數(shù)學(xué)知識(shí)在高中物理中的應(yīng)用

于彩娟 卞偉

(山東省榮成市第二中學(xué))

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題是高考命題的永恒主題,無(wú)論選擇題還是計(jì)算題都會(huì)涉及用數(shù)學(xué)知識(shí)求解物理問(wèn)題,以考查學(xué)生的分析、歸納和推理能力.學(xué)生要在高考的物理考試中取勝,就要熟練掌握高中物理中常用的數(shù)學(xué)知識(shí),掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).筆者通過(guò)多年高三的物理教學(xué)積累,發(fā)現(xiàn)最常用的數(shù)學(xué)知識(shí)主要有以下幾方面.

1 應(yīng)用三角函數(shù)知識(shí)解決物理問(wèn)題

1.1 應(yīng)用二倍角公式解決物理問(wèn)題

【知識(shí)關(guān)聯(lián)】sin2θ＝2sinθcosθ.

例1為了使雨滴能盡快地淌離房頂,要設(shè)計(jì)好房頂?shù)母叨?設(shè)雨滴沿房頂下淌時(shí)做無(wú)初速度無(wú)摩擦的運(yùn)動(dòng),那么下圖所示的四種情況中符合要求的是().

當(dāng)θ＝45°時(shí),sin2θ＝1為最大值,此時(shí)t最短,所以正確選項(xiàng)為C.

【關(guān)鍵點(diǎn)分析】θ較大時(shí),sinθ較大,而cosθ較小,二者乘積何時(shí)最大,不好確定,但應(yīng)用二倍角公式可以將兩個(gè)變化關(guān)系相反的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成一個(gè)三角函數(shù),問(wèn)題自然就解決了.

1.2 應(yīng)用正弦定理解決物理問(wèn)題

【知識(shí)關(guān)聯(lián)】正弦定理公式

例2如圖1所示,兩個(gè)質(zhì)量分別為的小圓環(huán)A、B用不可伸長(zhǎng)的細(xì)線連著,套在一個(gè)豎直固定的大圓環(huán)上,大圓環(huán)的圓心為O.系統(tǒng)平衡時(shí),細(xì)線所對(duì)的圓心角為90°,摩擦力及細(xì)線的質(zhì)量忽略不計(jì),重力加速度大小用g表示,求細(xì)線的拉力大小.

圖1

圖2

【關(guān)鍵點(diǎn)分析】三力平衡問(wèn)題,若用正交分解找力的關(guān)系,將力沿水平方向和豎直方向分解,拉力與豎直方向的夾角為75°,不是特殊角,求解起來(lái)非常麻煩,而將力合成后,在力的三角形中知道角和對(duì)面邊長(zhǎng)的關(guān)系,可用正弦定理求解,避免了求解非特殊角三角函數(shù)值這個(gè)問(wèn)題.

1.3 應(yīng)用兩角和差正余弦公式解決物理問(wèn)題

【知識(shí)關(guān)聯(lián)】?jī)山呛筒钫嘞夜?/p>

例3如圖3所示,一質(zhì)量m＝0.4kg的小物塊,在與斜面成某一夾角的拉力F的作用下,沿斜面向上做加速度大小為3m·s－2的勻加速運(yùn)動(dòng),已知斜面傾角θ＝30°,物塊與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝,重力加速度g取10m·s－2,則拉力F與斜面夾角多大時(shí),拉力F最小? 拉力F的最小值是多少?

圖3

圖4

2 應(yīng)用二次函數(shù)知識(shí)解決物理問(wèn)題

例4如圖5所示,半圓形光滑軌道固定在水平地面上,半圓的直徑與地面垂直.一小物塊以速度v從軌道下端滑入軌道,并從軌道上端水平飛出,水平位移最大時(shí)對(duì)應(yīng)的軌道半徑為(重力加速度大小為g)().

圖5

【關(guān)鍵點(diǎn)分析】部分學(xué)生想當(dāng)然認(rèn)為v1最大時(shí),平拋的水平位移就最大,沒(méi)注意到v1越大對(duì)應(yīng)的半徑r越小,平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間就越短,無(wú)法確定水平位移x何時(shí)有最大值,在這種情況下,借助數(shù)學(xué)工具來(lái)幫忙則可有效解題.本題用到了數(shù)學(xué)的二次函數(shù)知識(shí),即當(dāng)x＝－時(shí),y有最大值.

3 應(yīng)用數(shù)學(xué)均值不等式知識(shí)解決物理問(wèn)題

【知識(shí)關(guān)聯(lián)】如果a,b為正數(shù),有a＋b≥2ab,當(dāng)a＝b時(shí),上式取“＝”號(hào),則有:1)若兩個(gè)正數(shù)的積一定,兩數(shù)相等時(shí),其和最小;2)若兩個(gè)正數(shù)的和一定時(shí),兩數(shù)相等,其積最大.

例5在如圖6所示的電路中,閉合開(kāi)關(guān)S,在滑動(dòng)變阻器的滑片P由a向b移動(dòng)的過(guò)程中,電壓表示數(shù)怎樣變化?

圖6

解析

數(shù)學(xué)知識(shí)在高中物理中有著舉足輕重的作用,能突破應(yīng)用常規(guī)物理方法難以解決的問(wèn)題,同時(shí),也將數(shù)學(xué)中的抽象思維和邏輯思維應(yīng)用到了物理中,極大提高了學(xué)生的科學(xué)思維,培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,端正了學(xué)生的科學(xué)態(tài)度.

(完)