運(yùn)用“合成與分解”思想巧解復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

姜葛 張?jiān)片?/p>

(北京市昌平區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校)

1 問(wèn)題提出

“合成與分解”思想是高中物理中重要的思維方法.任何運(yùn)動(dòng)都可以分解為兩個(gè)分運(yùn)動(dòng),如平拋運(yùn)動(dòng)可分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng);斜拋運(yùn)動(dòng)可以分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的勻變速直線運(yùn)動(dòng);靜止也可以分解為兩個(gè)速度方向相反、大小相等的勻速直線運(yùn)動(dòng).運(yùn)動(dòng)合成與分解遵循矢量的運(yùn)算法則,即平行四邊形定則.運(yùn)動(dòng)的合成與分解本質(zhì)上是描述運(yùn)動(dòng)的物理量,即位移、速度、加速度的合成與分解.利用合成與分解的觀點(diǎn)可以分析、解決物理中復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題.

2 重力場(chǎng)中復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

在重力場(chǎng)中研究物體的運(yùn)動(dòng)是高中物理中常見(jiàn)的問(wèn)題.在重力場(chǎng)中物體受到豎直方向的重力作用.

例1如圖1所示,一高度為h、內(nèi)壁光滑的圓筒豎直放置,將一個(gè)小滑塊在圓筒上端O點(diǎn)以水平初速度v0沿圓筒內(nèi)壁切線方向拋出.已知重力加速度為g,不計(jì)空氣阻力.

圖1

(1)求小滑塊從拋出到離開(kāi)圓筒所用的時(shí)間t.

(2)如果沿虛線OO′將圓筒展開(kāi),以小滑塊初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O,初速度v0方向?yàn)閤軸正方向,豎直向下為y軸正方向,建立直角坐標(biāo)系xOy,如圖2所示.定性畫(huà)出小滑塊在圓筒內(nèi)表面的運(yùn)動(dòng)軌跡.

圖2

解析

(1)小滑塊在圓筒內(nèi)的運(yùn)動(dòng)可以分解為豎直方向和水平方向的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng).在豎直方向上,小滑塊在重力作用下做自由落體運(yùn)動(dòng);在水平方向上,小滑塊在圓筒內(nèi)壁支持力的作用下做速度大小為v0的勻速圓周運(yùn)動(dòng).根據(jù)

(2)將圓筒展開(kāi),以小滑塊初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O,初速度v0方向?yàn)閤軸正方向,豎直向下為y軸正方向,建立直角坐標(biāo)系xOy.在x軸方向?qū)?yīng)的是小滑塊沿圓筒切線方向的運(yùn)動(dòng):速度大小為v0的勻速直線運(yùn)動(dòng);在y軸方向?qū)?yīng)的是小滑塊沿豎直方向的運(yùn)動(dòng):自由落體運(yùn)動(dòng).類(lèi)比平拋運(yùn)動(dòng),小滑塊在圓筒內(nèi)表面的運(yùn)動(dòng)的軌跡為拋物線.設(shè)小滑塊在水平方向做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén).若t＝nT(n為整數(shù),且n≥1),小滑塊在圓筒內(nèi)表面的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3所示,小滑塊從O′離開(kāi)圓筒.

圖3

若(n－1)T＜t＜nT(n為整數(shù),且n≥1),小滑塊在圓筒內(nèi)表面的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖4所示,小滑塊從圓筒底邊離開(kāi)(除O′以外),具體離開(kāi)位置由t決定.

圖4

點(diǎn)評(píng)

本題情境為重力場(chǎng)中復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,運(yùn)用“合成與分解”思想將復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)熟悉的簡(jiǎn)單分運(yùn)動(dòng).小滑塊從拋出到離開(kāi)圓筒所用的時(shí)間可由小滑塊豎直方向的分運(yùn)動(dòng)求得,通過(guò)分析小滑塊豎直方向的受力、加速度和初速度,再運(yùn)用直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律即可解決該問(wèn)題.小滑塊在圓筒內(nèi)表面的運(yùn)動(dòng)軌跡可以通過(guò)研究小滑塊豎直方向的分運(yùn)動(dòng)和沿圓筒切線方向的分運(yùn)動(dòng)獲得.

3 復(fù)合場(chǎng)中復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

由于電磁場(chǎng)和帶電粒子本身看不見(jiàn)、摸不著,對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)比較抽象,電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題既是高中物理中的重點(diǎn)也是難點(diǎn).電荷量為q的帶電粒子在電場(chǎng)強(qiáng)度為E的靜電場(chǎng)中,所受靜電力大小F＝Eq;如果q為正電荷,其受力方向與電場(chǎng)線(切向)方向一致.電荷量為q、速度為v的帶電粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的磁場(chǎng)中,所受洛倫茲力大小F＝Bqvsinθ,方向由左手定則判斷.

例2如圖5所示,在真空中存在空間范圍足夠大的、水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng).將一個(gè)質(zhì)量為m、帶正電的小球從電場(chǎng)中某點(diǎn)以初速度v0豎直向上拋出.已知小球所受電場(chǎng)力與重力之比為.求小球從拋出到運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)過(guò)程中電勢(shì)能的變化量ΔEp.

圖5

解析

小球從拋出到運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)過(guò)程中,小球在豎直方向上只受重力,做豎直上拋運(yùn)動(dòng).設(shè)小球從拋出點(diǎn)至最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,則.小球在水平方向上只受電場(chǎng)力,做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng),加速度.在時(shí)間t內(nèi),其水平位移為

電勢(shì)能的變化量ΔEp＝－F電x,解得

點(diǎn)評(píng)

本題情境是帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)(電場(chǎng)和重力場(chǎng))中做復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng),直接求解困難.運(yùn)用“合成與分解”思想,將這個(gè)復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)互相垂直的直線運(yùn)動(dòng),化難為易,問(wèn)題迎刃而解.

例3如圖6所示,在真空中存在空間范圍足夠大的、水平向右的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.電子槍(圖中未畫(huà)出)發(fā)射出質(zhì)量為m、電荷量為e的電子,經(jīng)加速后以初速度v0射入磁場(chǎng)中,初速度方向與磁場(chǎng)方向夾角為θ.不計(jì)電子所受重力.求電子在垂直磁感線方向上運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi),沿磁感線方向上運(yùn)動(dòng)的距離x.

圖6

解析

電子的運(yùn)動(dòng)可以分解為沿磁場(chǎng)方向和垂直磁場(chǎng)方向兩個(gè)分運(yùn)動(dòng).在沿磁場(chǎng)方向上電子不受力,以速度v1＝v0cosθ做勻速直線運(yùn)動(dòng);在垂直磁場(chǎng)方向上電子受到指向圓心的洛倫茲力,以速度v2＝v0sinθ做勻速圓周運(yùn)動(dòng).洛倫茲力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,Bev2＝,周期T＝,電子在T時(shí)間內(nèi)沿磁感線方向運(yùn)動(dòng)的距離x＝v1T,解得

點(diǎn)評(píng)

本題情境是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的一般情況,即帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí),速度方向與磁場(chǎng)方向不垂直也不平行,帶電粒子(只受洛倫茲力)在磁場(chǎng)中做螺旋線運(yùn)動(dòng).運(yùn)用“合成與分解”思想將該運(yùn)動(dòng)分解為沿磁場(chǎng)方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和垂直磁場(chǎng)方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng),運(yùn)用所學(xué)相關(guān)知識(shí)即可解決該問(wèn)題.

例4如圖7所示,空間存在一范圍足夠大的垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)及沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)(電場(chǎng)未畫(huà)出).一帶電粒子在O點(diǎn)由靜止釋放,并開(kāi)始計(jì)時(shí).已知磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E,帶電粒子的質(zhì)量為m,電荷量為q(q＞0),重力不計(jì).求:

圖7

(1)帶電粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度;

(2)帶電粒子在x軸方向的速度vx隨時(shí)間t的變化關(guān)系.

解析

帶電粒子由靜止釋放,初速度可分解為沿x軸正方向的v1和沿x軸負(fù)方向的v2(v1＝v2),且v1對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)力與電場(chǎng)力平衡,即Bqv1＝Eq,則v1＝v2＝.帶電粒子的運(yùn)動(dòng)可以分解為沿x軸正方向、速度大小為v1的勻速直線運(yùn)動(dòng)和在xOy平面、速度大小為v2、沿逆時(shí)針?lè)较虻膭蛩賵A周運(yùn)動(dòng).

圖8

點(diǎn)評(píng)

本題為復(fù)合場(chǎng)(磁場(chǎng)和電場(chǎng))中復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,解決該問(wèn)題依然是運(yùn)用“運(yùn)動(dòng)的合成與分解”的方法,將該運(yùn)動(dòng)分解為x軸方向和y軸方向的分運(yùn)動(dòng).通過(guò)分析分運(yùn)動(dòng)方向的受力、加速度和初速度,運(yùn)用所學(xué)相關(guān)知識(shí)可求得相關(guān)物理量.

研究物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)是高中物理的重點(diǎn)內(nèi)容,運(yùn)動(dòng)常用位移、速度、加速度等物理量來(lái)描述.在處理復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)時(shí),常常利用運(yùn)動(dòng)的合成與分解思想將復(fù)雜運(yùn)動(dòng)分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單的分運(yùn)動(dòng),通過(guò)研究分運(yùn)動(dòng)的特征間接研究復(fù)雜運(yùn)動(dòng).

(完)