利用鄰接結構熵確定超網(wǎng)絡關鍵節(jié)點

周麗娜，常 笑，胡 楓

1.青海師范大學 計算機學院，西寧 810008

2.青海省藏文信息處理與機器翻譯重點實驗室，西寧 810008

3.藏語智能信息處理及應用國家重點實驗室，西寧 810008

隨著網(wǎng)絡科學的蓬勃發(fā)展，人們對復雜系統(tǒng)及復雜網(wǎng)絡有了更深入的了解，現(xiàn)實世界中大多數(shù)系統(tǒng)都可以抽象為復雜網(wǎng)絡。而人們對復雜網(wǎng)絡的研究已經(jīng)從宏觀層面轉變?yōu)槲⒂^層面（節(jié)點、鏈路）去解釋不同網(wǎng)絡所具有的不同特征[1]。節(jié)點作為網(wǎng)絡中最小的單元，在不同的現(xiàn)實網(wǎng)絡中起著不同的作用。有效且高效地識別與大規(guī)模網(wǎng)絡的特定動態(tài)相關的關鍵節(jié)點將使人們能夠更好地控制流行病的爆發(fā)、抑制疾病擴散[2]、精準投放商品廣告[3]、預測熱門研究成果、發(fā)現(xiàn)重要致病基因[4]、尋找恐怖分子頭目等等。因此，識別網(wǎng)絡中的重要節(jié)點至關重要。

隨著信息化時代的到來，網(wǎng)絡規(guī)模不斷擴大，網(wǎng)絡結構變得復雜多樣，基于普通圖的復雜網(wǎng)絡[1，5-6]已經(jīng)不能很好地描述真實網(wǎng)絡以及復雜系統(tǒng)的各種特性，因此多數(shù)學者將視角轉向了基于超圖的超網(wǎng)絡[7-9]。目前，超網(wǎng)絡的研究大都基于超網(wǎng)絡模型的構建及現(xiàn)實世界的超網(wǎng)絡特性研究。Wang等[10]構建了一種超網(wǎng)絡動態(tài)演化模型，該模型每次增加若干個新節(jié)點，并與原網(wǎng)絡中已存在的一個舊節(jié)點優(yōu)先連接生成新的超邊。胡楓等[11]給出了另一種超網(wǎng)絡演化模型，該模型的增長機理與文獻[10]模型相對偶，并將BA網(wǎng)絡視為該模型的特例。Suo等研究了超網(wǎng)絡中信息動態(tài)傳播問題[12]，并且根據(jù)超網(wǎng)絡的演化模型分析了供應鏈網(wǎng)絡的演化機制[13]。郭進利研究了非均勻超網(wǎng)絡中標度率涌現(xiàn)問題[14]。盧文等[15]構建了節(jié)點超度分布具有雙峰特性，層間采用隨機方式連接，層內采用三種不同類型的雙層超網(wǎng)絡模型。劉勝久等[16]結合超網(wǎng)絡維數(shù)與網(wǎng)絡能量，提出了超網(wǎng)絡能量，論證了超網(wǎng)絡的超網(wǎng)絡能量與圖的網(wǎng)絡能量之間的內在關聯(lián)，并分析了超網(wǎng)絡能量的若干性質。馬濤等[17]構建了基于加權超圖的產(chǎn)學研合作申請專利超網(wǎng)絡模型，并分析其拓撲結構。陸睿敏等[18]基于超網(wǎng)絡理論構建了上海公交超網(wǎng)絡模型，分析了該模型的魯棒性，從而對城市交通規(guī)劃與設施管理具有指導意義。而在超網(wǎng)絡拓撲結構方面的研究則相對較少，利用超網(wǎng)絡拓撲結構指標計算超網(wǎng)絡關鍵節(jié)點的研究則更少。Estrada等[8]擴展了復雜網(wǎng)絡中子圖中心性和聚類系數(shù)的定義到超網(wǎng)絡上，并用這兩種指標識別出了三類現(xiàn)實超網(wǎng)絡中的核心節(jié)點。胡楓等[19]利用復合參數(shù)的方法識別出了蛋白復合物超網(wǎng)絡中的關鍵蛋白。王雨等[20]從超網(wǎng)絡角度出發(fā)研究了科研合作中的作者的重要性問題，并提出了重要度指標D′，能夠較好地識別出科研合作超網(wǎng)絡中的關鍵節(jié)點。單而芳等[21]討論了超網(wǎng)絡中心性測度的一類方法——廣義Position值方法。孫琳等[22]基于超網(wǎng)絡理論對上海交通軌道網(wǎng)絡進行識別關鍵節(jié)點的實證研究。

近年來，信息熵[23]廣泛應用于復雜系統(tǒng)與復雜性理論，F(xiàn)ei等[24]將信息熵應用到復雜系統(tǒng)的關鍵節(jié)點識別中，并取得了良好的效果。黃麗亞等[25]依據(jù)網(wǎng)絡節(jié)點在K步內可達的節(jié)點總數(shù)定義了K-階結構熵，并從三個方面評價網(wǎng)絡的異構性。胡鋼等[26]通過計算網(wǎng)絡各節(jié)點的鄰接度得到節(jié)點信息熵，利用節(jié)點信息熵的大小表征節(jié)點在網(wǎng)絡中的重要性。李懂等[27]融合了度與k核迭代次數(shù)并利用熵權法計算度和k核迭代次數(shù)的權重，從而識別節(jié)點的重要性。王倩等[28]將軟件動態(tài)執(zhí)行過程抽象為有向復雜網(wǎng)絡結構模型，并結合結構熵提出了軟件動態(tài)執(zhí)行關鍵節(jié)點挖掘算法。迄今為止，針對鄰居結構熵的研究都是基于普通圖的復雜網(wǎng)絡上的應用研究，而缺乏基于超圖的超網(wǎng)絡上的定義及應用研究。網(wǎng)絡的拓撲結構決定網(wǎng)絡的功能和性質，復雜網(wǎng)絡的拓撲結構為普通圖，即一條邊連接兩個節(jié)點，而超網(wǎng)絡的拓撲結構為超圖，超圖中的超邊可連接任意多個節(jié)點，更切合現(xiàn)實網(wǎng)絡的復雜、多元、群聚特性。因此，為刻畫真實數(shù)據(jù)集的多元群組關系，以綜合視角研究復雜的現(xiàn)實系統(tǒng)，學者們將研究重點逐漸從復雜網(wǎng)絡轉向超網(wǎng)絡。超網(wǎng)絡分為基于網(wǎng)絡的網(wǎng)絡（supernetwork）和基于超圖的網(wǎng)絡（hypernetwork）。Estrada等最先在文獻[8]提出拓撲結構為超圖的網(wǎng)絡稱為超網(wǎng)絡（hypernetwork）。超圖是普通圖的擴展，普通圖中的“邊”只能連接兩個節(jié)點，而超圖中的“超邊”可連接任意多個節(jié)點。節(jié)點連接的超邊數(shù)量稱為節(jié)點的超度。基于超圖的超網(wǎng)絡，由于結構簡單、表示多元關系清晰明了，更適合刻畫現(xiàn)實世界的綜合、群組、多元結構，這種獨特優(yōu)勢使其獲得越來越多的重視。因此，本文在基于超圖的超網(wǎng)絡上，分析超網(wǎng)絡中節(jié)點的重要性的識別方法。網(wǎng)絡中的節(jié)點相互影響，只考慮度或超度值，會損失直接或間接鄰居對節(jié)點的影響；考慮全局節(jié)點會增加算法的復雜度，且效果不一定很好，因為，節(jié)點的重要性不僅與自身的影響力有關，還與鄰接節(jié)點的重要性密切相關。如在以作者為節(jié)點，合作發(fā)表的論文為超邊構造的科研合作超網(wǎng)絡中，一個人的重要性與個人所發(fā)表的論文數(shù)量（即節(jié)點的超度值）有關，還與合作者的影響力（即鄰居節(jié)點的超度）有關，通常情形下，作為合作者的導師的影響力往往會波及個人；一個網(wǎng)頁的重要性與指向它的權威網(wǎng)頁存在重大關系等。

基于以上考慮，本文提出用鄰接結構熵識別超網(wǎng)絡中的關鍵節(jié)點，通過研究節(jié)點及其直接與間接節(jié)點間的關系，利用節(jié)點信息熵刻畫不同節(jié)點在超網(wǎng)絡中的重要性。其優(yōu)勢在于不僅考慮了節(jié)點自身的性質，也融合了鄰居節(jié)點的影響力，且由于該算法只利用節(jié)點的局部屬性，故其復雜度較低。為了驗證此算法的適用性及正確性，本文收集了《物理學報》2012—2020年間發(fā)表的論文及作者信息，構建了一個作者為節(jié)點，合作發(fā)表的論文為超邊的科研合作超網(wǎng)絡。實證分析結果表明，本文提出的基于鄰居結構熵識別關鍵節(jié)點的算法可以精準地識別超網(wǎng)絡中的重要節(jié)點。

1 相關知識

1.1 超網(wǎng)絡相關概念

超圖概念最早是Berge[29]提出的，設V={v1,v2,…,vn}是一個有限集。若ei≠φ(i=1,2,…,m)，且則稱二元關系H=(V,E)為超圖。其中V的元素稱為超圖的節(jié)點或頂點，E={e1,e2,…,em}是超圖的邊集合，集合E的元素ei稱為超圖的超邊。超圖H=(V,E)的鄰接矩陣A(H)是一個N×N的對稱方陣，其元素aij為同時包含頂點vi和vj的超邊數(shù)量，對角線元素為0。關聯(lián)矩陣B(H)是一個N×M的矩陣，如果頂點vi包含在超邊ej中，則bij=1，否則為0。超網(wǎng)絡中節(jié)點度等同于普通圖中度的定義，即節(jié)點的連邊數(shù)，即，簡記為ki。節(jié)點超度是包含該節(jié)點vi的超邊數(shù)屬于同一條超邊中的節(jié)點為超圖量，即中的鄰接節(jié)點。Estrada等[8]提出了超網(wǎng)絡中子圖中心性的計算公式，即其中，λj是超網(wǎng)絡H中鄰接矩陣A的特征值，U=(uij)N×N是一個正交矩陣，且每一列都是特征值λj對應的特征向量。

1.2 信息熵

信息熵于1948年由Shannon提出，信息熵的優(yōu)點是能夠從系統(tǒng)樣本點的不確定性出發(fā)，利用概率與統(tǒng)計方法，表征樣本空間所體現(xiàn)的系統(tǒng)無序化程度，該方法能夠很好地衡量網(wǎng)絡節(jié)點的重要性。

1.3 網(wǎng)絡結構熵

熵是系統(tǒng)的一種無序度量，用來描述一個系統(tǒng)內所有元素的狀態(tài)總和。網(wǎng)絡熵主要從網(wǎng)絡結構和網(wǎng)絡信息收容能力（即網(wǎng)絡能夠收取容納信息規(guī)模的能力）來定義。吳俊等[30]利用網(wǎng)絡節(jié)點的度與所有節(jié)點度值總和的比值來度量節(jié)點的差異性，提出了基于網(wǎng)絡節(jié)點度來定義網(wǎng)絡節(jié)點的重要性程度，最后通過網(wǎng)絡節(jié)點的重要性程度定義網(wǎng)絡結構熵。

定義1假設網(wǎng)絡中節(jié)點vi的度為ki，則其重要度可以定義為[30]：

對于ki=0的節(jié)點不作考慮。定義網(wǎng)絡結構熵[30]：

1.4 鄰接信息熵

定義2（節(jié)點鄰居概率函數(shù)）為了描述不同節(jié)點的鄰居節(jié)點對節(jié)點的影響力大小，節(jié)點鄰居概率函數(shù)定義如下：

其中，ki為節(jié)點vi的度值，Qi為節(jié)點vi的鄰接度，通過以上改進，在復雜網(wǎng)絡中，重要節(jié)點的識別計算公式如下：

其中，pi為節(jié)點vi的概率函數(shù)，pj為節(jié)點vj的概率函數(shù)，Γi為節(jié)點vi鄰居節(jié)點的集合，Γj為節(jié)點vj鄰居節(jié)點的集合。

2 鄰接結構熵

超網(wǎng)絡中節(jié)點超度只能反映節(jié)點被包含的超邊的數(shù)量，不能很好地反映節(jié)點與其他間接鄰居節(jié)點的連接情況，為此，本文引入節(jié)點鄰接超度的定義，在此基礎上給出超網(wǎng)絡中的鄰接結構熵概念，通過鄰接結構熵值識別超網(wǎng)絡中的關鍵節(jié)點。

定義3（鄰接超度）為了更準確地反映超網(wǎng)絡中鄰居節(jié)點對該節(jié)點的影響，通過鄰接節(jié)點的重要性確定目標節(jié)點的地位。目標節(jié)點的鄰接超度定義如下：

其中，d H(j)為節(jié)點i的超度值，R(i)為節(jié)點i的鄰接節(jié)點集合。

定義4（重要度函數(shù)）為了描述超網(wǎng)絡中不同節(jié)點在其鄰居節(jié)點中被選中的可能性大小，定義超網(wǎng)絡中節(jié)點的重要度函數(shù)：

其中，DH(i)為超網(wǎng)絡中節(jié)點i的鄰接超度。

定義5（鄰接結構熵）結合鄰接超度與網(wǎng)絡結構熵定義，將超網(wǎng)絡中計算單個節(jié)點vi的鄰接結構熵定義如下：

其中，PH(i)表示超網(wǎng)絡中節(jié)點的重要度函數(shù)。

根據(jù)以上定義可知，超網(wǎng)絡中的鄰接結構熵不僅與節(jié)點的超度有關，還與鄰接節(jié)點的超度有關。若節(jié)點包含在多條超邊（即多個團隊或族內）中，其重要性不僅跟自身有關，也與其鄰接節(jié)點（即團隊成員）的重要性有關。利用鄰接結構熵值的大小，表示節(jié)點在超網(wǎng)絡中的重要性。鄰接結構熵值越大，節(jié)點越重要，表明該節(jié)點隱含的信息的價值越高。

本文實例為Estrada等在文獻[8]中的競爭復雜網(wǎng)絡與超網(wǎng)絡對比圖驗證本文算法的正確性。在競爭網(wǎng)中，節(jié)點表示物種而鏈表示物種之間的營養(yǎng)關系。如圖1所示的競爭網(wǎng)絡及對應的競爭超網(wǎng)絡圖[8]。在競爭網(wǎng)中，當且僅當聯(lián)系的物種在食物網(wǎng)中有共同的獵物時，兩點直接連邊。在競爭圖中，僅僅知道兩個聯(lián)系的物種之間有共同的獵物，但并不知道為共同獵物競爭的整個物種群的構成情況。在競爭超網(wǎng)絡中，節(jié)點為物種，競爭同一獵物的物種在同一條超邊中，節(jié)點所競爭的獵物與鄰居節(jié)點競爭的獵物一目了然。該競爭超網(wǎng)絡由8個節(jié)點和3條超邊組成，即8個物種競爭3種獵物，競爭關系明確清晰。節(jié)點的重要性也易識別。表1為此超網(wǎng)絡超度、子圖中心性及本文算法提出的鄰接結構熵的排序結果。

圖1 競爭網(wǎng)絡與競爭超網(wǎng)絡Fig.1 Competitive network and competitive hypernetwork

表1 競爭超網(wǎng)絡各指標Table 1 Index of competitive hypernetwork

由表1知，超度不能很好地區(qū)分各節(jié)點的重要性，根據(jù)鄰接信息熵、子圖中心性及鄰接結構熵知，節(jié)點10是此競爭超網(wǎng)絡的重要節(jié)點。其子圖中心性和鄰接結構熵的值均遠遠大于節(jié)點2。節(jié)點10代表的物種發(fā)生在競爭數(shù)量最多的群體E1和E3中，分別有5個和4個競爭者，又因為它在子結構中參與同時涉及競爭群和外部群的物種，這使得此物種難以生存。排名第二的關鍵節(jié)點是節(jié)點2，它參與E1和E2組；接下來是節(jié)點4和5，它們參加E2和E3群體的競爭。

基于鄰接結構熵計算節(jié)點重要度的算法如下：

步驟1對于超網(wǎng)絡H=(V,E)，根據(jù)其鄰接矩陣A(H)計算給定超網(wǎng)絡H中節(jié)點i的超度d H(i)及鄰接超度

步驟2按照重要度函數(shù)式計算概率函數(shù)PH(i)。

步驟3根據(jù)式，計算節(jié)點i的鄰接結構熵；重復步驟2至3，直到計算出所有節(jié)點的鄰接結構熵。

步驟4根據(jù)各節(jié)點的鄰接結構熵大小對節(jié)點進行排序。

超網(wǎng)絡H中，節(jié)點個數(shù)為V，超邊數(shù)量為E，文獻[8]提出的超網(wǎng)絡中子圖中心性的時間復雜度為O(V2)。復雜網(wǎng)絡中，文獻[30]利用節(jié)點的度計算網(wǎng)絡結構熵的時間復雜度為O(V)，文獻[28]利用節(jié)點及節(jié)點的鄰居節(jié)點的度計算鄰接信息熵的時間復雜度為O(V2)。本文算法利用公式（4）、公式（5）計算超網(wǎng)絡中每個節(jié)點的鄰接結構熵，算法時間復雜度為O(V)。本文算法相比其他算法，時間復雜度更優(yōu)。

3 實驗結果與分析

3.1 復雜網(wǎng)絡與超網(wǎng)絡比較

為了比較鄰接結構熵在復雜網(wǎng)絡和超網(wǎng)絡中的異同性，本文在Estrada文獻[8]的競爭網(wǎng)絡和競爭超網(wǎng)絡中進行鄰接結構熵的重要度比對，并與網(wǎng)絡結構熵和鄰接信息熵進行比較。結果如圖2所示。

圖2 復雜網(wǎng)絡和超網(wǎng)絡的熵值Fig.2 Entropy of complex networks and hypernetwork

從圖2可知，由復雜網(wǎng)絡的網(wǎng)絡結構熵識別出節(jié)點10為重要節(jié)點，與超網(wǎng)絡的鄰接結構熵識別出的關鍵節(jié)點相同。但是，由于復雜網(wǎng)絡中各節(jié)點的度值大致相同，導致根據(jù)網(wǎng)絡結構熵與鄰接信息熵得到的節(jié)點的粗粒化程度較高，難以區(qū)分度值相同的節(jié)點的重要性。而超網(wǎng)絡中也存在某些節(jié)點超度值相同的情況，但超網(wǎng)絡的鄰接結構熵則能夠較好地區(qū)分出各節(jié)點的重要性。

3.2 數(shù)據(jù)來源

為了進一步驗證該算法的正確性，本文以《物理學報》為例，選取發(fā)表時間為2012年1月1日—2020年9月10日的文獻記錄。其中涵蓋了16 158位不同的作者撰寫的5 338篇論文，基于此數(shù)據(jù)集構建科研合作超網(wǎng)絡模型，該模型包含16 158個作者節(jié)點和5 338篇論文超邊。其中獨立發(fā)文的作者有138人，僅占2.5%，故大部分論文由多位作者共同合作完成，且絕大多數(shù)論文由3～6個作者合作完成。

3.3 實驗結果分析

將本文算法應用到上述超網(wǎng)絡中，得到各個作者的鄰接結構熵如圖3（a）所示，圖3（b）為各作者的超度值，即作者發(fā)表論文的數(shù)量。橫軸表示節(jié)點編號；縱軸分別表示節(jié)點的鄰接結構熵和節(jié)點超度值。由圖3可以看出，大部分節(jié)點的鄰接結構熵和超度值均處于區(qū)間[1，5]。由此可知，大部分作者在其領域內的影響力較低，并且大部分作者僅發(fā)表了1～5篇論文。

圖3 所有節(jié)點的鄰接結構熵及超度值Fig.3 Adjacent structure entropy and hyper-degree value of all nodes

由圖3知，各節(jié)點所處的位置相對分散，層次分明，顏色越深的地方，節(jié)點分布越密集。從圖3（a）可知，節(jié)點9941的鄰接結構熵值遠遠高于其他節(jié)點，此節(jié)點為超網(wǎng)絡的關鍵節(jié)點。從圖3（b）可以看出，節(jié)點所處位置分布規(guī)律，且均勻地分布在超度值為1～5的位置，然而超度值相同的節(jié)點較多，這類節(jié)點重要性相同，故超度的粗粒度高于鄰接結構熵。因此，鄰接結構熵能夠有效地識別出超網(wǎng)絡中的關鍵節(jié)點。通過對這16 158位作者的鄰接結構熵進行排序，得到排名結果前20的作者及其相應指標，結果見表2。由表2知，節(jié)點9941的鄰接結構熵最為突出，為31.83，屬于重要作者，是該科研合作超網(wǎng)絡的關鍵節(jié)點。通過對節(jié)點的超度進行排序，得到超度值最大的節(jié)點為節(jié)點4057，其超度值為22；但其節(jié)點度為77，表明與節(jié)點4057合作的作者的超度值均較大，因此，他的鄰接超度值較大。通過分析作者自身發(fā)文量占與他合作的作者的發(fā)文量的比例，得出此比例小于節(jié)點9941，故其鄰接結構熵小于節(jié)點9941的鄰接結構熵。因此，節(jié)點4057再次參與合作論文的可能性相對較小。而節(jié)點9941的合作作者人數(shù)為102，相比較于節(jié)點4057較多，但其鄰接超度較小，故再次邀請節(jié)點9941參與合作論文的可能性較大。節(jié)點9941發(fā)表的論文中署名為第一作者的論文偏多，而節(jié)點4057的署名均位于末尾，因此，節(jié)點9941共同合作發(fā)表論文的次數(shù)比節(jié)點4057的可能性大，節(jié)點9941更有合作潛力。

表2 鄰接結構熵排名前20的作者及相應指標Table 2 Top 20 authors of adjacency structure entropy and their corresponding indicators

排名第二的關鍵節(jié)點是節(jié)點10350，其鄰接結構熵為26.48，超度值排名第8，該節(jié)點的鄰居節(jié)點個數(shù)為81，位于第14位。其中，該作者節(jié)點的大多數(shù)論文由3～5名作者共同合作完成，此節(jié)點與鄰接結構熵排名第一的節(jié)點9941生成一條超邊。此節(jié)點的鄰居節(jié)點超度值較小，選擇該作者共同合作論文的機率較大，故此節(jié)點的鄰接結構熵排在第二位。進一步，比對超度、鄰接結構熵、節(jié)點度的排名情況，如圖4所示鄰接結構熵排名前20名作者的度、超度。

圖4 作者各指標的排名Fig.4 Ranking of each index

圖4橫軸表示作者，縱軸為三個指標的名次排名。方塊表示鄰接結構熵，圓圈表示超度，三角表示節(jié)點度。在此超網(wǎng)絡中，超度反映作者的發(fā)文量，鄰接結構熵反映該作者再次發(fā)表論文的可能性，也就是作者在其領域內的影響力，作者合作發(fā)表論文的發(fā)展?jié)摿?，而?jié)點度反映作者的合作人數(shù)。根據(jù)節(jié)點度排名，排名第一的節(jié)點5169，其節(jié)點度為118，但其超度值僅僅為9，其鄰接結構熵值排在第5位。該作者發(fā)表的論文中有一篇論文《中國散裂中子源反角白光中子束流參數(shù)的初步測量》與86位作者共同合作完成，導致該作者的節(jié)點度最大，因此，僅利用節(jié)點度衡量網(wǎng)絡節(jié)點的重要性并不準確。

此數(shù)據(jù)集收集了2012—2020年間各個領域、各個方向的論文及作者，故識別的關鍵作者共同發(fā)表論文、形成良好的交流環(huán)境并形成對應領域內團體的可能性很小，但識別出的重要作者均為各領域內具有較大影響力的關鍵人物。例如，鄰接結構熵排名前三位作者的研究領域如下，節(jié)點9941的H指數(shù)為46，研究領域是攝影測量與遙感；節(jié)點10350的H指數(shù)為48，研究領域是環(huán)境工程；節(jié)點4075的H指數(shù)為43，研究領域是光學。

最后，利用準確性評價指標AUC指標，從整體上衡量算法的準確度。對網(wǎng)絡中各節(jié)點的重要性排序，當節(jié)點分配到不同的排序值越多，算法劃分節(jié)點重要性更清晰。即AUC值越大，算法準確性越高。

表3為超度和鄰接結構熵的AUC指標。由表3可知，鄰接結構熵的AUC指標略高于超度的AUC指標，故進一步驗證了鄰接結構熵可以高效、準確地識別超網(wǎng)絡中的關鍵節(jié)點。

表3 AUC指標Table 3 AUC index

4 結語

識別網(wǎng)絡中的關鍵節(jié)點不僅能夠分析網(wǎng)絡的拓撲結構，還能預測節(jié)點的實際影響力。而網(wǎng)絡中節(jié)點的重要性不僅與節(jié)點自身性質有關，也與其鄰居節(jié)點的重要性有關。本文結合鄰接超度與網(wǎng)絡結構熵，提出了基于超網(wǎng)絡的鄰接結構熵，用于識別超網(wǎng)絡中的關鍵節(jié)點。并將此指標應用于競爭超網(wǎng)絡，準確地得到了該超網(wǎng)絡的關鍵節(jié)點。其次，分析比較復雜網(wǎng)絡與超網(wǎng)絡，得到的關鍵節(jié)點均為節(jié)點10。最后，本文從知網(wǎng)收集了《物理學報》2012—2020年間的作者及其發(fā)表的論文，構建了科研合作超網(wǎng)絡，并將超網(wǎng)絡中的鄰接結構熵應用于該數(shù)據(jù)集中，實驗分析證明，該算法能夠準確高效地識別出超網(wǎng)絡中的關鍵節(jié)點。本文為今后預測超網(wǎng)絡中的關鍵節(jié)點、識別有影響力的學者，以及研究超網(wǎng)絡拓撲結構提供了一種行之有效的方法。