整體把握數(shù)學(xué)教材?發(fā)展學(xué)生思維張力

陳憶雯

【摘 要】小學(xué)階段，數(shù)的認(rèn)識是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、符號意識、運算能力等核心素養(yǎng)的重要基礎(chǔ)。“小數(shù)”作為人類計數(shù)歷史上重要的一環(huán)，凝聚著人類的創(chuàng)造力與智慧。小數(shù)的相關(guān)知識在數(shù)學(xué)“數(shù)的認(rèn)識”中具有至關(guān)重要的作用，教師需要采用有效的策略，引導(dǎo)學(xué)生去探索數(shù)的認(rèn)識及內(nèi)容本質(zhì)，并滲透核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)方法;需要研究概念本質(zhì)、追溯小數(shù)的本源、整體把握教材，進行有效的教學(xué)，使得學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更具生長性和靈活性。

【關(guān)鍵詞】小數(shù)教學(xué) 數(shù)學(xué)教材 意義 本質(zhì)

畢達(dá)哥拉斯說：“數(shù)支配著宇宙。”數(shù)的認(rèn)識是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基石?！靶?shù)的意義”是“數(shù)的認(rèn)識”的一節(jié)種子課。理解數(shù)的意義、進行數(shù)的認(rèn)識的教學(xué)研究，需要教師基于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，采用有效的策略與方法引導(dǎo)學(xué)生去探索、思考與理解數(shù)的內(nèi)容本質(zhì)，發(fā)掘其中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，以便培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。筆者針對“小數(shù)”進行了大量的文獻研究，并在教學(xué)實踐中多次進行“小數(shù)的意義”的對比教學(xué)，發(fā)現(xiàn)生活中處處都有小數(shù)，但學(xué)生對于小數(shù)意義的理解存在一定困難。本文以“小數(shù)的意義”為例，從厘清概念、把握教材和研究數(shù)系三個角度，淺談如何整體把握“小數(shù)的意義”的教學(xué)，同時發(fā)展學(xué)生的思維張力。

一、厘清概念，分析現(xiàn)狀

（一）研究學(xué)生

從目前的教學(xué)現(xiàn)狀來看，多數(shù)學(xué)生認(rèn)為有小數(shù)點的數(shù)就是小數(shù)，或者比1小的數(shù)就是“小數(shù)”。這是源于關(guān)于小數(shù)的概念，教材上給出的定義是“我們可以把分母是10、100、1000的分?jǐn)?shù)寫成一位小數(shù)、兩位小數(shù)、三位小數(shù)……”，這句話指出小數(shù)是十進制分?jǐn)?shù)的一種特殊形式。把十分之幾界定為小數(shù)的意義，并不能讓學(xué)生從本質(zhì)上去理解小數(shù)，學(xué)生的理解在課堂上沒有得到正確的解釋，因此出現(xiàn)了概念模糊的情況。

（二）研究概念

教師首先需要厘清概念。人們對數(shù)的認(rèn)識是源于遠(yuǎn)古時期“結(jié)繩計數(shù)”所產(chǎn)生的自然數(shù)，自然數(shù)是對整數(shù)數(shù)量的抽象理解。但是后來人們在生產(chǎn)生活中遇到了當(dāng)測量小于單位“1”的量時，自然數(shù)已經(jīng)無法滿足生產(chǎn)生活的需要，分?jǐn)?shù)和小數(shù)也由此產(chǎn)生。比如：1厘米寫成多少分米，用小數(shù)來表示就是0.1分米。從這一點來說，小數(shù)的教學(xué)重點和概念本質(zhì)應(yīng)該是用來表示小于單位“1”的數(shù)。

（三）研究教學(xué)

結(jié)合實際教學(xué)，對于小數(shù)概念的認(rèn)識，教師不能只是滿足于教學(xué)小數(shù)的書寫、組成和小數(shù)與分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)化等，而是需要思考一些更為本源的問題。例如，生活中已經(jīng)有整數(shù)了，為什么還會出現(xiàn)小數(shù)？要把構(gòu)建“小數(shù)”背后的數(shù)學(xué)思想方法用學(xué)生易懂的方式表達(dá)出來。

二、梳理體系，構(gòu)建聯(lián)系

（一）數(shù)的體系的關(guān)聯(lián)性

研究小數(shù)的意義首先需要研究數(shù)的體系。筆者結(jié)合整個小學(xué)階段“數(shù)的認(rèn)識”的結(jié)構(gòu)，進一步整理了整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系模式圖（見圖1）。小數(shù)的學(xué)習(xí)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了整數(shù)和分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上展開的，學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識是從最基本的整數(shù)開始慢慢擴展的。因此，教師要把分?jǐn)?shù)和整數(shù)、小數(shù)和整數(shù)聯(lián)系起來教學(xué)，否則學(xué)生就會覺得小數(shù)是全新的，與以往學(xué)過的知識沒有關(guān)系。

小數(shù)的本源是數(shù)，教師需要遷移學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，將小數(shù)與整數(shù)、分?jǐn)?shù)進行連接﹐讓學(xué)生感悟到數(shù)的體系內(nèi)在的統(tǒng)一性，以便引導(dǎo)學(xué)生追溯小數(shù)的本源，感悟數(shù)的統(tǒng)一性。

（二）位置值的統(tǒng)一性

通過位置值將小數(shù)和整數(shù)聯(lián)系在一起?？梢越柚?和0.1的關(guān)系為突破口（見圖2），把十分為10份，得到1，1再接著平均分10份，每份就是0.1。從位值制來看，個位不夠再往下分，需要創(chuàng)造新的數(shù)位，個位的右邊就出現(xiàn)了十分位，學(xué)生熟悉的100、10、1和新認(rèn)識的0.1、0.01、0.001就產(chǎn)生了聯(lián)系。反過來看，10個0.1是1，10個1是10……與整數(shù)的十進制也是相同的。小數(shù)和整數(shù)正是通過十進制而連接起來了，最直觀的體現(xiàn)就是計數(shù)器上從整數(shù)數(shù)位到小數(shù)數(shù)位的統(tǒng)一性。為了突破這個教學(xué)難點，教師可以利用正方體或者數(shù)軸，清楚地向?qū)W生解釋兩者之間的關(guān)系。

（三）數(shù)與生活的密切性

將小數(shù)回歸于生活，就能解釋小數(shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系。一是小數(shù)和分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系，小數(shù)是分母為10、100、1000……的分?jǐn)?shù)的另一種形式;二是兩者之間的區(qū)別，這一點與生活是密切相關(guān)的。關(guān)于生活中人民幣的使用，如果都用分?jǐn)?shù)，在付錢和找零時會比較麻煩。為了更加方便生活，也為了方便計算，就出現(xiàn)了和整數(shù)的位值計數(shù)以及算理都比較一致的小數(shù)。

三、研讀教材，優(yōu)化策略

為了更好地把握“數(shù)的認(rèn)識”的教學(xué)，教師需要研讀教材，抓住教學(xué)內(nèi)容的重難點，分析教材的編排意圖。筆者在研究小數(shù)概念內(nèi)容的基礎(chǔ)上，分析不同版本的教材，總結(jié)出以下三個關(guān)鍵教學(xué)策略：

（一）依托經(jīng)驗，引發(fā)認(rèn)知需求

著名數(shù)學(xué)家兼心理學(xué)家斯根普認(rèn)為，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)有基本原則：超過個人已有概念層次的高階概念不能用定義方式來溝通，只能搜集有關(guān)例子供其經(jīng)驗，再靠他自己抽象以形成概念。

有了整數(shù)，為什么還需要小數(shù)？為了解決這個問題，筆者深入研究了教學(xué)內(nèi)容，對比分析多版本教材的優(yōu)勢，發(fā)現(xiàn)數(shù)來源于生活，小數(shù)的產(chǎn)生是因為生活的需要。在教學(xué)中，教師可以借助生活情境引發(fā)小數(shù)產(chǎn)生的需求。

例如，人教版數(shù)學(xué)教材設(shè)計了貼近生活的問題情境（見圖3）：用尺子去測量講臺的長度是1米多一點，但是又不到2米，用米做單位多出的部分不夠1米。學(xué)生已有的知識無法解決這個問題，認(rèn)知產(chǎn)生了沖突，不能得到一個整數(shù)的結(jié)果，自然引發(fā)了小數(shù)產(chǎn)生的需求。

基于以上分析，筆者在教學(xué)中對于小數(shù)的引出是通過設(shè)計實際的生活情境：測量同學(xué)的身高。（見圖4）

【片段1】

師：這名同學(xué)的身高是多少米呢？

（學(xué)生有點猶豫）

師：能用1.4米表示嗎？

生：不能。

師：能用1.5米表示嗎？

生：也不能。

師：現(xiàn)在用這把尺子能否準(zhǔn)確量出他的身高呢？

生：不能。

師：一位小數(shù)不能表示這名同學(xué)的身高，誰能幫忙改進一下？

生：將這一格再分一分（將0.1米再細(xì)分單位成0.01米）。

師：怎么分？

生：平均分成10份。

師：把0.1米也就是1分米平均分成10份，每份是多少？

生：1厘米，也就是米。

師：用小數(shù)表示就是0.01米。

從生活出發(fā)，通過創(chuàng)設(shè)測量學(xué)生身高的情境自然而然地引出了小數(shù)產(chǎn)生的需求，引發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突，推進了學(xué)生主動思考。這樣的情境設(shè)計，沒有刻意地標(biāo)示課題，但無形中已經(jīng)在學(xué)生心中播下學(xué)習(xí)小數(shù)的種子了。測量身高的過程更是體現(xiàn)出了小數(shù)的本質(zhì)：由于生活中整數(shù)無法滿足需求，需要單位的再細(xì)分，從而產(chǎn)生更小的計數(shù)單位，引出兩位小數(shù)的認(rèn)識。學(xué)生學(xué)習(xí)的種子會生根發(fā)芽，思維也潛移默化地影響著他們。

（二）豐富表征，呈現(xiàn)多維視角

華羅庚教授曾說：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛?！睌?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強調(diào)，“數(shù)學(xué)課程能使學(xué)生掌握必備的基礎(chǔ)知識和基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維”。完善小數(shù)的意義，要讓學(xué)生經(jīng)歷小數(shù)從生活中來，再借助圖形表示數(shù)形結(jié)合的過程。分析各版本數(shù)學(xué)教材，其對于小數(shù)的表征方式，都采用了從生活到圖形，再到抽象的數(shù)的方式。從尺子或者錢幣出發(fā)，引出小數(shù)的認(rèn)識，再借助圖形，用正方形表示一位小數(shù)和兩位小數(shù)，最后由面到體，用正方體來表示三位小數(shù)。這樣一種從具體到抽象的過程，從平面圖形到立體圖形的多維遞進，使得學(xué)生對小數(shù)的認(rèn)識更加具有層次性。比如：一維的正方形，可以解決學(xué)生理解0.1和0.01這一教學(xué)難點。教學(xué)設(shè)計如下：

【片段2】

師：最左邊這一條（見圖5）是把正方形平均分成10份，那每份是多少？

生：0.1。

師：第2條這一小格通過量一量發(fā)現(xiàn)也是平均分成10份，每份還是0.1嗎？

生：不是，是0.01。

師：都是平均分成10份，這里為什么是0.01？

生：因為0.1是把正方形平均分成10份，0.01是把0.1平均分成10份。

小數(shù)的教學(xué)是數(shù)的教學(xué)，將小數(shù)的意義從生活實物再到圖形中的面積關(guān)系和體積關(guān)系，是一個數(shù)形結(jié)合的過程。0.1的意義不能局限于生活中的物體，借助幾何可以更加清楚完整地描述小數(shù)的意義，0.1不僅存在于長度中、人民幣中，也存在于面積中、體積中……這樣小數(shù)意義的構(gòu)建才是逐步完整的。

以上片段的教學(xué)設(shè)計不僅體現(xiàn)了幾何直觀的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也滲透了推理能力的培養(yǎng)。讓學(xué)生由如何得到0.1推理出0.01，學(xué)生對于小數(shù)意義的理解上升了一個臺階。推理能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的十大核心概念之一，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種基本思維方式。

（三）借助分?jǐn)?shù)，架構(gòu)理解橋梁

從小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系來說，各版本數(shù)學(xué)教材都是借用分?jǐn)?shù)作為小數(shù)理解的橋梁，并沒有直接教學(xué)小數(shù)，如蘇教版數(shù)學(xué)教材（見圖6）。

分?jǐn)?shù)與小數(shù)是緊密關(guān)聯(lián)的，小數(shù)的實質(zhì)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。在概念的理解上，小數(shù)和十進制分?jǐn)?shù)應(yīng)該有對應(yīng)的關(guān)系，比如0.1和，0.01和……從學(xué)生的角度來分析，小數(shù)的認(rèn)識在分?jǐn)?shù)之后，此時學(xué)生已經(jīng)能夠說清分?jǐn)?shù)的意義，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)小數(shù)的意義更加水到渠成。例如，目前教學(xué)中普遍存在的一個問題：教師不能說清楚什么是一位小數(shù)、兩位小數(shù)和三位小數(shù)，僅僅是從形式上進行概括，像0.01、0.21這樣的小數(shù)點后面是兩個數(shù)的小數(shù)，我們稱之為兩位小數(shù)。其實，理解其本質(zhì)可以借助分?jǐn)?shù)，因此，筆者在教學(xué)中借用分?jǐn)?shù)作為理解小數(shù)意義的橋梁。

本課內(nèi)容的教學(xué)，在學(xué)生知道0.1是一位小數(shù)的基礎(chǔ)上，很容易推理出0.01是兩位小數(shù)。學(xué)生真的理解兩位小數(shù)的意義嗎？筆者針對這一問題，認(rèn)為可以在新授完小數(shù)后，進行一位小數(shù)、兩位小數(shù)和三位小數(shù)的對比總結(jié)，借助小數(shù)和分?jǐn)?shù)的聯(lián)系來定義一位小數(shù)、兩位小數(shù)和三位小數(shù)（見圖7）。

【片段3】

師：0.1、0.6和0.9我們知道是一位小數(shù)，今天我們學(xué)習(xí)的是幾位小數(shù)？第二列都是？

生：兩位小數(shù)。

師：第三列都是？

生：三位小數(shù)。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：分母為10的分?jǐn)?shù)可以寫成一位小數(shù)，分母為100的分?jǐn)?shù)可以寫成兩位小數(shù)，分母為1000的分?jǐn)?shù)可以寫成三位小數(shù)。

由此，教師巧妙地借助分?jǐn)?shù)和小數(shù)的聯(lián)系對幾位小數(shù)進行了定義，對比總結(jié)出了不同數(shù)位的小數(shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系。往下再思考，學(xué)生還能說出四位小數(shù)、五位小數(shù)就是分母為10000、100000的分?jǐn)?shù)……學(xué)生對于數(shù)的思維的理解從淺層的數(shù)形式理解提升了一個臺階：原來小數(shù)和分?jǐn)?shù)是有關(guān)系的。如此，通過知識的聯(lián)系提升了學(xué)生思維的發(fā)散性。

小數(shù)的意義是數(shù)的認(rèn)識教學(xué)中值得持續(xù)研究的主題，有一些可以遵循的規(guī)律，還有許多需要探索的問題。小數(shù)的認(rèn)識教學(xué)，需要對教材進行整體的研讀，把握教學(xué)重點，突破教學(xué)難點，思考小數(shù)的教學(xué)的本質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維的張力。

注：本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度重點課題“小學(xué)數(shù)學(xué)高效教學(xué)的校本實踐研究”（編號：B-a/2015/02/045）的研究成果。

【參考文獻】

[1]徐明旭.深入研讀教材，把握教學(xué)實質(zhì)——《小數(shù)的意義》教材對比研讀[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016（22）.

[2]馬云鵬.“數(shù)的認(rèn)識”及其教學(xué)設(shè)計 [J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2018（3）.