α 粒子被金原子散射的束縛態(tài)理論研究

滑亞文，卡蓋·索音圖，劉以良

（西南民族大學(xué)電子信息學(xué)院，四川 成都 610041）

費(fèi)曼認(rèn)為電子的雙縫干涉實(shí)驗(yàn)是量子力學(xué)的核心問題，它展示了量子力學(xué)的一個(gè)關(guān)鍵特征:波動(dòng)性和粒子特性關(guān)系.用粒子進(jìn)行的雙縫實(shí)驗(yàn)是量子理論中各種基本思想的試驗(yàn)平臺(tái)[1]，物理學(xué)家約恩松在1961 年做了電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)并得到了明暗相間的干涉圖樣[2]，再次驗(yàn)證了物質(zhì)波理論的正確性，即微觀粒子同時(shí)具有波粒二象性.2013 年美國內(nèi)布拉斯加-林肯大學(xué)的Roger Bach[3]和同事們使用了62 nm寬的狹縫，用能量?jī)H為0.6 keV 的電子通過這些狹縫，他們即使讓電子一個(gè)一個(gè)的通過夾縫，依舊出現(xiàn)了明暗相間的干涉圖樣.曼徹斯特大學(xué)的一個(gè)團(tuán)隊(duì)用激光來激發(fā)原子，之后向它們發(fā)射電子，發(fā)射的電子會(huì)因原子的退激發(fā)而獲得能量，散射的電子被他們?cè)诓煌慕嵌炔蹲降剑蜅钍蠈?shí)驗(yàn)一樣，他們最后依舊得到了干涉模式[3].

第一個(gè)原子的楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)是J.Mlynek 等人[4]完成的，實(shí)驗(yàn)利用超聲氣體的膨脹來產(chǎn)生He 原子及部分亞穩(wěn)態(tài)He 原子，He 的λdB是由溫度來控制的，通過調(diào)節(jié)氣體容器的溫度和調(diào)節(jié)噴嘴系統(tǒng)來改變溫度從而達(dá)到改變He 的λdB的目的. 原子先通過一個(gè)由20 μm厚的金箔構(gòu)成的寬2 μm 的狹縫，該原子衍射后飛行64 cm，再通過一個(gè)寬為8 μm，長(zhǎng)寬分別為2 mm、1 μm 的雙縫，各縫邊緣的厚度都為 1 μm，原子的物質(zhì)波經(jīng)過雙縫后在距雙縫64 cm 處產(chǎn)生了強(qiáng)度分布條紋，相鄰的兩條紋間的距離與衍射理論計(jì)算的結(jié)果符合的較好.

自物質(zhì)波理論[5-6]提出以來，物理學(xué)家不斷地設(shè)計(jì)了一系列思想實(shí)驗(yàn)和實(shí)物實(shí)驗(yàn)以探究波粒二象性的本質(zhì).玻爾曾強(qiáng)調(diào)[7]:以干涉為特征的粒子的波動(dòng)性質(zhì)和以知道粒子通過的裂縫為特征的粒子性質(zhì)是相互排斥的，他認(rèn)為在一個(gè)實(shí)驗(yàn)中人們一次只能看到這兩種互補(bǔ)特性中的一種，假設(shè)裝置探測(cè)器來觀察光子到底是從哪一條狹縫經(jīng)過，從而獲得路徑信息，然而一旦有測(cè)量行為，干涉條紋立即消失. 互補(bǔ)性常被認(rèn)為是物質(zhì)的波粒二象性，多年來，雙縫干涉實(shí)驗(yàn)一直被強(qiáng)調(diào)為加強(qiáng)互補(bǔ)性的一個(gè)很好的例子，哥本哈根學(xué)派認(rèn)為，干涉條紋的消失是由測(cè)量?jī)x器的干擾造成的.

經(jīng)典的單光子雙縫實(shí)驗(yàn)[8-9]中，直接在雙縫那里放探測(cè)器會(huì)導(dǎo)致光子被探測(cè)器吸收，不會(huì)形成條紋，所以物理學(xué)家利用量子糾纏的特性想到一個(gè)巧妙的方法—量子擦除實(shí)驗(yàn)[10]，量子擦除實(shí)驗(yàn)中沒有接收屏，用探測(cè)器來取代，即:一個(gè)激光發(fā)射器，在此之前放一個(gè)偏硼酸鋇(BBO)晶體，一個(gè)光子發(fā)射過來后被分解成兩個(gè)具有相互正交的線偏振、處于糾纏態(tài)的光子，讓處于下路的光子通過一個(gè)前有1/4 的波片的雙縫，雙縫后面放一個(gè)探測(cè)器，在上路末尾再放一個(gè)探測(cè)器.調(diào)整距離來保證上路光子先到達(dá)，下路光子再經(jīng)過雙縫.光子通過1/4 的波片時(shí)做了標(biāo)記，通過某種手段可以知道光子具體通過了哪條縫. 將上、下路的兩個(gè)探測(cè)器用一個(gè)電腦連起來，進(jìn)行聯(lián)合計(jì)數(shù)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，則發(fā)現(xiàn)干涉條紋消失了. 若嘗試將路徑信息擦除掉，再觀察會(huì)不會(huì)形成干涉條紋. 在上路探測(cè)器之前插入一個(gè)起偏器，擦除對(duì)光子的標(biāo)記，就無法推測(cè)出光子通過的是哪一條縫，完成實(shí)驗(yàn)后又發(fā)現(xiàn)干涉條紋又回來了.這就說明光的路徑信息和干涉條紋是互補(bǔ)的，二者只能取其一.

Dürr[11]等在一個(gè)原子干涉儀上做了一個(gè)確定路徑的實(shí)驗(yàn)，即用一束冷原子對(duì)光駐波的衍射，可以觀察到高對(duì)比度的衍射圖樣.在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中沒有用到雙縫，也沒必要去測(cè)定原子的位置，而使用原子的內(nèi)部態(tài)來標(biāo)記原子束的不同路徑，衍射圖樣會(huì)立刻消失.這個(gè)實(shí)驗(yàn)中沒有了測(cè)量?jī)x器的不可控干擾，他們提出另一種看法:即用粒子間的量子糾纏來解釋干涉條紋的消失，knight[12]也認(rèn)為干涉條紋的消失與糾纏有關(guān).

本研究中，我們提出了一種以α 粒子為入射粒子通過兩個(gè)金原子之間的模型，基于量子力學(xué)束縛態(tài)理論研究了微觀粒子波粒二象性的關(guān)系，并與夫瑯禾費(fèi)單縫衍射公式bsinθ =(k+1/2)λ進(jìn)行了比較.

1 量子力學(xué)束縛態(tài)理論計(jì)算方法

以兩個(gè)原子核的連線為y 軸，將兩個(gè)原子核連線的中點(diǎn)設(shè)成坐標(biāo)軸的交點(diǎn)(0，0)點(diǎn)，假設(shè)α 粒子束縛于y 軸，再由定態(tài)薛定諤方程就可以求解出概率密度的極大值[13]，從而得到衍射過程中單個(gè)α 粒子經(jīng)過兩個(gè)原子核之間時(shí)量子化的瞄準(zhǔn)距離.

考慮單個(gè)α 粒子與兩個(gè)金原子核的相互作用勢(shì)能函數(shù)，則α 粒子受到的庫侖勢(shì)能為:

上式庫侖勢(shì)的勢(shì)函數(shù)如圖1 所示:

圖1 勢(shì)函數(shù)Fig.1 Potential function

定態(tài)薛定諤方程為:

為了得到這個(gè)變系數(shù)二階常微分方程的近似解，我們解出了在原點(diǎn)附近方程的解，即:

以下分別是基態(tài)波函數(shù)、第一激發(fā)態(tài)波函數(shù)和第二激發(fā)態(tài)波函數(shù):

基態(tài)概率密度、第一激發(fā)態(tài)概率密度和第二激發(fā)態(tài)概率密度分別為:

波函數(shù)如圖2 所示(A 為基態(tài)波函數(shù)，B 為第一激發(fā)態(tài)波函數(shù)，C 為第二激發(fā)態(tài)波函數(shù))，概率密度如圖3 所示(A 為基態(tài)概率密度，B 為第一激發(fā)態(tài)概率密度，C 為第二激發(fā)態(tài)概率密度).

圖2 波函數(shù)Fig.2 Wave function

根據(jù)下式:

基態(tài)概率密度、第一激發(fā)態(tài)概率密度和第二激發(fā)態(tài)概率密度對(duì)應(yīng)的極大值為:

此外，α 粒子在xoy平面內(nèi)于不同位置的庫侖勢(shì)能為:

2 結(jié)果與討論

我們參考已有的實(shí)驗(yàn)參數(shù)，將靶原子間距b設(shè)為1 ×10-6m，選取Zr為2 的 α 粒子以及Zp為79 的 Au 原子，在此基礎(chǔ)上通過公式(21)和公式(22)計(jì)算出了第一和第二激發(fā)態(tài)的坐標(biāo)y1= ±1.094 867 3×10-9m和y2= ±1.731 137 2×10-9m，并將此數(shù)值作為一級(jí)和二級(jí)明紋對(duì)應(yīng)的瞄準(zhǔn)距離，利用經(jīng)典動(dòng)力學(xué)理論模擬α粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，動(dòng)力學(xué)時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)為t =1×10-10s，考慮到α 粒子脫離兩個(gè)金原子核后，電子的屏蔽作用明顯，我們將α 粒子受到的原子力進(jìn)行了修正，通過測(cè)試采用了修正因子0.007，本研究分別采用初速度為 5 000 m/s、6 000 m/s、7 000 m/s、8 000 m/s、9 000 m/s、 10 000 m/s、 11 000 m/s、 12 000 m/s、13 000 m/s、14 000 m/s 的 α 粒子進(jìn)行入射，在經(jīng)典的力學(xué)方法基礎(chǔ)上，以分子動(dòng)力學(xué)計(jì)算方法作為參考，根據(jù)單個(gè)α 粒子在x 軸方向入射后力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡計(jì)算出正弦值.

結(jié)果如表1 和表2 所示，表1 為α 粒子單縫衍射一級(jí)明紋衍射角的正弦值，表2 為α 粒子單縫衍射二級(jí)明紋衍射角的正弦值，我們將量子束縛態(tài)理論結(jié)果與夫瑯禾費(fèi)單縫衍射公式bsinθ =(k+1/2)λ，(k=1，2，3…)進(jìn)行了比較[14-15]，結(jié)果表明，微觀粒子的束縛態(tài)理論結(jié)果與波動(dòng)性理論結(jié)果相吻合，尤其是以及明紋衍射角的相對(duì)誤差達(dá)到了0.69%，最大相對(duì)誤差也只有10.43%.然而，與一級(jí)明紋相比，二級(jí)明紋衍射角正弦值的相對(duì)誤差明顯增加，其最大值達(dá)到了27.91%，我們認(rèn)為這是由于定態(tài)薛定諤方程中使用的勢(shì)能函數(shù)為原點(diǎn)附近的近似值，因此越脫離原點(diǎn)其相對(duì)誤差就越大.

表1 α 粒子單縫衍射一級(jí)明紋衍射角的正弦值Table 1 Sine of angle for the first diffraction maximum in the single-slit diffraction of α Particles

表2 α 粒子單縫衍射二級(jí)明紋衍射角的正弦值Table 2 Sine of angle for the second diffraction maximum in the single-slit diffraction of α Particles

3 結(jié)論

我們建立了一種α 粒子為入射粒子通過兩個(gè)金原子之間的散射模型，基于量子力學(xué)束縛態(tài)理論研究了微觀粒子波粒二象性的關(guān)系，依據(jù)束縛態(tài)理論，α粒子經(jīng)過兩個(gè)金原子核之間時(shí)，它的空間分布是量子化的，我們稱其為量子化的瞄準(zhǔn)距離，結(jié)合經(jīng)典力學(xué)理論，量子化的瞄準(zhǔn)距離必然會(huì)導(dǎo)致出現(xiàn)明暗相間的條紋.通過與夫瑯禾費(fèi)單縫衍射公式進(jìn)行比較，我們發(fā)現(xiàn)微觀粒子的束縛態(tài)理論結(jié)果與波動(dòng)性理論結(jié)果相吻合.然而，量子力學(xué)束縛態(tài)理論的結(jié)果與夫朗禾費(fèi)單縫衍射公式仍存在一定的相對(duì)差值，尤其是二級(jí)明紋衍射角正弦值的相對(duì)誤差明顯增加，我們認(rèn)為這是因?yàn)閯?shì)函數(shù)選取了原點(diǎn)附近變系數(shù)二階常微分方程的近似解.

由于該理論采用了變系數(shù)二階常微分方程在原點(diǎn)附近的近似解，因此無法驗(yàn)證高激發(fā)態(tài)的結(jié)果，除此之外，我們的方法無法對(duì)衍射暗紋給出很好的解釋，這都需要對(duì)該理論進(jìn)行更深入的研究.