( ).
10.攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式,通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖,多見于亭閣式建筑、園林建筑.下面以四角攢尖為例,如圖,它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐,已知此正四棱錐的底面正方形的邊長(zhǎng)為米,側(cè)棱長(zhǎng)為4米,則該正四棱錐的( ).
11.設(shè)P為橢圓C=1上一點(diǎn),F1,F2分別為C的左、右焦點(diǎn),則下列說法正確的是( ).
12.已知x>0,y>0且2x+3y=10,則下列結(jié)論正確的是( ).
三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分.)
13.已知函數(shù)f(x)=則f(f(f(256)))=_________.
14.(2+3x+4x2)(1+x)6展開式中x3的系數(shù)為________.
15.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0},若函數(shù)f(x)同時(shí)滿足:①f(xy)=f(x)+f(y);②f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞);③f(1)=0,則f(x)=_________(答案不唯一,寫出滿足這些條件的一個(gè)函數(shù)即可).
四、解答題(本題共6小題,共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
17.(10分)已知等差數(shù)列{an}滿足a3=7,a6+a9=32.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)從①bn=+an;②bn=an·;③bn=這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問題中,并解答.
數(shù)列{bn}滿足_________,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.18.(12分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知,b=6.
(1)求角B的大小;
(2)若點(diǎn)D在邊BC上,且求△ACD面積的最大值.
19.(12分)某中學(xué)在2021年組織了“建黨百年”黨史知識(shí)競(jìng)賽,抽取120名考生的成績(jī)(單位:分)按[95,105),[105,115),[115,125),[125,135),[135,145]分成5組,制成頻率分布直方圖,如圖所示.
(1)估計(jì)這120名考生的平均成績(jī)以及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)由直方圖可認(rèn)為考生成績(jī)Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ,σ2分別取考生的平均成績(jī)ˉx和考生成績(jī)的方差s2,利用該正態(tài)分布,求P(109.55<Z<133.45).
20.(12分)已知圓O:x2+y2=7,橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F2且垂直于x軸的直線被橢圓C和圓O所截得的弦長(zhǎng)分別為3和
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若不過點(diǎn)B的直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),且滿足,試探究:直線l是否過定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,說明理由.
21.(12分)如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,CA=CB=AA1=2,M,N分別是A1B與CC1的中點(diǎn),G為ABN的重心.
(1)求證:MG⊥平面ABN;
(2)求二面角A1-AB-N的正弦值.
22.(12分)已知函數(shù)f(x)=x-lnx+a(a∈R).
(1)求函數(shù)f(x)的極值;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖像與直線y=t交于M(x1,t),B(x2,t)兩點(diǎn),且x1<x2,求證:函數(shù)f(x)在x=處的切線斜率大于0.