代數(shù)思維在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的滲透

梁峰

摘要：什么是代數(shù)思維？ 雖然它可能包括變量和表達式，但代數(shù)思維的內(nèi)涵比代數(shù)一詞更廣泛， 也更不同。學(xué)生最初接觸乃至認識數(shù)學(xué)始于算術(shù)思維，隨后由字母的引入逐步感受代數(shù)思維， 初步感知符號意識。

關(guān)鍵詞： 代數(shù)思維;圖式;符號表征

Kieran（1996）將代數(shù)思維定義為 “使用各種表征中的任何一種，以關(guān)系的方式處理數(shù)量 問題” 。Swafford 和 Langrall（2000）對代數(shù)思維的定義與算術(shù)推理不同，算術(shù)推理涉及對已知 量的操作，而他們認為是“對未知量進行操作的能力，就像該量是已知的一樣”。Driscoll（1999） 說代數(shù)思維可以被認為是“表示數(shù)量情況的工具，以便將變量之間的關(guān)系變得明顯”。

進入初中，隨著“代數(shù)式”的學(xué)習(xí)，代數(shù)思維得以繼續(xù)強化，符號意識得以繼續(xù)滲透， 并為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。也正是代數(shù)思維的建立，為問題分析以及問題解決拓寬了思路。

（一）、特殊與一般的同化階段

梅森（1996）提出，對學(xué)生來說，重要的是要有“通過特殊性看到一般性和在一般性中看 到特殊性”的經(jīng)驗。要發(fā)展一個模式，學(xué)生必須首先解決問題。通過尋找模式和解決特殊的 案例，學(xué)生能從特殊的案例中概括出一般的模式。然后，當(dāng)學(xué)生有了經(jīng)驗后，他們就會通過 調(diào)用他們已有的固定模式來進行概括。當(dāng)學(xué)生利用一般案例尋求納入具體案例時，他們就會 觸發(fā)他們的經(jīng)驗圖式來同化或容納新的問題，以此解決方案。

Balacheff（1988）在對 13 和 14 歲的學(xué)生使用一個概括問題的研究過程中，他發(fā)現(xiàn)，這些 學(xué)生使用四個階段或?qū)哟晤愋偷淖C明來解決這個問題的一般情況。第一個階段是通過只看幾 個案例來做出關(guān)于一般性的猜想。這個階段之后是學(xué)生根據(jù)特定的例子來檢驗他們的概括性。 在第三階段，學(xué)生表現(xiàn)出需要考慮所有可能的情況的意識。在第四階段，學(xué)生做出了明確的 概括。在具體的研究結(jié)果中，Balacheff 和 Mason 等人發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生只使用了前兩個階段 的概括和證明。

（二）、情境化模式下的圖式構(gòu)建

Confrey（1997）提出，幫助學(xué)生研究數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中的相關(guān)問題和發(fā)展代數(shù)思維的一種方法是 基于情境的方法。通過使用情境法，教師可以幫助學(xué)生整理各種情況的共性，看到代數(shù)思維 的重要方面，即一個量的變化與另一個量的變化之間的關(guān)系，并進行概括。

通常情況下，學(xué)生能夠很容易地認識到新的問題情境，并吸收他們現(xiàn)有的模式來解決這 些問題。然而，很多時候，他們需要遷就自己現(xiàn)有的模式，否則就演變?yōu)榧兇獾挠洃?。記?可以通過死記硬背的方式進行，而學(xué)生卻在死記硬背的過程中，很少或根本不理解被記憶的 片段意味著什么。一個人可能會記住孤立的知識片段，這些片段與任何其他知識都沒有聯(lián)系。 于是圖式的構(gòu)建就為新問題情境的吸收奠定了基礎(chǔ)。

圖式的形成和發(fā)展意味著個體必須理解概念以識別和構(gòu)建模式。Marshall（1995）強調(diào)，個 人記憶模式的方式與記憶公式或定義的方式不同。Sfard（1991）將記憶描述為非結(jié)構(gòu)化的、有 順序的認知模式，不足以建立有意義的理解。非結(jié)構(gòu)化、順序化的圖式“很難成為同化新知 識的場所” 。這種類型的模式是橫向的、淺層的、寬泛的，有一些沒有聯(lián)系的信息碎片。相 反，個體要想使用模式，就必須將新經(jīng)驗與先前的知識建立聯(lián)系。

（三）、突破原型思維的框架

代數(shù)思維在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中往往會滲透一些原型思維。原型思維的另一個嚴重問題 是其嚴謹程度不足以進行數(shù)學(xué)推導(dǎo)。正如 Poincare（1996）指出： “許多學(xué)習(xí)者除非在他們周圍 找到這樣那樣的對應(yīng)這一性質(zhì)的數(shù)學(xué)對象，否則他們就不會理解此知識概念。”在每一個概念

下，他們要將其放入一個合理的形象，在理解該數(shù)學(xué)概念時才會喚起這個形象。并在后續(xù)的 每一個階段的演示中，他們只有在看到這個形象的轉(zhuǎn)化和發(fā)展下，才會理解和保留他們所理 解的東西。例如在畫線方面，大部分學(xué)生畫的是正斜率的線，極小部分學(xué)生畫的是負斜率的 線，正是由于明顯的原型是正斜率、過原點的直線，經(jīng)過以為原點; 在畫圓方面，受以原點 為中心的圓的影響，絕大部分的學(xué)生也確實畫了一個以原點為中心的圓。

經(jīng)過上述的文獻研究及教學(xué)一線現(xiàn)狀看來，許多學(xué)生在代數(shù)方面存在嚴重的認知問題， 尤其是在看到代數(shù)公式的結(jié)構(gòu)和理解其抽象符號方面。代數(shù)教學(xué)往往通過在類似任務(wù)中練習(xí) 代數(shù)計算來關(guān)注基本技能（Arcavi et al.，2017） 。然而，許多學(xué)生在何時使用這些基本技能和尋 找解決代數(shù)問題的策略方面遇到了問題，而出現(xiàn)問題的關(guān)鍵就在于他們?nèi)狈Ψ柛?。對代?shù) 公式的洞察力是符號感的一個方面，包括識別公式的結(jié)構(gòu)和關(guān)鍵特征，以及對公式的定性推 理和關(guān)于公式的推理。例如在學(xué)習(xí)函數(shù)的過程中，將公式和圖形等表征聯(lián)系起來是非常重要 的，并且可以用來賦予代數(shù)公式以意義。在解決問題的過程中，甚至可以通過圖形將公式可 視化，便于學(xué)生理解問題情境、記錄信息及評價結(jié)果等。

袁婕妤（2021） 指出，在培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思維的過程中，教師要有意識的引導(dǎo)學(xué)生對舊知 識進行遷移和應(yīng)用，從批判的角度展開學(xué)習(xí)探究，這對于提高學(xué)生的深度學(xué)習(xí)效果，促進教 學(xué)質(zhì)量的提升具有重要作用。在遷移舊知識的過程中，學(xué)生能夠更為清晰的了解到代數(shù)的特 點，并將其與新知識的學(xué)習(xí)結(jié)合到一起，不斷提高代數(shù)理解能力，學(xué)會對代數(shù)進行有效推導(dǎo)。 除此之外，教師還應(yīng)該鼓勵學(xué)生結(jié)合先前所學(xué)代數(shù)知識建構(gòu)代數(shù)框架，從而對整個階段的代 數(shù)有一個更為全面的了解，并有效提升代數(shù)思維。

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部. （2003） 普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）.人民教育出版社.

[2] 中華人民共和國教育部. （2017） 普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017 版）.人民教育出版社.

[3] 鮑建生， & 周超. （2009）. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程. 上海教育出版社.

[4] 袁婕妤.（2021）.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生代數(shù)思維的培養(yǎng)策略. 數(shù)理化解題研究（35），42-43.