依心循理，破立相濟

?張宏偉

全景教育

研究學生，懂得學生，懂得學生如何學習，是教育中最關鍵、最重要的事。2017年，我在接受《中國教師報》記者專訪時，談到對全景式數(shù)學教育教師團隊專業(yè)成長的理想時，曾這樣殷切地希望：“我和全景式數(shù)學教育團隊的每一位成員，接下來要苦修兒童心理學、腦科學、認知科學、人學、社會學，真正理解兒童、懂得兒童，理解人，懂得人，從經(jīng)驗之師走向科學之師，從經(jīng)師真正轉變?yōu)槿藥煛！北酒诎才诺乃钠恼拢侨笆綌?shù)學教育團隊的核心成員嘗試以“心理動力學、認知心理平衡理論、格式塔學派的整體優(yōu)先效應（全景式數(shù)學理念之‘在整座森林中研究一棵樹、大意義整體教學均源于此）、皮亞杰建構主義理論”為指導，從兒童認知科學和學習心理的視角分析、設計學習活動，分析和實施教學的過程的嘗試和探索。目前，我們的認識還是粗淺的，探索還是初步的，權作拋磚引玉，不當之處，敬請各位同仁批評指正。

（張宏偉）

【摘 要】以“認知心理學”為依據(jù)，利用“心理動力學”“認知心理平衡理論”，針對“歸一應用題”設計了獨特的“4破5立”教學，學生的認知在平衡不斷被打破與重建的過程中愈加完整、全面，解決問題的策略不斷豐富，學生在實現(xiàn)學習目標的同時能夠把學習重心更多地聚焦在“完整思維、學會思考、激發(fā)創(chuàng)新、開慧啟智”上。

【關鍵詞】心理動力學 認知心理平衡理論 歸一問題 “4破5立” 策略多樣化

傳統(tǒng)的“歸一應用題”，現(xiàn)今一般編排在三年級，歸屬于“解決問題”。其主要任務是讓學生用學過的知識、技能、方法等解決現(xiàn)實中的實際問題。它是培養(yǎng)學生的應用意識、理解數(shù)學和生活、學會分析問題和解決問題的基本方法，是發(fā)展學生思維的重要路徑和載體。全景式數(shù)學教育團隊對這節(jié)課做了新的嘗試：以“認知心理學”為依據(jù)，科學利用“心理動力學”“認知心理平衡理論”，設計了獨特的“4破5立”教學。在實現(xiàn)上述目標的同時，學生更多地把學習重心聚焦在“完整思維、學會思考、激發(fā)創(chuàng)新、開慧啟智”上。

“4破5立”中的“破”是指學生突破自己現(xiàn)有的認知平衡狀態(tài)，“立”是指學生原來已經(jīng)有的或者重新建立起來的認知平衡狀態(tài)。

認知平衡理論認為：人總是具有力圖保持其內(nèi)部認知系統(tǒng)平衡與和諧的心理傾向，當新場景中的認知因素與個體原來的認知不同或沖突時，他內(nèi)部認知系統(tǒng)的平衡與和諧便會被打破，進入不平衡狀態(tài)。而這種不平衡的認知狀態(tài)具有較強的動機性，會促使人積極主動改變其認知系統(tǒng)的某些因素，或改變現(xiàn)存的認識，或添加一種新的認識，以達到平衡狀態(tài)或校正不平衡，最終重新建立新的認知系統(tǒng)平衡……

全景式數(shù)學教育下歸一問題的學習過程依據(jù)上述理論設計，構建了“平衡—打破—……—平衡—打破”如此不斷擴展、循環(huán)攀升的認知心路歷程和思考過程。教學中還利用心理動力學不斷激發(fā)和強化學生的興趣與探究欲，文中在相應的實錄后進行了分析與說明。

實錄和分析

一、1“立”——意料之中：知道……就可以……

1.教師從左向右依次板書如下3個問題，同時，請學生獨立靜思：“只要知道……就可以求出……”。

（1）一輛汽車， ，7小時行多少千米？

（2）鹽外附小三年級， ，6個班有多少人？

（3） ，8支鉛筆一共多少錢？

2.學生踴躍反饋，教師根據(jù)學生反饋，構成完整題目，并解答。

第（1）題補：每小時行9千米;第（2）題補：每班有32人;第（3）題補：一支鉛筆5元錢。

師：請同學們比較一下這3道題，雖然它們說的事不同，數(shù)量不同，但是它們有一個共同的特征——只要知道什么，就能求什么。

引出：

師：知“1”→求“幾”，用乘法。

【學生從一年級就開始學習應用題的基本結構、基本思路和解答流程，低年級形成了分析應用的格式：要求什么，就必須知道誰和誰。到學習歸一問題時，學生已經(jīng)強化了近5個學期。學生建立了相應的穩(wěn)固的認知平衡，且這種平衡對學生而言已成定式，從所有的學生都使用了“必須”可以看出，學生把求多份量的前提更多單一地定向為“一份量”，對解決問題所需條件的多元化認識產(chǎn)生了負向遷移。第二個教學環(huán)節(jié)就是對學生這種已有認知平衡的打破?！?/p>

二、1“破”——意料之外：還可以……

師（發(fā)出挑戰(zhàn)）：求8支筆一共多少錢，難道只有知道1支筆的價錢才能求出來嗎？（全班一時默然）

過了一會兒，幾個學生突然大呼：噢……我知道了！

一個學生情不自禁站起來激動地自說自話：知道2支鉛筆……

師：停！我知道你已經(jīng)想通了，牛！下面的話不說了，給還沒有想好的同學留一些獨立思考的時間。

【思考的獨立是心理獨立的重要路徑和標志，同時也是創(chuàng)新的核心。教師在教學中一定要給學生提供充分的獨立思考的時間和空間，最大化地呵護和激勵學生獨立思考的積極性、主動性?！?/p>

教師又等了一會兒，學生紛紛舉手示意自己也想到了，比如，知道2支筆10元錢，也能求出8支筆一共多少錢。（學生解法和反饋略）

師：這道題是屬于知道什么是多少，求什么是多少。

生：知道“幾”是多少，求“幾”是多少。

師：這兩個“幾”表示的數(shù)量一樣嗎？（生：不一樣?。?/p>

教師用不同顏色的筆標出兩個“幾”，以示不同：這道題知道“幾”是多少，求“幾”是多少。

小結：求“幾”是多少，可以尋找的條件有（ ）或者（ ）。

【上面教學環(huán)節(jié)中，有學生只說出一半的話“知道了2支……”像一重錘，把其他學生保持了5個學期的平衡破開了一個口，產(chǎn)生了“鯰魚效應”，啟發(fā)和激發(fā)了每一個同伴重新審視自己的認知，探尋另外一種可能。經(jīng)過自己的思考和群體思維的碰撞，原來狹隘的認識得到矯正，添加了一種新的認識——知道“幾”也可以求“幾”。至此，尋找解決問題的方向從一個維度變?yōu)閮蓚€，應用題新的構成要素和框架重新建立平衡，但是，這個剛剛建立起的平衡還是比較弱的、不甚牢固的?！?/p>

三、2“立”——求“幾”，先求“1”

師：剛才第一步用10÷2=5（元）的目的是什么？

生：把知道“幾”是多少，變成已知“1”是多少。

師：這實際上是用轉化的思想把“知道‘幾，求‘幾”簡化為“知道‘1，求‘幾”。

總結：知道“幾”是多少，求“幾”是多少的解答思路是什么？

生：知道“幾”是多少，求“幾”是多少，先求出“1”是多少，再求“幾”是多少。

教師板書箭頭和步驟序號，形成如下板書，建立知道“幾”求“幾”的第一種解決方案。

師：也就是說，要求幾份是多少，既可以尋找相對應的1份是多少，也可以尋找?guī)追菔嵌嗌佟?/p>

補充板書如下：

【通過這個環(huán)節(jié)的跟進學習，不僅使剛才建立起的弱平衡（歸一問題結構框架）得到強化，還打通了“知1份”和“知幾份”間的聯(lián)系，形成了解決歸一問題的基本方案和流程，使認知的新平衡更為豐富、完整和穩(wěn)定?！?/p>

四、2“破”——還可以怎么樣想？

教師指著黑板上的題目和解法問：“2支筆10元錢，8支筆多少錢？”難道只能這樣做嗎？還有別的方法嗎？你做做我看看。

學生獨立思考，自行嘗試各種辦法。（教師巡視，不斷激勵和引導學生，并收集學生的作品。）

展示學生作品：

8÷2=4 10×4=40（元）

8÷2=4（個） 10×4=40（元）

8÷2=4（支） 10×4=40（元）

8÷2=4（份） 10×4=40（元）

師：最后的結果都等于40元。這種做法極可能是對的?，F(xiàn)在最重要的是，我們必須理解透它的每一步表達的意義。第一步“8÷2”是想先求什么？得數(shù)4后的單位到底是支，是個，是份，還是什么都不是？（大多數(shù)學生都非常茫然）

【第1次打破的是解決問題的前提和結構，這次打破的是解答歸一問題的策略和方法?！?/p>

五、3“立”——先求“倍”，再求“幾”

師：大部分同學都不會。畫圖可以幫助我們分析和理解。我們一起畫：用1根豎線代表1支鉛筆，2根豎線就代表2支筆。為了便于對比，我們在第二行對應著畫出要求的8支鉛筆，這樣便于對比和分析……

最后形成的板書如下：

【其實，這個學生此時處于認知的“次平衡”狀態(tài)。她通過觀察絕大多數(shù)同學和教師的反應知道這種解法是對的，但是自己又想不明白，經(jīng)過短暫的掙扎與矛盾之后，不排斥但也不接受，處于一種中立狀態(tài)，即認知的次平衡狀態(tài)?！?/p>

教師指著學生一開始的反饋問：把已知的2支看成一盒，8支就相當于4盒;把2支看成……

學生：把2支看成1份，8支就是4份……

教師把原來的板書改為：

8÷2=4倍? ?8÷2=4（對）? ?8÷2=4（組）? ?8÷2=4（份）

（這里的倍不需寫，簡寫為8÷2=4）

師：知道“幾”是多少，求“幾”是多少的第二種解法是什么？

生：先求要求的那個“幾”是知道的那個“幾”的倍數(shù)，然后再求“幾”是多少。

教師板書：

小結：知道“幾”是多少，求“幾”是多少。到目前為止，同學們思考出了兩種解決路徑：路徑A是先求“1”是多少，再求“幾”是多少;路徑B是先求倍數(shù)，再求“幾”是多少。

【“倍比”與“歸一”是顯著不同的兩種思考，對三年級學生而言是很有挑戰(zhàn)性的（教材上沒有編排），而一切富于挑戰(zhàn)性的事物或活動都有著深刻的心理動力學意義。課堂上學生積極投入的熱情狀態(tài)，以及解決問題后的興奮都表明：學生是非常享受這種挑戰(zhàn)帶來的刺激的?！?/p>

六、3“破”——“倍”感不適

教師隨手在黑板上寫出一道題：24支筆120元，8支筆多少錢？

第一步，學生判斷出這道題屬于知道“幾”是多少，求“幾”是多少。

師：這樣的題，你有幾種解決路徑？試一試。（學生獨立嘗試練習）

學生作品1：120÷24=5（元） 5×8=40（元）。（教師讓學生說自己的思路）

學生作品2：24÷8=3，3×（學生抓著頭敘述完自己的思路：我先算24支筆是8支筆的幾倍，求出來是3倍。再算8支筆的錢，我想用3×120，可是我一口算得360元，8支筆不可能是360元呀，我也不知道怎么回事，就沒往下寫。）

教師引導其他學生一起思考該學生的問題，找出問題到底出在哪里。

【學生剛剛建立的“先求倍數(shù)，再乘”的認知再次失衡，讓學生“倍”感不適，又欲罷不能，再次平衡的渴望促使他們更為積極地思考和探索“問題到底出現(xiàn)在哪里”?！?/p>

七、4“立”——全景倍的關系和運算

學生作品3：24÷8=3，120÷3=40（元）。

師：她這個結果是40，奇怪，我們原來做的這些題算出了倍數(shù)后，不都是乘嗎，她怎么除了呢？你自己琢磨琢磨，小組間也可以商量商量。

最后，所有學生都明白了，并做了如下講解：

這道題知道的這個“幾”是多的，求的那個“幾”是少的。這里的3倍，表示知道的這個錢是3份，求的錢才是1份。知道3份是120，求1份，用除法，不用乘法。（聽課教師自發(fā)鼓掌）

教師讓幾個小組把這個思路闡釋幾遍后，問：那先求倍數(shù)，再求“幾”的這種思路，什么時候用乘，什么時候用除，你們能總結一下其中的規(guī)律嗎？

生：把知道的那個“幾”和要求的那個“幾”比，如果知道的“幾”少，用乘法，如果知道的“幾”更多，用除法。

【此時，歸一應用題的“倍比”解法再次得到矯正、補充，倍比解法重新獲得平衡?！?/p>

八、4“破”——倍之路“徹底不通”

師：數(shù)學和世界上所有的事情一樣，總有出人意料的時候，3支筆15元，8支筆多少錢？請問：知道什么，求什么？

師：請用你們探索出來的第二種方法解答。

生（議論紛紛）：這怎么求??？8除以3除不盡??！……

師：是的，現(xiàn)在你除不盡的，未來你才能解決?；仡^再看你們總結的規(guī)律：知道“幾”是多少，求“幾”是多少的，先求倍數(shù)，再求“幾”，有不同意見的或者補充說明嗎？

生：補上“除得盡的，可以先求倍數(shù)，再求‘幾;除不盡的只能先求‘1，再求‘幾”。

師：課上到這里，大家有什么感受？

生：用求倍的方法解題時，要看是否除得盡，看求的幾比知道的幾大還是小……

【學生看待問題、分析問題的角度更加全面和完整了?！?/p>

九、5“立”——柳暗花明又“兩村”

師：再思考，3支筆15元，8支筆多少錢？除不盡是不是用“倍”解也有可能？是不是還有第三種、第四種解決路徑？

這時候，很多學生一臉驚呆了的表情，大呼：“什么！除不盡，還能？”

教師無比堅定地說：“能！絕對能！先獨立思考，實在行不通，合伙解決！”

【學生此前歷經(jīng)了5次的“行—不行—另辟蹊徑—又不行—……”過程，這些學習經(jīng)驗會讓他們堅定地認為一定有第三種、第四種，甚至更多的方法，而這些未知的方法對全班而言都是“空白”。當人對某事物全部或部分屬性的認知處于空白時，會本能地想添加對此事物的屬性的認知，這種心理本能就是好奇心，而好奇心是“一種不依賴外在報償便能促成某種行為的強烈內(nèi)在動機”，可以充分誘發(fā)學生自覺、積極、專注投入新屬性的探究，果然不出所料，學生們的創(chuàng)造之火接連迸發(fā)了……】

小組1反饋：是不是可以這樣求，8÷3=2倍……2支，先求2倍的錢，15×2=30元。再求剩下的2支的錢，用15÷3求1支5元，2×5=10元。30+10=40元。

教師組織學生配合作圖以充分理解這個小組的思考過程。

其他小組提出自己的看法：太麻煩了，你已經(jīng)求出了1支5元，為什么不直接乘8支呢？

教師引導和激勵：同學們，這種求法雖然麻煩，但是這個小組給我們提供了一種新的解決路徑和方法，這比什么都可貴！我們有A想法，先求“1”;B想法，先求倍。而這個小組……

生1：又求“1”，又求倍。

生2：它們的想法是A+B。

師：太牛了。把A、B兩種方法結合起來，變成一種新的方法A+B，這就是整合、綜合，也是創(chuàng)新！掌聲鼓勵！

生3（受此啟發(fā)）：我還有一種方法！把8支筆看成9支……

學生反饋：

師：天哪，你們不僅發(fā)現(xiàn)了A+B，還進行了假設。所以第四種解決方案就是……

生：A+B+假設。

【至此，學生經(jīng)歷了5次突破和改變，經(jīng)歷了從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗了解決問題方法的多樣性，掌握了多種分析問題和解決問題的基本方法，感受到了數(shù)學中更多的可能性，體會到了思維、創(chuàng)新和成功的快樂，達成了課前預設的“增強興趣、開闊視野、完善思維、學會思考、激發(fā)創(chuàng)新、開慧啟智”學習目標?！?/p>

十、全課盤點和總結

整堂課主要引導學生明確四種解決問題的方法和思考過程，感悟到每一道數(shù)學題都有很多解決的方法，感悟四種方法中蘊含的轉化、假設等思想。

十一、4“破”5“立”

師：第三種“A+B”和第四種“A+B+假設”的解決方案，都是因為8÷3不能得到整倍數(shù)，我們進行了轉化和變通。其實，將來學了分數(shù)和小數(shù)之后，你們會有新的解答方法。比如，8÷3就等于三分之八倍，8÷3=， 15×=40（元），這個不會沒關系，因為要到六年級才學。當然，感興趣的同學課后可以繼續(xù)研究。

【學生目前暫時不懂8÷3=，筆者為什么還要“拎”出來，教給學生呢？筆者的目的是給學生打開一扇窗，讓他們再多“看見”另一種可能，為未來的學習（六年級）播下一粒認知的種子。這粒種子孕育于“破立”之間，終有一天，會在合適的季節(jié)發(fā)芽、破土、長大、開花、結果！筆者深信那一天一定會到來！】