三角形中45°角的處理策略

文／沈飛鴻

（作者單位：江蘇省蘇州市太倉市浮橋中學(xué)）

三角形問題大都從“線段”“角度”和“運(yùn)動(dòng)方式”這三種角度給出條件和求解，相比于“線段”，諸如30°、45°、60°等特殊的“角度”是同學(xué)們在解題中經(jīng)常會(huì)遇到的。本文以2021 年江蘇省連云港市的中考題為例，剖析45°角的不同處理方法，幫助同學(xué)們用類比的方法了解特殊角的處理策略。

例如圖1，拋物線y=mx2+（m2+3）x-（6m+9）與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，已知B（3，0）。

圖1

（1）求m的值和直線BC對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）P為拋物線上一點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），若S△PBC=S△ABC，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）Q為拋物線上一點(diǎn)，若∠ACQ=45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)。

【解析】（1）（2）兩問的答案為：（1）m=-1，直線BC的表達(dá)式為y=x-3；（2）P的坐標(biāo)為（2，1），（。

第（3）問如果從構(gòu)造等腰直角三角形、構(gòu)造相似三角形和構(gòu)造全等三角形這三個(gè)角度處理45°角，可以有三種不同的解法。

解法一：如圖2，過點(diǎn)A作線段AC的垂線，交射線CQ于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MD⊥AB于點(diǎn)D。

圖2

∵A（1，0），C（0，-3），∴M（4，-1），

∴直線CM的表達(dá)式為。

∵點(diǎn)Q是拋物線y=-x2+4x-3 與直線CM的交點(diǎn)，∴聯(lián)立兩個(gè)方程，解得。

【點(diǎn)評】在直角坐標(biāo)系中出現(xiàn)等腰直角三角形，很容易想到構(gòu)造“一線三直角”的“K 字相似形”，等腰又能帶來邊相等，把相似進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為全等。因此，“構(gòu)造K 字相似形”和45°角配合起來，有“1+1＞2”的效果。

解法二：如圖3，在y軸上取點(diǎn)M、N，使∠AMC=∠QNC=45°。

圖3

【點(diǎn)評】在y軸上找到點(diǎn)M（點(diǎn)C上方）、點(diǎn)N（點(diǎn)C下方），使得∠AMC=∠ACQ=∠CNQ=45°，則△AMC∽△CNQ，這是常見的構(gòu)建“一線三等角”相似形的方法。

解法三：如圖4，將△AOC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得△A′O′C。

圖4

【點(diǎn)評】本題除了有∠ACQ=45°外，還隱含了∠OCB=45°，因此，我們可以把△AOC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，即可求出直線CQ上的一點(diǎn)A′的坐標(biāo)，從而借助直線CA′的表達(dá)式得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)。本解法中的45°角，除了是兩條線段的“夾角”外，也可以是三角形旋轉(zhuǎn)前后的“旋轉(zhuǎn)角”。

上面介紹的前兩種解法，都是通過構(gòu)造“一線三等角”的全等形和相似形，把不方便計(jì)算的線段AC、CQ，轉(zhuǎn)化成“橫平豎直”的或斜向45°的方便計(jì)算的線段之間的關(guān)系，從而建立方程求解。解法三則是通過旋轉(zhuǎn)45°，將斜向△A′O′C和兩邊“橫平豎直”的容易計(jì)算的△AOC建立起全等關(guān)系，從而解決問題。這里，變的是45°角的處理方法，不變的是“化斜為直”從而化繁為簡的思想方法。