全等三角形中雙垂直問題的探究

洪萍

摘要：在雙垂直條件背景下，能通過抽象、概括去認識、理解、把握全等三角形的數(shù)學本質(zhì)，熟悉基本圖形的特征.滲透學生的核心素養(yǎng)，增強學生的數(shù)學素養(yǎng)與數(shù)學學習的能力，培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識.

關鍵詞：雙垂直;核心素養(yǎng);解題策略

引言：

在全等三角形的問題中，經(jīng)常會添加雙垂直的條件，如何使學生能更好地理解全等三角形的概念，能通過抽象、概括去認識、理解、把握全等三角形的數(shù)學本質(zhì)，在本文中對解決此類型的問題，進行了解題策略的探究。

一、從圖形與圖形的關系中抽象出全等三角形的概念，從雙垂直的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)

1.如圖，DC⊥CA，EA⊥CA，CD=AB，CB=AE，求證：

（1）△BCD≌△EAB;

（2）DB⊥BE.

解題策略：在證明第（1）題時，結(jié)合圖形，從DC⊥CA，EA⊥CA，的雙垂直條件中，找出∠C=∠A=90°后，應用“S.A.S.”證明兩個三角形全等，第（2）題應用“全等三角形對應角相等”得到∠D=∠ABE，再通過“直角三角形的兩銳角互余”得到∠D+∠CBD=90°，使得∠ABE+∠CBD=90°，就容易推理出DB⊥BE。

本題在雙垂直條件的背景下，尋找證明全等三角形的條件，應用全等三角形和直角三角形的性質(zhì)證明線段垂直.幫助學生理解全等三角形的概念、性質(zhì)，熟悉基本圖形的特征。

數(shù)學抽象是數(shù)學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數(shù)學的本質(zhì)特征，在數(shù)學抽象核心素養(yǎng)的形成過程中，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗.學生能更好地理解數(shù)學概念、性質(zhì)，能通過抽象、概括去認識、理解、把握事物的數(shù)學本質(zhì)，能逐漸養(yǎng)成一般性思考問題的習慣。

二、能掌握全等三角形推理的基本形式，能理解雙垂直和全等三角形圖形之間的聯(lián)系，建構(gòu)知識框架

2.如圖，CB⊥AD，AE⊥DC，垂足分別為B、E，AE、BC相交于點F，且AB=BC，求證：△ABF≌△CBD.解題策略：由雙垂直條件CB⊥AD，AE⊥DC，找出∠ABF=∠CBD=∠AED=90°，可以利用“直角三角形的兩銳角互余”得到∠AFB=∠CDB，或者找到“8字型”的△ABF和△CEF，利用“三角形的內(nèi)角和等于180°”得到∠A=∠C，再運用“A.S.A.”證明△ABF≌△CBD。

本題在雙垂直條件背景中，利用“直角三角形的兩銳角互余”或者“8字型”模型，找出證明全等三角形的條件，使學生掌握一題多解的證明方法，經(jīng)歷演繹推理的過程。

關于全等三角形的三個基本事實，是進行演繹推理的重要推理，學生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出命題，表述論證的過程，形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，增強數(shù)學交流能力。

三、對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學知識與方法構(gòu)建全等三角形模型解決問題

3.如圖，王強同學用10快高度都是2㎝的相同長方體彩色小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角尺ABC（AC=BC，∠ACB=90°），點C在地面DE上，點A和B分別與木墻的頂端恰好重合，求兩堵木墻之間的距離DE，并說明理由。

解題策略：在實際情境中發(fā)現(xiàn)，與地面雙垂直的木墻之間的等腰直角三角尺ABC，找出∠ADC=∠BEC=∠ACB=90°，利用“直角三角形的兩銳角互余”得到∠CAD=∠BCE，運用“A.A.S.”證明△ACD≌△CBE.應用“全等三角形的對應邊相等”推理出CD=BE，AD=CE.就容易求出DE長。

本題對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，在雙垂直的背景下，構(gòu)建全等三角形模型解決問題。

數(shù)學模型構(gòu)建了數(shù)學與外部世界的橋梁，是數(shù)學應用的重要形式.數(shù)學建模是應用數(shù)學解決實際問題的基本手段，也是推動數(shù)學發(fā)展的動力。

四、利用圖形描述、分析數(shù)學問題，構(gòu)建數(shù)學問題的直觀模型，探索解決問題的思路

4.如圖，已知AD⊥BC于點D，AD=BD，AC=BE.

（1）求證：∠1=∠C;

（2）猜想BE和AC有何特殊位置關系，并說明理由.

解題策略：第（1）題AD⊥BC可以得到∠BDE=∠ADC=90°運用“H.L.”證明Rt△BDE≌Rt△ADC，應用“全等三角形的對應角相等”推理出∠1=∠C.第（2）題直觀想象BE⊥AC，做BE的延長線到AC，交AC于點F，應用“全等三角形的對應角相等”得到∠DBE=∠DAC.找到“8字型”的△BDE和△AEF，利用“三角形的內(nèi)角和等于180°”得到∠BDE=∠AFE=90°，說明了BE和AC有特殊位置關系：垂直。

本題在雙垂直條件的背景下，直觀想象BE和AC有特殊位置關系，運用全等三角形的數(shù)學模型，進行邏輯推理，構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)。

五、進一步發(fā)展數(shù)學運算能力，能有效借助運算方法解決實際問題，通過運算促進數(shù)學思維發(fā)展

5.如圖，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別是D、E，AD=3，BE=1，則DE= ? ? ? ? ?。

解題策略：從AD⊥CE，BE⊥CE，可知∠ADC=∠CEB=90°，利用“直角三角形的兩銳角互余”得到∠CAD=∠BCE，運用“A.A.S.”證明△ACD≌△CBE.應用“全等三角形的對應邊相等”推理出AD=CE，CD=BE，就可以計算出DE長。

本題在雙垂直的條件下，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，通過兩線段差的運算，促進數(shù)學思維發(fā)展。

在數(shù)學運算核心素養(yǎng)的形成過程中，學生能夠進一步發(fā)展數(shù)學運算能力;能有效借助運算方法解決實際問題;能夠通過運算促進數(shù)學思維發(fā)展，養(yǎng)成程序化思考問題的習慣;形成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神。

激發(fā)學生的學習興趣， 增強學生的數(shù)學素養(yǎng)與數(shù)學學習能力，體會數(shù)學的應用價值。

參考文獻：

[1]《初中數(shù)學課程標準》2021版.

[2]《淺談培養(yǎng)初中生數(shù)學核心素養(yǎng)的策略》 [J] 呂運來 天天愛科學教育前沿 2020.688114E1-4DE3-4D3A-A479-BDA8BF3674C7