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    精解二面角

    2022-04-21 10:33:12王永軍
    科學咨詢 2022年6期
    關(guān)鍵詞:平面角二面角直角坐標

    王永軍

    (重慶市廣益中學校,重慶 400065)

    中學數(shù)學中的二面角是立體幾何的基礎(chǔ)概念。求解二面角的大小在數(shù)學解題中具有基礎(chǔ)的、重要的意義。在傳統(tǒng)的建立空間直角坐標系求解二面角大小的過程中,由于選取的是平面的法向量,而這個法向量方向的選取是隨意的(常常無法“精確”),直接導(dǎo)致精解二面角的大小困難。本文試著從二面角原始的定義出發(fā),探討精解二面角的大小的過程與方法,并給出具體求解一個二面角大小的實例。

    一、二面角與求角

    (一)二面角

    設(shè)平面α和平面β相交于直線l,稱α-l-β為二面角(如圖所示)。它由2個半平面及這2個半平面的公共直線組成。

    在二面角α-l-β中,在直線l上取點O,在平面α內(nèi)作AO⊥l、在平面β內(nèi)作BO⊥l,則AO、BO可以確定平面γ。在平面γ內(nèi),稱∠AOB為二面角α-l-β的平面角,稱∠AOB的大小為二面角α-l-β的大小。易見∠AOB∈(0,π)。

    (二)用向量求角

    即平行(同向平移、同向共線)不改變向量的夾角。

    用向量求角:

    用平面的法向量求角的局限性:

    如下圖所示,在二面角α-l-β中,在直線l上取點O,在半平面α內(nèi)作AO⊥l、在半平面β內(nèi)作BO⊥l,則二面角α-l-β的大小即為∠AOB。

    這個求解是精準的,求解過程是機械的、可以復(fù)制的。最大的方便在于取點的任意性、作垂直的機械性、運算過程的可復(fù)制性。

    在空間向量的坐標運算中,可以完全拋開立體圖形的復(fù)雜線面關(guān)系,將幾何問題代數(shù)化,這也是向量強勁的工具作用的直接應(yīng)用。在立體幾何的二面角大小的求解中,這種通解通法的數(shù)學解題方法應(yīng)大力推廣,它降低了思維層次,化復(fù)雜為簡單。

    二、精解二面角舉例

    下面的例題選自2020年全國普通高校招生統(tǒng)一考試數(shù)學試題,原題求解二面角A-E-A1的正弦值,回避了二面角是銳角,還是鈍角之分別。本題為精確求解二面角,將給出求解此二面角的2種常見思路。

    例 如圖1所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,點E、F分別在棱D1、B1上,且2ED=ED1,BF=2FB1。若AD=1、AB=2、AA1=3,求二面角A-EF-A1的大小。

    圖1

    圖3

    解析:

    由題,以點C1為坐標原點,C1D1、C1B1、C1C所在的直線分別為x、y、z軸建立如圖2所示的空間直角坐標系C-xyz。經(jīng)過簡單計算,才容易得到C1(0,0,0),A1(2,1,0),A(2,1,3),E(2,0,2),F(xiàn)(0,0,1)。

    圖2

    (一)用平面的法向量求解

    (二)用同向向量精確求解

    這里λ1=0,顯然點A2與點E重合,可以全然不管,機械運算即可。

    此即為二面角的大小。

    這里無須再深入探討,結(jié)果是唯一的、確定的。它幾乎沒有復(fù)雜的立體幾何的味道,幾何中巧妙的輔助線、“作—證—求”的推理模式在這里已經(jīng)不需要了。

    用同向向量精確求解二面角,解題過程是可以完全照搬照套的。下面再給出一個補例,可以對照傳統(tǒng)的“作—證—求”綜合理解二面角的求法。

    圖4

    (1)求證:平面QAD⊥平面ABCD;

    (2)求二面角A-QD-B的平面角的余弦值。

    解析:

    (1)本小題的證明主要為后續(xù)的推證、求解提供前置性的準備工作,是基本運算、基礎(chǔ)技能,證明過程非常常規(guī)、簡單。

    事實上,如圖5所示,取AD的中點E。在等腰ΔQAD中,有QE⊥ED;

    圖5

    而ED、EC?平面ABCD,且EDEC=E,故QE⊥平面ABCD;又QE?平面QAD,于是平面QAD⊥平面ABCD。

    (2)現(xiàn)在有了面面垂直作為鋪墊,下面從兩個角度探討二面角A-QD-B的平面角余弦值的求法。

    用向量的方法精解二面角必須先建立恰當?shù)目臻g直角坐標系,寫好點的坐標,可以機械地進行求解。

    (三)用同向向量精確求解

    如圖5所示,取BC的中點F。以點E為坐標原點,以EF、ED、EQ所在的直線分別為x、y、z軸建立如圖5所示的空間直角坐標系E-xyz。由(1),立即可得E(0,0,0),A(0,-1,0),B(2,-1,0),D(0,-1,0),Q(0,-1,0)。

    此即為所求。

    (四)構(gòu)造二面角的平面角

    本小題比較“特殊”,可以用純幾何的方法直接構(gòu)造二面角的平面角來求解。

    如圖6所示,在同一平面內(nèi)作AG⊥QD,交直線QD于點G。易證QD⊥平面AGB(由平面QAD⊥平面ABCD、底面ABCD是正方形,得BA⊥平面QAD,BA⊥QD,從而得證)。于是構(gòu)造出二面角A-QD-B的平面角為∠AGB。

    圖6

    在ΔQAD中,由面積相等可得

    三、結(jié)束語

    數(shù)學中二面角的求解涉及簡單的空間幾何體的作圖、識圖及用圖的能力,借此可以培養(yǎng)良好的空間想象能力、數(shù)學運算能力。本文對二面角的大小的精確求解,過程與方法具有一般性,屬于通解通法的數(shù)學運用,完全可以復(fù)制、模擬操作,具有較強的工具性與指導(dǎo)性,教學中可以大力加強這方面的引導(dǎo)。突出空間向量的代數(shù)運用、橋梁作用,降低思維難度,為學生減負、為“考試”加分、為生活添彩。

    數(shù)學運算中小小的簡化運算切不可忽視,本文“等價~”變換、非零同向向量對夾角運算的代換等,都有深刻的數(shù)學解讀。不但簡化了數(shù)學運算過程,化難為易,也給數(shù)學解題帶來了樂趣。

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