反思題目通法 突出變換引領(lǐng)
——2021年南通市中考試題第25題賞析*

張 俊 (山東省淄博市周村區(qū)城北中學(xué) 255300)

時(shí)翠萍 (山東省淄博市周村區(qū)第二中學(xué) 255300)

筆者近來(lái)研究2021年南通市中考試題第25題時(shí)，發(fā)現(xiàn)該題以最基本的圖形變換“軸對(duì)稱”為背景，漸次生長(zhǎng)，思路開(kāi)闊，是一道值得回味的題目，特撰文與大家交流．

1 原題呈現(xiàn)

如圖1，正方形

ABCD

中，點(diǎn)

E

在邊

AD

上(不與端點(diǎn)

A

，

D

重合)，點(diǎn)

A

關(guān)于直線

BE

的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)

F

，連結(jié)

CF

，設(shè)∠

ABE

=

α

．

圖1

(1)求∠

BCF

的大小(用含

α

的式子表示)；(2)過(guò)點(diǎn)

C

作

CG

⊥

AF

，垂足為

G

，連結(jié)

DG

．判斷

DG

與

CF

的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)將△

ABE

繞點(diǎn)

B

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△

CBH

，點(diǎn)

E

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)

H

，連結(jié)

BF

，

HF

．當(dāng)△

BFH

為等腰三角形時(shí)，求sin

α

的值．

2 思路突破

2.1 基于對(duì)稱變換，構(gòu)造對(duì)稱圖形

如圖2，本題第(1)問(wèn)從已知出發(fā)，由于點(diǎn)

A

、點(diǎn)

F

關(guān)于直線

BE

對(duì)稱，基于軸對(duì)稱變換，我們不妨連結(jié)

BF

，從而構(gòu)造出對(duì)稱圖形，可得

AB

=

BF

=

BC

，∠

ABE

=∠

FBE

=

α

，此時(shí)∠

FBC

=90°-2

α

．在等腰三角形

BCF

中，易得

2.2 導(dǎo)角突破難點(diǎn)，多維角度探尋

如圖2，對(duì)于第(2)問(wèn)，學(xué)生可以直觀判斷出

DG

與

CF

的位置關(guān)系，但如果要說(shuō)明理由，對(duì)大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的難度，此時(shí)題目已經(jīng)進(jìn)入寬進(jìn)難出的環(huán)節(jié)．那么突破的方向在哪里呢？在此問(wèn)中，有一個(gè)“知識(shí)坎”很多學(xué)生未能逾越，導(dǎo)致問(wèn)題探究無(wú)法進(jìn)行到下一步

.

在這里我們有必要細(xì)細(xì)品味一下：在圖2中，很多學(xué)生憑直觀猜測(cè)出了△

CGF

是等腰直角三角形，但一直無(wú)法說(shuō)明∠

AFC

=135°(這里考查了學(xué)生利用帶有字母的角的導(dǎo)角能力)．如圖3，基于前面的分析我們可以得到∠

AFB

=90°-

α

，∠

BFC

=∠

BCF

=45°+

α

，所以可得∠

AFC

=∠

AFB

+∠

BFC

=90°-

α

+45°+

α

=135°．從而可以看到，盡管點(diǎn)

F

的位置是變化的，但∠

AFC

始終是一個(gè)定角．那該問(wèn)題的本質(zhì)在哪里？因?yàn)?p>BA

=

BF

=

BC

，所以點(diǎn)

F

在以點(diǎn)

B

為圓心、

BA

為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)定弦對(duì)定角，可知∠

AFC

始終為135°．解決了這一問(wèn)題，就為后面的探究做好了鋪墊．

圖3

思路1 如圖4，從構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似三角形的角度，連結(jié)對(duì)角線

AC.

在△

CGD

與△

CFA

中，因?yàn)椤?p>ACD

=∠

FCG

=45°，所以∠

ACF

=∠

DCG.

又有可得△

CGD

∽△

CFA

，即∠

CGD

=∠

CFA

=135°，故∠

DGA

=45°，∠

CFG

=∠

DGA

=45°，從而

DG

∥

CF

．

圖4 圖5

思路2 如圖5，從“8”字相似三角形的角度，連結(jié)對(duì)角線

AC.

因?yàn)椤?p>AMD

=∠

CMG

，∠

ADM

=∠

CGM

=90°，所以△

AMD

∽△

CMG

，可得即又因?yàn)椤?p>AMC

=∠

DMG

，所以△

DMG

∽△

AMC

，即∠

DGA

=∠

ACM

=45°，故∠

CFG

=∠

DGA

=45°，從而

DG

∥

CF

．思路3 如圖6，從點(diǎn)共圓的角度，連結(jié)對(duì)角線

AC.

因?yàn)椤?p>ADC

=∠

AGC

=90°，所以點(diǎn)

A

，

D

，

G

，

C

在以

AC

中點(diǎn)

O

為圓心、

OA

為半徑的圓上．在同圓中，可得∠

DGA

=∠

ACD

=45°，即∠

CFG

=∠

DGA

=45°，故

DG

∥

CF

．

圖6 圖7

思路4 如圖7，從構(gòu)造全等三角形角度來(lái)思考，在

AG

上截取

AH

=

CG.

因?yàn)椤?p>AMD

=∠

CMG

，∠

ADM

=∠

CGM

=90°，所以∠

DAH

=∠

DCG

．又有

AD

=

CD

，所以△

DAH

≌△

DCG

，可得∠

ADH

=∠

CDG

，

HD

=

GD

．因?yàn)椤?p>ADH

+∠

HDM

=90°，所以∠

HDG

=90°，此時(shí)△

HDG

是等腰直角三角形，故∠

DGH

=45°，即∠

CFG

=∠

DGH

=45°，從而

DG

∥

CF

．

2.3 始于分類(lèi)討論，終于轉(zhuǎn)化分析

第(3)問(wèn)以旋轉(zhuǎn)為背景，重點(diǎn)考查了分類(lèi)討論的思想．本題的難度還是在分類(lèi)后的驗(yàn)證上，對(duì)學(xué)生的說(shuō)理能力要求較高．如圖8，對(duì)于△

BFH

為等腰三角形，我們考慮：①當(dāng)

BF

=

BH

時(shí)，由于△

BAE

≌△

BCH

，所以

BH

=

BE

，又因?yàn)?p>BA

=

BF

，這時(shí)出現(xiàn)了

BE

=

BA

，在Rt△

BAE

中是不可能的，顯然這種情況不存在．②當(dāng)

BF

=

HF

時(shí)，∠

FBH

=∠

FHB

=90°-

α

，可得∠

BFH

=2

α

，由于∠

ABF

=2

α

，所以此時(shí)

AB

∥

FH

，即點(diǎn)

F

與點(diǎn)

C

要重合，則需要點(diǎn)

E

運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)

D

，與題意不相符，因此這種情況也不存在．相比第①種情況的驗(yàn)證，第②種情況的驗(yàn)證要求學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐评碚f(shuō)明，綜合性較強(qiáng)．結(jié)合上述分析，只有一種可能是

BH

=

FH

，此時(shí)解決問(wèn)題的方向又在哪里？

圖8

如圖8，基于△

BHF

是等腰三角形，我們最基本的想法就是作等腰三角形底邊

BF

上的高

HM

，可得因?yàn)椤?p>MBH

=∠

AEB

=90°-

α

，∠

BMH

=∠

EAB

=90°，

BE

=

BH

，所以△

BAE

≌△

HMB

，從而

MB

=

AE

，即在Rt△

BAE

中，設(shè)

AE

=

m

，則

AB

=2

m

，由勾股定理可得所以以上分析是基于對(duì)△

BFH

的思考，也是最基本、最容易想到的，但難度在于容易想到卻難深入下去，特別是面對(duì)變化的等腰三角形

BFH

，很多學(xué)生會(huì)感到束手無(wú)策．那么我們能否把△

BFH

轉(zhuǎn)化到和它全等的一個(gè)三角形中去研究呢？如圖8，基于已有條件

BE

=

BH

，

BF

=

BC

，∠

EBC

=∠

FBH

=90°-

α

，我們可以連結(jié)

EC

，易得△

BFH

≌△

BCE

，這樣我們就可以對(duì)△

BCE

進(jìn)行討論：很明顯

BE

=

BC

和

CE

=

BC

這兩種情況都不成立，只有

EB

=

EC

，而此時(shí)點(diǎn)

E

為

AD

的中點(diǎn)，易得這種思路也是本題的精彩之處，利用全等改變研究對(duì)象，是轉(zhuǎn)化思想的一種集中體現(xiàn)．

3 深入思考

對(duì)于上述問(wèn)題的解答，思維的起點(diǎn)又在哪里？第(2)問(wèn)的思路1是構(gòu)造相似三角形，如圖4，由于等腰Rt△

FGC

繞點(diǎn)

C

按一定比例放縮旋轉(zhuǎn)得到等腰Rt△

ADC

，在這一過(guò)程中，這一關(guān)系式保持不變，必然存在另一對(duì)相似的三角形．我們?cè)侔褕D形拓展到一般情況，如果△

ADE

∽△

ABC

，連結(jié)

BD

，

CE

，則會(huì)得到△

ADB

∽△

AEC

(圖9)，這也是旋轉(zhuǎn)相似的成對(duì)存在性．

圖9

第(2)問(wèn)的思路2是基于“8”字相似的成對(duì)存在性，如圖5，若△

ADM

∽△

CGM

，則必有△

DMG

∽△

AMC

，本身構(gòu)成這樣相似的點(diǎn)

D

，

G

，

A

，

C

與思路3的四點(diǎn)共圓是一致的．第(3)問(wèn)的第二種思路如同神來(lái)之筆，連結(jié)

EC

，構(gòu)造的其實(shí)是一對(duì)具有對(duì)稱性的全等三角形，△

BFH

≌△

BCE

，并且關(guān)于直線

BN

成軸對(duì)稱(圖10)．基于圖形的對(duì)稱，聯(lián)想到全等，這其實(shí)就是一種發(fā)現(xiàn)對(duì)稱美的過(guò)程．

圖10 圖11

基于本題圖形的變化，我們考慮再進(jìn)行一下變式的生長(zhǎng)：原題點(diǎn)

E

在線段

AD

上運(yùn)動(dòng)，我們讓點(diǎn)

E

在射線

AD

上運(yùn)動(dòng)，其他條件保持不變，此時(shí)仍然可以得到

DG

∥

CF

(圖11)．

簡(jiǎn)析

盡管圖形改變了，但是我們探究的思路仍然可以延續(xù)，這也是數(shù)學(xué)變化中的不變．此時(shí)∠

ABE

=

α

，基于點(diǎn)

A

、點(diǎn)

F

關(guān)于

BE

對(duì)稱，連結(jié)

BF

，可得

AB

=

BF

，

BC

=

BF

，△

ABF

與△

BCF

是等腰三角形，此時(shí)∠

CFG

=∠

BFC

-∠

BFA

=135°-

α

-(90°-

α

)=45°，因此△

CFG

是等腰直角三角形．連結(jié)

AC

，因?yàn)椤?p>CFG

∽△

CAD

，由旋轉(zhuǎn)相似的成對(duì)性，可得出△

DCG

∽△

ACF

，所以∠

DGC

=∠

AFC

=∠

FCG

=45°，即

DG

∥

CF

．

圖12

當(dāng)然本題還有其他方法，這里不再贅述．現(xiàn)在我們改變對(duì)稱點(diǎn)，繼續(xù)思考一下．如圖12，作點(diǎn)

C

關(guān)于

BE

的對(duì)稱點(diǎn)

F

，連結(jié)

BF

，作

AG

⊥

FC

，垂足為

G

，連結(jié)

DG

，求證：

DG

∥

AF

．這里通過(guò)推導(dǎo)角度仍然可得△

AGF

為等腰直角三角形，連結(jié)

AC

，此時(shí)△

AGF

與△

ADC

是相似的等腰三角形，由旋轉(zhuǎn)相似的成對(duì)性，還可以得出△

DAG

∽△

CAF

，進(jìn)而問(wèn)題可以突破．我們讓該問(wèn)題在此基礎(chǔ)上繼續(xù)生長(zhǎng)．如圖13，正方形

ABCD

中，點(diǎn)

E

在邊

AD

上(不與端點(diǎn)

A

，

D

重合)，點(diǎn)

C

關(guān)于直線

BE

的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)

F

，連結(jié)

CF

，

BF

，同時(shí)連結(jié)

FA

，

BE

并分別延長(zhǎng)交于點(diǎn)

G

，連結(jié)

DG

，設(shè)∠

ABE

=

α

．(1)求∠

BGF

的大?。?2)猜想

DG

與

AF

之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

簡(jiǎn)析

對(duì)于第(1)問(wèn)，通過(guò)在等腰三角形△

BCF

與△

ABF

中進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)換，不難得出∠

BGF

的大小始終為45°，下面重點(diǎn)談一下第(2)問(wèn)．如圖13，基于點(diǎn)

C

與點(diǎn)

F

關(guān)于

BE

成軸對(duì)稱，我們從構(gòu)造對(duì)稱圖形的角度連結(jié)

CG

，可得

FG

=

CG

，∠

BGF

=∠

BGC

=45°，△

FGC

為等腰直角三角形．此時(shí)再連結(jié)對(duì)角線

AC

，出現(xiàn)了相似的等腰Rt△

FGC

與Rt△

ADC

，易得所以△

ACF

∽△

DCG

，即

圖13 圖14

當(dāng)然，該題也可以從全等角度入手．如圖14，基于△

ABF

為等腰三角形，作

BM

⊥

AF

，垂足為

M

，再過(guò)點(diǎn)

D

作

DH

⊥

AG

，垂足為

H

，此時(shí)易得△

BMA

≌△

AHD

，可得

AM

=

DH

，

BM

=

AH

．又

MG

=

BM

，故可得

AM

=

GH

=

DH

，從而△

GHD

為等腰直角三角形，即

4 教學(xué)反思

4.1 重視基本圖形滲透，強(qiáng)化識(shí)圖能力

基本圖形是復(fù)雜圖形組成的基本元素，主要包括教材上的基本事實(shí)和定理及其推論，以及在平時(shí)教學(xué)中獲得的一些典型圖形．學(xué)生之所以解題時(shí)沒(méi)有思路，關(guān)鍵就是沒(méi)有從復(fù)雜的圖形里把基本圖形抽取出來(lái)．正如2021南通市中考第25題，其中蘊(yùn)含的基本圖形非常多，例如旋轉(zhuǎn)相似的成對(duì)存在性，以及“8”字型相似的成對(duì)性、四點(diǎn)共圓等，如果學(xué)生沒(méi)有較強(qiáng)的識(shí)圖能力，是很難突破問(wèn)題的．因此，教師在平時(shí)的教學(xué)中要為學(xué)生及時(shí)總結(jié)和提煉一些基本圖形，對(duì)其應(yīng)用條件和基本結(jié)論要熟悉．這里要特別注意一點(diǎn)，千萬(wàn)不能讓學(xué)生死記，而要引導(dǎo)學(xué)生從已知條件中挖掘關(guān)鍵條件，找到問(wèn)題的核心，回歸到書(shū)本上最基本的定義和定理，這樣才能真正實(shí)現(xiàn)基本圖形與數(shù)學(xué)概念的有效結(jié)合．只有這樣潛移默化地不斷滲透，學(xué)生才能逐步形成基本圖形分析觀念，在面對(duì)幾何問(wèn)題時(shí)，主動(dòng)尋找或構(gòu)造頭腦中的基本圖形，運(yùn)用其來(lái)解決問(wèn)題．

4.2 突出幾何變換引領(lǐng)，積累構(gòu)圖經(jīng)驗(yàn)

初中的圖形變換分為兩種，一種是全等變換，主要包含平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱，另一種是相似變換，指的是相似與位似，新課標(biāo)也特別提倡讓圖形運(yùn)動(dòng)起來(lái)，讓學(xué)生在運(yùn)動(dòng)中發(fā)現(xiàn)不變．然而實(shí)際情況是，學(xué)生仍然習(xí)慣于靜態(tài)地去思考問(wèn)題，這導(dǎo)致他們不能深入問(wèn)題的本質(zhì)．比如南通這道中考題，以正方形作為背景，正方形本身就是軸對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形，從點(diǎn)

A

與點(diǎn)

F

關(guān)于直線

BE

對(duì)稱入手，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造對(duì)稱圖形，然后通過(guò)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似這一變換作為解決問(wèn)題的主線，繼續(xù)生長(zhǎng)，第(3)問(wèn)基于圖形的旋轉(zhuǎn)分類(lèi)思考，最終呈現(xiàn)了一對(duì)對(duì)稱性的全等三角形．可以說(shuō)本題始于軸對(duì)稱，發(fā)展于旋轉(zhuǎn)，最終止于軸對(duì)稱，整個(gè)解答的過(guò)程都突出了幾何變換的統(tǒng)領(lǐng)．因此，在平時(shí)的教學(xué)中，教師要多引導(dǎo)學(xué)生從幾何變換的視角來(lái)分析幾何圖形，通過(guò)這種運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)構(gòu)造出準(zhǔn)確的圖形，這樣學(xué)生就會(huì)站在更高的高度來(lái)認(rèn)識(shí)幾何圖形．長(zhǎng)此以往，可以讓學(xué)生養(yǎng)成從幾何變換的視角來(lái)審視幾何問(wèn)題的習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力的提升．