用角平分線定理找有界磁場軌跡圓圓心

楊天才

(重慶市高新區(qū)教師進修學院)

1 問題的提出

求有界磁場的最小范圍問題,對學生的平面幾何知識與物理知識的綜合運用能力要求較高.其難點在于帶電粒子進入有界磁場后一般只運動一段圓弧后就飛出磁場邊界,其運動過程中的臨界點(如運動形式的轉(zhuǎn)折點、軌跡的切點、磁場的邊界點等)難以確定,如何確定軌跡圓弧的圓心就成了解題關(guān)鍵.筆者發(fā)現(xiàn)借助角平分線定理(角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等),通過尺規(guī)作圖可輕松確定圓心的位置,使問題得以簡化.該方法的應用依據(jù)是已知初、末速度所在的直線,則所有軌跡圓的圓心均在初、末速度所在的直線延長線(或反向延長線)相交所成夾角的角平分線上.如果還知道下列某一條件,圓心就能進一步確定了:1)軌道半徑大小;2)入射點;3)出射點.如表1所示.

表1

2 實例分析

2.1 已知軌道半徑

例1如圖1所示,在傾角為30°的斜面OA的左側(cè)有一豎直擋板,其上有一小孔P,OP＝0.5m.現(xiàn)有一質(zhì)量m＝4×10－20kg,帶電荷量q＝＋2×10－14C 的粒子,從小孔以速度v0＝3×104m·s－1水平射向磁感應強度B＝0.2 T、方向垂直紙面向外的一圓形磁場區(qū)域,且在飛出磁場區(qū)域后能垂直打在OA面上,粒子重力不計.

圖1

(1)求粒子在磁場中圓周運動的半徑;

(2)求粒子在磁場中運動的時間;

(3)求圓形磁場區(qū)域的最小面積;

(4)若磁場區(qū)域為正三角形且磁場方向垂直紙面向里,粒子運動過程中始終不碰到豎直擋板,其他條件不變,求此正三角形磁場區(qū)域的最小面積;

(5)若磁場區(qū)域為矩形且磁場方向垂直紙面向里,粒子運動過程中始終不碰到豎直擋板,其他條件不變,求此矩形磁場區(qū)域的最小面積.

解析

(2)已知入射方向垂直擋板,出射方向垂直斜面,將入射方向延長,出射方向反向延長,二者相交成一角度,角平分線上到兩速度所在直線距離等于半徑的點即為圓心,畫出粒子運動的某個軌跡如圖2所示,由幾何知識得軌跡對應的圓心角θ＝60°,又T＝,則粒子在磁場中運動的時間

圖2

(3)顯然,當粒子的軌跡圓直徑正好是PQ時,圓形磁場區(qū)域的半徑最小,根據(jù)幾何知識知PQ＝r,由數(shù)學知識可得圓形磁場區(qū)域的最小半徑R＝＝0.15m,最小面積S1＝πR2＝2.25×10－2·πm2.

(4)已知入射方向垂直擋板,出射方向與擋板相切,所以圓心O1在過P點與水平方向成45°角的射線上,在射線上取到擋板距離等于半徑的點為O1(圓心),畫出粒子的運動軌跡如圖3所示,由數(shù)學知識可得三角形的邊長L＝,得

圖3

(5)與上一問類似,畫出粒子的運動軌跡如圖4 所示,矩形的長x＝2r＝0.6 m,寬y＝r＋rcos30°＝,所以面積

圖4

點評

這道題中粒子運動軌跡和磁場邊界臨界點的確定比較困難,必須將入射速度方向與從OA邊射出速度的反向延長線相交,根據(jù)運動半徑已知的特點,在夾角平分線上找圓心,畫運動軌跡.另外,在計算最小邊長時一定要注意圓周運動的軌跡并不是三角形磁場的內(nèi)切圓.

2.2 已知入射點

例2一質(zhì)量為m、帶電量為＋q的粒子以速度v0從O點沿y軸正方向射入磁感應強度為B的一圓形勻強磁場區(qū)域,磁場方向垂直于紙面,粒子飛出磁場區(qū)后,從b處穿過x軸,速度方向與x軸正向夾角為30°,如圖5 所示(粒子重力不計).

圖5

(1)求圓形磁場區(qū)的最小面積;

(2)求粒子從O點進入磁場區(qū)到達b點所經(jīng)歷的時間;

(3)求b點的坐標;

(4)若磁場區(qū)域為矩形且磁場方向垂直紙面向外,其他條件不變,求此矩形磁場區(qū)域的最小面積;

(5)若磁場區(qū)域為正三角形且磁場方向垂直紙面向外,其他條件不變,求此正三角形磁場區(qū)域的最小面積.

解析

(1)由題可知,粒子不可能直接由O點經(jīng)半個圓周偏轉(zhuǎn)到b點,其必在圓周運動不到半圈時離開磁場區(qū)域后沿直線運動到b點.可知,其離開磁場時的臨界點與O點都在圓周上,到圓心的距離必相等.如圖6所示,過b點逆著速度v0的方向作虛線,與y軸相交,由于粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的半徑一定,且圓心位于x軸上,作夾角的平分線與x軸交于O1,O1點即為圓周運動的圓心,則圓的半徑R＝OO1＝O1a.由qv0B＝,得R＝.弦長Oa為l＝,要使圓形磁場區(qū)域面積最小,半徑應為l的一半,如圖6所示,即,面積

圖6

圖7

(4)若為矩形磁場,要使矩形磁場區(qū)域面積最小,則軌跡圓半徑的一半剛好為矩形磁場的寬,弦長Oa剛好為矩形磁場的長,那么其面積為

(5)若為正三角形磁場,要使磁場區(qū)域面積最小,則軌跡直徑應為正三角形磁場的邊長,那么其面積為

點評

此題關(guān)鍵是找到圓心和粒子射入、射出磁場邊界的臨界點,注意圓心必在兩臨界點速度垂線的交點上且圓心到這兩臨界點的距離相等;還要明確所求最小圓形磁場的直徑等于粒子運動軌跡的弦長,最小矩形磁場的長邊等于粒子運動軌跡的弦長,最小正三角形磁場的邊長等于粒子運動軌跡的弦長.

2.3 已知出射點

例3如圖8 所示,直角坐標系xOy第一象限的區(qū)域存在沿y軸正方向的勻強電場.現(xiàn)有一質(zhì)量為m,電荷量為e的電子從第一象限的某點P(L,),以初速度v0沿x軸的負方向開始運動,經(jīng)過x軸上的點進入第四象限,先做勻速直線運動,然后進入垂直紙面的矩形勻強磁場區(qū)域,磁場左邊界和上邊界分別與y軸、x軸重合,電子偏轉(zhuǎn)后恰好經(jīng)過坐標原點O,并沿y軸的正方向運動,不計電子的重力.

圖8

(1)求電子經(jīng)過Q點的速度v;

(2)求該勻強磁場的磁感應強度B和磁場的最小面積S;

(3)若磁場區(qū)域為圓形,其他條件不變,求此圓形磁場區(qū)域的最小面積;

(4)若磁場區(qū)域為正三角形,其他條件不變,求此正三角形磁場區(qū)域的最小面積.

(2)如圖9所示,電子以與x軸負方向成30°角進入第四象限后先沿QM做勻速直線運動,然后進入勻強磁場區(qū)域做勻速圓周運動.恰好以沿y軸向上的速度經(jīng)過O點.過Q點延長速度所在的直線,與y軸負半軸相交,夾角的角平分線與x軸相交于O′點,以O′為圓心作半圓與過Q點的速度延長線相切于M點(M點即為磁場的邊界點),弧MNO即為粒子在矩形磁場中運動的軌跡,所以磁場的右邊界和下邊界就確定了.顯然O′點到O點的距離與到直線QM上M點的垂直距離相等且為軌跡圓的半徑,設偏轉(zhuǎn)半徑為,由圖9可知＝3R,解得B＝,方向垂直紙面向里.矩形磁場的長度LOC＝,寬度,矩形磁場的最小面積

圖9

(4)同理,若為正三角形磁場,則正三角形磁場區(qū)域面積最小時邊長為弦長OM,其面積為

小結(jié)解決帶電粒子在磁場中運動的問題,一般有兩條思路:一是平面幾何法,即先根據(jù)平面幾何知識,利用尺規(guī)作圖畫出粒子的運動軌跡,其他問題自然迎刃而解.對于如何畫出粒子的運動軌跡,本文探討了如果已知入射方向和出射方向所在的直線,可先將兩直線延長(或反向延長)相交,確定圓心在其夾角的平分線上,再根據(jù)其他條件畫圓的方法.二是解析幾何法,如果不能確定粒子的具體運動軌跡,可以先假設軌跡圓的存在,然后利用代數(shù)的方法,逐步推證軌跡圓滿足的規(guī)律直至求解.

(完)