中考中三角形面積問(wèn)題的解決策略

文／龔 輝

（作者單位：江蘇省太倉(cāng)市高新區(qū)中學(xué)）

三角形的面積問(wèn)題因變化多端、解法多樣，經(jīng)常出現(xiàn)在中考試卷上。三角形面積問(wèn)題又經(jīng)常與動(dòng)點(diǎn)相結(jié)合，產(chǎn)生兩大難點(diǎn)：一是導(dǎo)致了圖形的不確定性，考查分類思想以及對(duì)動(dòng)態(tài)圖形的想象和處理能力；二是會(huì)引入?yún)?shù)，考查含參坐標(biāo)或含參線段的運(yùn)算。倘若三角形的底和高均含參數(shù)，則三角形面積的代數(shù)式會(huì)呈現(xiàn)二次函數(shù)關(guān)系，中考時(shí)常?？勺鲞M(jìn)一步的研究，如最值問(wèn)題、取值范圍和定值問(wèn)題等。下面選取中考試卷中的幾道典型試題從三個(gè)角度進(jìn)行剖析。

一、直接利用面積公式

例1（2020·山東濟(jì)南）如圖1，拋物線y=-x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C。在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（m，0）（0＜m＜3），過(guò)點(diǎn)E作直線l⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)M。

圖1

（1）求拋物線的表達(dá)式及C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）連接BM并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)N，連接AM、OM，設(shè)△AEM的面積為S1，△MON的面積為S2，若S1=2S2，求m的值。

【解析】（1）用待定系數(shù)法即可求解，易得y=-x2+2x+3，C（0，3）。

（2）∵E（m，0），

【點(diǎn)評(píng)】第（2）問(wèn)中△AEM和△MON，均有一條邊是軸上線段（線段AE和ON）。求這樣的三角形面積，主要的解題策略就是直接運(yùn)用三角形的面積公式，用含參線段得到關(guān)于面積的方程后求解。本題的難點(diǎn)是含參表達(dá)式、含參坐標(biāo)和含參線段之間的轉(zhuǎn)化與運(yùn)算。

二、利用相似三角形轉(zhuǎn)化比例

例2（2016·江蘇蘇州）如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=，E、F分別是AD、CD的中點(diǎn)，連接BE、BF、EF。若四邊形ABCD的面積為6，則△BEF的面積為（ ）。

圖2

【解析】連接AC，如圖3，易得S△ABC=4。

圖3

【點(diǎn)評(píng)】直接用三角形面積公式求△BEF的面積有一定的難度，因此考慮面積割補(bǔ)法：S△BEF=S四邊形BEDF-S△DEF。在計(jì)算△DEF的面積時(shí)，連接AC可達(dá)到一舉兩得的效果：一方面得到了等腰直角△ABC，另一方面可以構(gòu)造三角形相似，然后利用相似三角形的性質(zhì)得到。我們總結(jié)的解題策略是：當(dāng)直接用面積公式求解困難時(shí)，不妨用面積割補(bǔ)法進(jìn)行轉(zhuǎn)化；在求解時(shí)還可以優(yōu)先尋找相似三角形，利用面積比等于相似比的平方這一性質(zhì)求解。

三、利用同底等高模型轉(zhuǎn)移比例

例3（2020·四川成都）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-2）。

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖4，點(diǎn)D為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接AD、BC交于點(diǎn)E，連接BD，記△BDE的面積為S1，△ABE的面積為S2，求的最大值。

圖4

圖5

圖6

綜上可知，中考關(guān)于面積的問(wèn)題通常有三條解決途徑可供選擇，由于題目背景、圖形類型、設(shè)問(wèn)方法等變化較多，需要同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中不斷整理、提煉和總結(jié)，形成行之有效的解題策略，從而在解題時(shí)游刃有余。