基于雙射角射線掃描的平面定位研究

李立新，丁電寬，馮麗娜

(安陽(yáng)師范學(xué)院 物理與電氣工程學(xué)院，河南 安陽(yáng) 455000)

0 引言

自動(dòng)作業(yè)系統(tǒng)中，對(duì)工作區(qū)內(nèi)作業(yè)對(duì)象的定位是自動(dòng)控制系統(tǒng)中的必要環(huán)節(jié)[1]。利用特定雙直角三角形斜邊相交[2]，求解交點(diǎn)到直角邊距離的幾何原理，用雙射角射線掃描可以實(shí)現(xiàn)對(duì)平面工作區(qū)內(nèi)隨機(jī)位置物體的縱橫雙向定位。其精簡(jiǎn)掃描模式和最優(yōu)掃描模式適用于長(zhǎng)陣列紅外掃描汽車定位系統(tǒng)[3]，實(shí)際應(yīng)用中可替代、優(yōu)化原有的紅外掃描與超聲波測(cè)距組合平面定位系統(tǒng)。

1 雙射角射線掃描平面定位

1.1 雙射角平面定位數(shù)學(xué)模型

如圖1所示，Rt△A1B1C1和Rt△A2B2C2，∠A1B1C1=∠A2B2C2=90°，∠B1A1C1=α1，∠B2A2C2=α2，且α1>α2，α2≥0，兩條直角邊B1C1和B2C2處于同一條直線上，另外兩條直角邊A1B1=A2B2，兩條斜邊相交于P，若已知B1B2間距，則P到各直角邊的距離可以通過(guò)下面方法求出。

圖1 雙射角平面定位數(shù)學(xué)模型

作三條輔助線，一條是A1E，A1E平行于A2C2，即∠B1A1E=α2，第二條是PD1，PD1⊥A1B1，交A2B2于D2，第三條是PF，PF⊥B1C1。PD1、PD2、PF就是P到各直角邊的距離。

因△EA1C1與△C2PC1為相似三角形，所以

(1)

又因△A1B1C1與△PFC1為相似三角形，所以

(2)

由式(1)和式(2)得

故P到直角邊B1C1和B2C2的距離

(3)

由式(2)得

故P到直角邊A1B1的距離

(4)

故P到直角邊A2B2的距離

(5)

將△A1B1C1和△A2B2C2，置于平面直角坐標(biāo)系中，如圖1所示，B1在橫軸上的坐標(biāo)用XB1表示，則P點(diǎn)坐標(biāo)(XP，YP)可表示如下：

(6)

1.2 雙射角射線掃描平面定位測(cè)量算法

如圖2所示，有矩形工作區(qū)，寬為H，長(zhǎng)為L(zhǎng)。在工作區(qū)隨意放置一長(zhǎng)方形實(shí)物P，基于雙射角平面定位數(shù)學(xué)模型，可用雙射角射線掃描定位測(cè)量P的四個(gè)頂角坐標(biāo)。

圖2 雙射角掃描平面定位測(cè)量

先以P1頂角為例說(shuō)明。將上側(cè)邊線和下側(cè)邊線按單位長(zhǎng)度ΔL均勻劃設(shè)N個(gè)刻度，刻度值用n表示，其中ΔL=L/N，n=0～N。將左邊線和右邊線按單位長(zhǎng)度ΔL均勻劃設(shè)I個(gè)刻度，刻度值用i表示，其中ΔL=H/I，i=0～I(xiàn)。

在上邊線n位置放置一個(gè)射線發(fā)射器，在下邊線n+m1位置放置一個(gè)射線接收器，即接收器位置在X軸正方向超前發(fā)射器m1刻度，構(gòu)成射角為α1的射線測(cè)量組(以下簡(jiǎn)稱α1測(cè)量組)，其中tanα1=m1/I。發(fā)射器上邊線從刻度0向N逐步移動(dòng)，接收器在下邊線也同時(shí)從刻度m1向N方向移動(dòng)，每次移動(dòng)一個(gè)刻度，兩者同步移動(dòng)，保持射角α1不變。當(dāng)接收器從刻度m1移動(dòng)至N時(shí)，α1測(cè)量組完成一次工作區(qū)掃描。在α1測(cè)量組掃描工作區(qū)時(shí)，射線在P1點(diǎn)處形成通斷轉(zhuǎn)換，斷點(diǎn)位置標(biāo)記為n1/(n1+m1)，即斷點(diǎn)發(fā)射器位置n1，接收器位置n1+m1。

再以α2測(cè)量組(接收器位置在X軸正方向超前發(fā)射器m2刻度，tanα2=m2/I)對(duì)工作區(qū)進(jìn)行掃描，射線在P1點(diǎn)處形成通斷轉(zhuǎn)換，斷點(diǎn)位置標(biāo)記為n2/(n2+m2)，即斷點(diǎn)發(fā)射器位置n2，接收器位置n2+m2。在α1>α2，α2≥0時(shí)，根據(jù)式(6)可得P1在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(x1，y1)為：

(7)

α1測(cè)量組和α2測(cè)量組在掃描經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)時(shí)，再次形成通斷轉(zhuǎn)換，斷點(diǎn)位置分別標(biāo)記為n3/(n3+m1)和n4/(n4+m2)，同理可得P2在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(x2，y2)為：

(8)

由于α1測(cè)量組和α2測(cè)量組在掃描經(jīng)過(guò)P3、P4點(diǎn)時(shí)，射線無(wú)法形成通斷轉(zhuǎn)換，需要改變射角方向進(jìn)行掃描。如圖3所示，把射角分為前射角和后射角兩種，接收器位置在X軸正方向超前發(fā)射器位置的稱為前射角，接收器位置在X軸正方向滯后發(fā)射器位置的稱為后射角。P1、P2定位用的是前射角掃描，α1測(cè)量組和α2測(cè)量組可進(jìn)一步改稱為前α1測(cè)量組和前α2測(cè)量組，P3、P4定位需要用后射角掃描，測(cè)量組稱為后α1測(cè)量組和后α2測(cè)量組。

圖3 前射角與后射角示意圖

如圖4所示，后α1測(cè)量組和后α2測(cè)量組在掃描經(jīng)過(guò)P3點(diǎn)時(shí)，射線形成通斷轉(zhuǎn)換，斷點(diǎn)位置分別標(biāo)記為n5/(n5-m1)和n6/(n6-m2)，同理可得P3在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(x3，y3)為：

圖4 后射角雙射角掃描平面定位測(cè)量

(9)

后α1測(cè)量組和后α2測(cè)量組在掃描經(jīng)過(guò)P4點(diǎn)時(shí)，射線形成通斷轉(zhuǎn)換，斷點(diǎn)位置分別標(biāo)記為n7/(n7-m1)和n8/(n8-m2)，同理可得P4在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(x4，y4)為：

(10)

2 測(cè)量結(jié)果分析

2.1 縱向測(cè)量結(jié)果分析

先分析P1點(diǎn)縱坐標(biāo)y1。式(7)中，n2-n1是雙射角掃描斷點(diǎn)發(fā)射器位置間距，m1-m2與α1、α2角度取值有關(guān)，令Δn1=n2-n1，ΔM=m1-m2。為此，P1點(diǎn)縱坐標(biāo)y1可以表示為：

由上式可知，y1測(cè)量結(jié)果與雙射角掃描斷點(diǎn)相對(duì)位置有關(guān)。兩個(gè)斷點(diǎn)發(fā)射器位置間距Δn1越小y1越大；反之，Δn1越大y1越小。因0≤Δn1≤ΔM，所以，當(dāng)Δn1=ΔM，即斷點(diǎn)發(fā)射器位置間距最大時(shí)，y1=0，為最小值。而當(dāng)Δn1=0，即斷點(diǎn)發(fā)射器位置間距最小時(shí)，y1=I，為最大值。

由上式還可知，y1的最小變化量是I/ΔM,即縱向測(cè)量結(jié)果分辨力為I/ΔM*ΔL。當(dāng)I/ΔM>1時(shí)，縱向測(cè)量結(jié)果分辨力大于ΔL；當(dāng)I/ΔM=1時(shí)，縱向測(cè)量結(jié)果分辨力等于ΔL；當(dāng)I/ΔM<1時(shí)，縱向測(cè)量結(jié)果分辨力小于ΔL。即減小I/ΔM可以優(yōu)化縱向測(cè)量結(jié)果分辨力。

圖5 斷點(diǎn)位置誤差示意圖

因-1<Δl2-Δl1<1，所以-I/ΔM<Δy1

由此可見(jiàn)，縱向測(cè)量結(jié)果最大誤差不超過(guò)I/ΔM*ΔL，即縱向測(cè)量精度為±I/ΔM*ΔL。當(dāng)I/ΔM<1時(shí)，縱向測(cè)量結(jié)果最大誤差小于ΔL；當(dāng)I/ΔM=1時(shí)，縱向測(cè)量結(jié)果最大誤差等于ΔL；當(dāng)I/ΔM>1時(shí)，縱向測(cè)量結(jié)果最大誤差大于ΔL。即減小I/ΔM可以優(yōu)化縱向測(cè)量精度。

2.2 橫向測(cè)量結(jié)果分析

再來(lái)分析P1點(diǎn)橫坐標(biāo)x1。同上，x1可以用下式表示：

由上式可知，x1測(cè)量結(jié)果與雙射角掃描斷點(diǎn)位置以及兩斷點(diǎn)相對(duì)位置有關(guān)。x1等于斷點(diǎn)發(fā)射器位置n1以及該斷點(diǎn)發(fā)射器位置與P1點(diǎn)之間的橫向間距兩者之和。

如圖5所示，同樣因掃描移動(dòng)步長(zhǎng)為ΔL，導(dǎo)致實(shí)際斷點(diǎn)與測(cè)量斷點(diǎn)位置存在誤差，影響橫向測(cè)量結(jié)果x1。若用Δx1表示P1點(diǎn)橫向坐標(biāo)測(cè)量誤差，則P1點(diǎn)實(shí)際的橫向坐標(biāo)x1S為：

圖6表示出Δx1與Δl1、Δl2、m1/ΔM之間的關(guān)系。m1/ΔM越小，誤差范圍越小。由于m1/ΔM≥1，當(dāng)達(dá)到最小值m1/ΔM=1時(shí)，誤差范圍最小，且誤差大小與Δl1無(wú)關(guān)；當(dāng)m1/ΔM>1時(shí)，Δl1越大，誤差范圍正向極值越大，Δl2越大，誤差范圍負(fù)向極值越大。

圖6 Δx1與Δl1、Δl2、m1/ΔM之間的關(guān)系

2.3 測(cè)量?jī)?yōu)化措施分析

2.3.1 雙射角的選擇

減小I/ΔM可以優(yōu)化縱向測(cè)量精度，減小m1/ΔM可以優(yōu)化橫向的測(cè)量誤差范圍。因?yàn)?/p>

所以，雙射角的選擇關(guān)系到測(cè)量結(jié)果的質(zhì)量。

發(fā)射角α2的選擇。由上式可知，減小tanα2是優(yōu)化措施之一。但0≤tanα2<∞，故tanα2=0，即α2=0是極限選擇。當(dāng)α2=0時(shí)，前α2測(cè)量組和后α2測(cè)量組合二為一，稱之為精簡(jiǎn)掃描模式。這種極限選擇僅限于實(shí)物P左右側(cè)邊垂直于測(cè)量上下區(qū)邊線的情況，其他情況下，要保證α2不小于實(shí)物P左右側(cè)邊傾角。

發(fā)射角α1的選擇。由上式可知，增大tanα1是優(yōu)化措施之一。為了保障工作區(qū)為有效測(cè)量區(qū)，雙射角定位測(cè)量需要在工作區(qū)前后增加附加測(cè)量區(qū)，tanα1增大會(huì)增加附加測(cè)量區(qū)長(zhǎng)度。為兼顧盡量減小附加測(cè)量區(qū)長(zhǎng)度和測(cè)量結(jié)果盡量?jī)?yōu)化，一般選擇tanα1=1，即α1=45°為宜。

若選取α2=0和α1=45°，掃描精簡(jiǎn)，且Δx1誤差范圍最小，Δy1測(cè)量精度較好，稱之為最優(yōu)掃描模式。

2.3.2 單位長(zhǎng)度ΔL的選擇

雙射角斷點(diǎn)位置誤差Δl1和Δl2是形成定位測(cè)量誤差的主要原因。Δl1和Δl2的長(zhǎng)度最大值小于一個(gè)單位長(zhǎng)度ΔL，所以，減小單位長(zhǎng)度ΔL的值是提高定位測(cè)量精度的重要措施。一般情況下，單位長(zhǎng)度ΔL應(yīng)小于設(shè)定的測(cè)量精度值。

2.3.3 平移修正算法優(yōu)化

由于n1′位于n1與n1-1之間，n2′位于n2與n2-1之間，0≤Δl1<1,0≤Δl2<1。若在計(jì)算時(shí)對(duì)n1與n2做-0.5平移修正，即將斷點(diǎn)和相鄰?fù)c(diǎn)的中間點(diǎn)作為修正測(cè)量斷點(diǎn)，則進(jìn)行修正后有-0.5≤Δl1<0.5,-0.5≤Δl2<0.5。表1對(duì)比了修正前后Δx1誤差范圍，平移修正后Δx1誤差范圍得以優(yōu)化，最大誤差減小。平移修正算法對(duì)Δy1沒(méi)有改善作用。

表1 平移修正前后誤差對(duì)比表

P2、P3、P4分析結(jié)果與P1相同，不再論述。

3 在長(zhǎng)陣列掃描定位系統(tǒng)中的應(yīng)用

長(zhǎng)陣列紅外掃描定位系統(tǒng)是車載物料作業(yè)系統(tǒng)中自動(dòng)控制系統(tǒng)的重要組成部分，用于對(duì)平面內(nèi)汽車位置進(jìn)行檢測(cè)。如圖7所示，該系統(tǒng)由紅外發(fā)射陣列和紅外接收陣列組成，有N個(gè)發(fā)射模塊和N個(gè)接收模塊，相鄰模塊間隔ΔL，收發(fā)模塊一一位置對(duì)應(yīng)，在掃描移位脈沖的作用下，可以控制逐對(duì)輪流接通。采用發(fā)射模塊接收模塊錯(cuò)位組合掃描[4]，可以按照雙射角定位算法完成對(duì)汽車位置的定位。

在該系統(tǒng)中，由于車輛進(jìn)入工作區(qū)前經(jīng)過(guò)引道，車廂側(cè)邊與工作區(qū)橫向中線基本平行，適用于精簡(jiǎn)掃描模式。在車廂后面有較為充裕的空間，可以對(duì)車尾兩角采用最優(yōu)掃描模式。在拖掛車情況下，拖車掛車間距不同，需根據(jù)實(shí)際調(diào)節(jié)發(fā)射角。一般采用三輪掃描，第一輪采用零射角掃描(逐位移動(dòng)對(duì)位掃描)，確定車廂橫坐標(biāo)位置xP1(xP3)、xP2(xP4)、xP5(xP6)等。第二輪、第三輪采用錯(cuò)位掃描，分段采用不同射角。第二輪首先是前射角α1掃描，之后結(jié)合接收和發(fā)射交替脈動(dòng)移位，轉(zhuǎn)換為后射角α2→α2+變角掃描等，依次確定yP1、yP4、yP5等坐標(biāo)。第三輪首先是后射角α1掃描，之后結(jié)合發(fā)射和接收交替脈動(dòng)移位，轉(zhuǎn)換為前射角α3→α3+變角掃描，依次確定yP3、yP2、yP6等坐標(biāo)。車尾處采用射角α1=45°，拖車掛車間采用的射角大小依據(jù)第一輪掃描測(cè)得的拖車掛車間距以及之前射角α1掃描測(cè)得的車尾角縱坐標(biāo)來(lái)動(dòng)態(tài)確定。根據(jù)三輪掃描結(jié)果計(jì)算出車輛位置。實(shí)測(cè)結(jié)果，車廂橫向位置誤差小于1/2ΔL，車尾兩角位置縱向誤差小于ΔL，綜合定位結(jié)果達(dá)到紅外掃描與超聲波測(cè)距組合定位水平。

4 結(jié)論

基于雙射角掃描的平面定位方法，利用特定雙直角三角形幾何特性，結(jié)合射線掃描，對(duì)指定區(qū)域的物體進(jìn)行縱橫雙向定位，具有可行性。該方法對(duì)縱向位置測(cè)量時(shí)，受限于附加測(cè)量區(qū)長(zhǎng)度和光源器件半角值等因素，射角一般難以超過(guò)45°，所以縱向位置測(cè)量精度通常不及橫向位置測(cè)量精度。研究以矩形工作區(qū)、長(zhǎng)方形實(shí)物為背景討論了雙射角掃描平面定位算法，對(duì)于非矩形工作區(qū)、其他多邊形物體，也可以以此為基礎(chǔ)，經(jīng)過(guò)算法處理完成定位。