數(shù)學(xué)符號教學(xué)：基于原理，發(fā)揮價(jià)值

摘要：數(shù)學(xué)符號教學(xué)，應(yīng)以“認(rèn)知的歷史發(fā)生原理”為指導(dǎo)。同時(shí)，要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)符號的教學(xué)價(jià)值：在新符號引入的過程中增強(qiáng)數(shù)學(xué)創(chuàng)造意識(shí)，在數(shù)學(xué)符號創(chuàng)設(shè)的完整過程中發(fā)展數(shù)學(xué)審美能力，在體悟數(shù)學(xué)符號的思維功能時(shí)感悟數(shù)學(xué)思想方法，在把握數(shù)學(xué)符號的意義、內(nèi)涵時(shí)深度理解數(shù)學(xué)知識(shí)，在數(shù)學(xué)符號演變的過程中感受數(shù)學(xué)文化。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)符號;“認(rèn)知的歷史發(fā)生原理”;教學(xué)價(jià)值;數(shù)學(xué)語言;數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)的特殊文字，是表明數(shù)學(xué)的概念、運(yùn)算、關(guān)系和推理的數(shù)學(xué)語言，它使得數(shù)學(xué)思維過程準(zhǔn)確、概括、簡明，從而更容易揭示數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)。數(shù)學(xué)符號作為數(shù)學(xué)學(xué)科至關(guān)重要的內(nèi)容，在數(shù)學(xué)教學(xué)中也具有很重要的價(jià)值。但是，從實(shí)際情況來看，數(shù)學(xué)符號的學(xué)習(xí)基本上是接受性、被動(dòng)性的，引入符號的決定權(quán)在教師，用什么符號表示也由教師確定，教學(xué)方式就是“記憶（教師給出，學(xué)生記憶）+注意（教師說明幾個(gè)注意點(diǎn)）”。這樣的方式導(dǎo)致蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)符號中的教學(xué)價(jià)值無法發(fā)揮，學(xué)生對數(shù)學(xué)符號語言的理解、運(yùn)用能力比較薄弱。這可以由考試中學(xué)生在運(yùn)用新符號表述的問題上表現(xiàn)不佳得到佐證。

本文從數(shù)學(xué)符號的類別與來源出發(fā)，重點(diǎn)談一談筆者對數(shù)學(xué)符號教學(xué)的一些思考。

一、數(shù)學(xué)符號的類別與來源

了解數(shù)學(xué)符號的基本知識(shí)，有助于在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)對象的符號創(chuàng)設(shè)或選擇。

從作用上，數(shù)學(xué)符號可以分為以下四類：

一是元素符號：表示數(shù)或幾何圖形的符號。如：表示數(shù)字的符號，如0、1、2、3、4、5、6、7、8、9;表示數(shù)的字母，如a、b、c、x、y、z;表示特定常數(shù)的字母，如e、i、π;表示三角形邊的字母，如a、b、c;表示三角形角的字母，如A、B、C;表示圖形類型的符號，如∠、△、⊙。

二是關(guān)系符號：表示數(shù)、式、形等數(shù)學(xué)對象之間關(guān)系的符號，如=、>、<、≥、≤、≈、∽、≌、、∈、。

三是運(yùn)算符號：表示按照某種規(guī)定進(jìn)行運(yùn)算的符號，如+、-、×、÷、·、、∑、sin、cos、log、lim、∫，以及行列式符號、矩陣符號。

四是輔助符號。為了便于表達(dá)和運(yùn)算，數(shù)學(xué)中還引進(jìn)了一些符號，用于表示某些特定的式子或某種特定的意義。如：Δ（一元二次方程根的判別式）、n！、Anm、max、min;括號（）、[]、{};三角形全等的條件“SSS”“SAS”“ASA”;隨機(jī)事件的概率P（A），隨機(jī)變量的期望E（X）、方差D（X）;樣本的均值x、方差s2等。

數(shù)學(xué)符號也可以按照數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)域來劃分。各個(gè)領(lǐng)域中都要運(yùn)用一系列專門的符號，如數(shù)理邏輯中等。

數(shù)學(xué)符號的創(chuàng)設(shè)或選擇沒有固定的規(guī)則，但也有某些規(guī)律。數(shù)學(xué)符號的來源主要有以下五類：

第一類：用英文、拉丁文單詞的第一個(gè)字母或前幾個(gè)字母，如表示概率的“P”即英文單詞“probability”（概率）的第一個(gè)字母，正弦函數(shù)“sin”即英文單詞“sinusoidal”（正弦曲線）的前三個(gè)字母。有時(shí)，還會(huì)用第一個(gè)字母的變形，如相似符號“∽”是英文單詞“similar”（相似）第一個(gè)字母s的平躺寫法，積分符號“∫”是拉丁文單詞“summa”（和）第一個(gè)字母s的拉長寫法。

第二類：從直觀形象上讓人望形生意，如∠、⊥等。

第三類：從結(jié)構(gòu)、形狀上隱喻含義，如=、<、>等。

第四類：從相關(guān)的符號演變而來，如“×”由“+”斜寫而得。

第五類：由名人約定，如積分符號、階乘符號、∵、∴等。

不少數(shù)學(xué)符號蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)家們的奇異思想，如根號、積分符號等，都有著各自美麗的故事。

二、用“認(rèn)知的歷史發(fā)生原理”指導(dǎo)數(shù)學(xué)符號教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)需要考察兩個(gè)層面的問題：一是學(xué)習(xí)內(nèi)容，即數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)以及歷史發(fā)展過程;二是學(xué)習(xí)主體，即學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律以及認(rèn)知發(fā)展過程。根據(jù)“認(rèn)知的歷史發(fā)生原理”，個(gè)體的數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展過程與對應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史發(fā)展過程相一致，這兩個(gè)方面具有內(nèi)在的邏輯關(guān)聯(lián)性（在認(rèn)知邏輯上）。這一原理對符號教學(xué)有一定的指導(dǎo)意義。

例如，用字母表示數(shù)在數(shù)學(xué)符號史上是一個(gè)重要事件，并且隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，其意義、觀念也在發(fā)展和進(jìn)化。用字母表示數(shù)的學(xué)習(xí)，也大致需要經(jīng)歷這樣的過程。

大約在公元3世紀(jì)，丟番圖就開始用字母表示數(shù)，他用“”表示待定數(shù)，這里字母表示的數(shù)本質(zhì)上是確定的。到了16世紀(jì)，韋達(dá)創(chuàng)立了符號體系，他用母音字母表示未知量，用子音字母表示已知量。后來，笛卡兒將其調(diào)整為用a、b、c等表示已知量，用x、y、z等表示未知量。從這時(shí)起，字母可以表示“任意”數(shù)，這就使得用a+b=b+a表示加法交換律成為可能，進(jìn)而，數(shù)學(xué)就從算術(shù)時(shí)代進(jìn)入代數(shù)時(shí)代。此外，韋達(dá)將一元二次方程的兩個(gè)根分別用符號x1、x2表示。這不僅擴(kuò)大了字母表示數(shù)的范圍，豐富了表示方式，也使字母表示的數(shù)的類別得到了區(qū)分，條理得到了梳理。而雙下標(biāo)、多下標(biāo)的使用，將符號觀念從一維空間拓展到了二維、多維空間，使人類數(shù)學(xué)觀得到了進(jìn)一步提升。這些素材在中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中大量存在，厘清它們之間的關(guān)系，對數(shù)學(xué)教學(xué)如何根據(jù)歷史過程設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)過程是十分有益的。

又如，數(shù)的概念及其符號表示是學(xué)生在小學(xué)剛?cè)雽W(xué)甚至在幼兒園就開始學(xué)習(xí)的最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)，它與人類文明相伴而生。下面，筆者重點(diǎn)以這一內(nèi)容為例，談?wù)勅绾胃鶕?jù)歷史過程設(shè)計(jì)教學(xué)。

據(jù)了解，在幼兒園，教師就開始教小朋友認(rèn)識(shí)阿拉伯?dāng)?shù)字1、2、3、4、5、6、7、8、9，教學(xué)方式大多為“象形兒歌”：“1”像小棒，“2”像小鴨子……這種教學(xué)，是識(shí)字教學(xué)，不是有意義的記數(shù)教學(xué)。面對幼兒，可以進(jìn)行有意義的記數(shù)教學(xué)嗎？回顧人類建立數(shù)的概念、建構(gòu)數(shù)字的歷史過程，在初始階段，我們的祖先與現(xiàn)在的幼兒的認(rèn)知水平基本相當(dāng)（由于文化因素的影響，現(xiàn)在的幼兒可能比當(dāng)初我們的先祖的認(rèn)知基礎(chǔ)還要好一些）。因此，相應(yīng)的歷史過程可以成為最好的啟發(fā)方式。基于幼兒的認(rèn)知水平，通過游戲的形式再現(xiàn)數(shù)的概念及其符號表示的歷史過程，促進(jìn)幼兒建構(gòu)數(shù)的概念，通過“象形”語言逐步抽象出數(shù)字符號，應(yīng)該是可能的，至少是可以做適當(dāng)?shù)膰L試的。

下面，是筆者設(shè)計(jì)的教學(xué)簡案：

【課題1】 手指記數(shù)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：認(rèn)識(shí)數(shù);用圖形（線條）表示數(shù)，初步符號化（圖形符號）。

師（出示一個(gè)蘋果的實(shí)物或圖片）這里有一個(gè)蘋果，一個(gè)蘋果如何用手指表示？怎樣將這種表示方法畫出來？一個(gè)蘋果對應(yīng)一個(gè)什么？

師（出示兩個(gè)蘋果的實(shí)物或圖片）我們將現(xiàn)在的蘋果個(gè)數(shù)說成“兩”或“二”，如何用手指表示？怎樣將這種表示方法畫出來？一個(gè)蘋果對應(yīng)一個(gè)什么？

【課題2】 結(jié)繩記數(shù)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：鞏固對數(shù)的認(rèn)識(shí);繼續(xù)用圖形（線條或點(diǎn)）表示數(shù)，初步符號化（圖形符號）。

師古時(shí)候，一個(gè)牧羊人是怎樣知道晚上回到山洞的羊的個(gè)數(shù)與早上出去的羊的個(gè)數(shù)相同的呢？出去時(shí)，每出一只羊，就在繩子上打一個(gè)結(jié);回來時(shí)，每進(jìn)一只羊，就數(shù)一個(gè)結(jié)。

師一只羊，在繩上打一個(gè)結(jié)，怎樣在紙上用圖形來表示呢？兩只羊呢？三只羊呢？……一只羊?qū)?yīng)一個(gè)什么？

學(xué)生可以畫一條、兩條、三條……線，也可以畫一個(gè)、兩個(gè)、三個(gè)……點(diǎn)。展示學(xué)生的成果，讓他們表述自己的圖的意思（將數(shù)的概念與表征融合起來教學(xué)）。

【課題3】 算籌記數(shù)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：從線條表示到算籌表示，符號化水平適當(dāng)提高。

給每個(gè)學(xué)生發(fā)一套算籌。以手指記數(shù)的圖形表示為基礎(chǔ)，介紹算籌（只介紹最簡單的記數(shù)，最多10以內(nèi)）。

先讓學(xué)生設(shè)法用算籌分別表示數(shù)字1、2、3、4，并將自己用算籌擺的數(shù)畫到紙上。

再讓學(xué)生用算籌表示5、6……在肯定他們想法的基礎(chǔ)上，介紹我國古代是怎樣用算籌表示5、6……的。

【課題4】 算盤記數(shù)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：從點(diǎn)表示到算珠表示，進(jìn)一步增強(qiáng)感性認(rèn)識(shí)。

給每個(gè)學(xué)生發(fā)一個(gè)小算盤。以結(jié)繩（點(diǎn)）記數(shù)為基礎(chǔ)，介紹中國傳統(tǒng)計(jì)算工具算盤（只介紹10以內(nèi)的數(shù)的表示方法）。從1、2、3這幾個(gè)最簡單的數(shù)開始，讓學(xué)生用算盤表示。

【課題5】 古羅馬數(shù)字

學(xué)習(xí)目標(biāo)：用較接近圖形表示、實(shí)物表示的符號形式進(jìn)行符號化。

在學(xué)生對數(shù)的概念有了足夠認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，以用手指表示數(shù)的圖、算籌表示數(shù)的圖等介紹古羅馬數(shù)字1、2、3的表示方法;重點(diǎn)介紹5的表示法“Ⅴ”，先用一只手的記號表示5（整體觀），再將手的圖簡化為“Ⅴ”;再介紹6、7、8的表示方法;最后介紹10及4、9的表示方法。

如果有學(xué)生建議用“橫”表示“1”，也可以順便介紹漢語中的數(shù)字一、二、三等。

【課題6】 阿拉伯?dāng)?shù)字

學(xué)習(xí)目標(biāo)：在對數(shù)的概念有了一定認(rèn)識(shí)和對用符號表示數(shù)有了較多感性認(rèn)知的基礎(chǔ)上，介紹最常用的數(shù)字表示法——阿拉伯?dāng)?shù)字。

首先說明人們總是希望符號越簡單、越方便書寫越好，然后介紹阿拉伯?dāng)?shù)字：逐一介紹，先看后寫，與古羅馬數(shù)字一一對照，并配以相應(yīng)的兒歌，讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)。

這里需要指出的是，筆者沒有教過幼兒和小學(xué)生，上述教學(xué)簡案是否可行，有待實(shí)踐檢驗(yàn)。但是，如何從盡可能低的年齡開始，讓學(xué)生經(jīng)歷人類知識(shí)起源與發(fā)展的過程，是值得研究的課題。

三、充分發(fā)揮數(shù)學(xué)符號的教學(xué)價(jià)值

數(shù)學(xué)符號的產(chǎn)生緣于相應(yīng)的數(shù)學(xué)對象的抽象、概括過程中的自然需求，是相應(yīng)的數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)特征、內(nèi)涵的語言與圖形（字符）表征。好的符號應(yīng)該能夠?qū)⑦^程與本質(zhì)濃縮其中，在符合數(shù)學(xué)審美要求的前提下，做到望“符”生義。因此，數(shù)學(xué)符號在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著非常重要的價(jià)值。

（一）在新符號引入的過程中增強(qiáng)數(shù)學(xué)創(chuàng)造意識(shí)

新的數(shù)學(xué)符號的引入伴隨著新的數(shù)學(xué)對象的確定，也就創(chuàng)造了新的數(shù)學(xué)知識(shí)。因此，幫助學(xué)生理解新符號引入的必要性、合理性，便可以激發(fā)學(xué)生“創(chuàng)造”新知識(shí)的動(dòng)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造意識(shí)。

例如，教學(xué)反正弦函數(shù)的概念時(shí)，如果只是由y=sin x在-π/2，π/2上存在反函數(shù)，就規(guī)定“其反函數(shù)叫作反正弦函數(shù)，記為x=arcsin y……”，那么學(xué)生毫無心理準(zhǔn)備，對“arcsin”這一符號的出現(xiàn)感到很突然，對其含意的理解也就不會(huì)很透徹，更沒有任何數(shù)學(xué)創(chuàng)造的需求或沖動(dòng)。筆者在教學(xué)中是這樣處理的：

師函數(shù)y=x2是否有反函數(shù)？能否縮小其定義域，使其有反函數(shù)呢？

由圖像，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)：在（-∞，0]或[0，+∞）上，函數(shù)y=x2有反函數(shù)。

師函數(shù)y=sin x有反函數(shù)嗎？在怎樣的區(qū)間上有反函數(shù)呢？

引導(dǎo)學(xué)生選取主值區(qū)間，并感受為什么要選取這一區(qū)間。

師正弦函數(shù)y=sin x在-π/2，π/2上的反函數(shù)叫作反正弦函數(shù)。

師若記反正弦函數(shù)為f-1（x），則其定義域是什么？值域呢？

根據(jù)定義，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)：反正弦函數(shù)的定義域就是上述正弦函數(shù)的值域，值域就是上述正弦函數(shù)的定義域。

師f-1（1）的值是多少？ f-1（-1）呢？f-1（0）呢？ f-112呢？ f-1-12呢？ f-132呢？f-1-32呢？

學(xué)生能直接寫出以上函數(shù)值。

師f-113呢？

學(xué)生寫不出這個(gè)函數(shù)值了。

師那么它存在嗎？它的意義是什么呢？

學(xué)生可通過與原函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系加以理解：在-π/2，π/2上使正弦值等于13的角。

師既然存在，而且不是可以直接寫出來的角，怎樣表示呢？

學(xué)生認(rèn)為，需要引進(jìn)新的符號。教師引入符號arcsin13，再用這個(gè)符號表示上述各式arcsin 1=π/2，arcsin 0=0，arcsin12=π/6……，讓學(xué)生逐步理解這個(gè)符號。最后，讓學(xué)生用求反函數(shù)的一般方法求反正弦函數(shù)的解析式：正弦函數(shù)y=sin xx∈-π/2，π/2→x=arcsin y→y=arcsin x。

這個(gè)過程是創(chuàng)造一類新函數(shù)的過程，是完善三角函數(shù)知識(shí)體系的過程，也是進(jìn)行新知識(shí)建構(gòu)的過程。數(shù)學(xué)中的很多內(nèi)容都可以這樣處理，如對數(shù)、復(fù)數(shù)符號的引入等。

（二）在數(shù)學(xué)符號創(chuàng)設(shè)的完整過程中發(fā)展數(shù)學(xué)審美能力

數(shù)學(xué)符號的創(chuàng)設(shè)或選擇需要符合一定的規(guī)則要求，并且是在符號意識(shí)下產(chǎn)生相應(yīng)的需求而進(jìn)行的創(chuàng)造性思維活動(dòng)。暴露數(shù)學(xué)思維過程包括暴露創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)符號的思維過程，也就是符號化的思維過程：為什么要符號化（怎么想到用符號進(jìn)行表示的）？如何符號化（選擇怎樣的符號）？在這一過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)美，發(fā)展數(shù)學(xué)審美能力。

例如，在推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，化簡到最后都會(huì)得到這樣一個(gè)方程：x2a2 +y2a2-c2 =1。對此，通常的教學(xué)處理是：引進(jìn)新的符號b，使b2=a2-c2。但是，如果不回答“為什么”“如何”這兩個(gè)問題，思維過程就暴露得不充分。從數(shù)學(xué)審美看，引入b使方程結(jié)構(gòu)更簡潔、更優(yōu)美;從數(shù)學(xué)本質(zhì)看，引入的b有具體的幾何意義。

事實(shí)上，對于具體的a、c（即確定的橢圓）而言，方程中y2項(xiàng)的分母其實(shí)是確定的，方程結(jié)構(gòu)也是簡潔的（因?yàn)閍2-c2就是一個(gè)確定的數(shù)）。這便讓我們難以想到需要引進(jìn)新的參數(shù)，甚至難以提出“為什么分母都要寫成平方形式？”這一問題（只有在考察一般情形時(shí)，才會(huì)出現(xiàn)a2）。而對于一些有整體觀的學(xué)生而言，他們也知道y2項(xiàng)的分母是一個(gè)具體的數(shù)，好像引進(jìn)一個(gè)新的符號也就是個(gè)形式而已，沒有什么實(shí)際意義。

對此，可以從兩個(gè)方面啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生：一方面，對于橢圓方程的一般結(jié)構(gòu)而言，將分母結(jié)構(gòu)統(tǒng)一、分子與分母的形式統(tǒng)一是數(shù)學(xué)審美的需要;另一方面，從橢圓圖形上看，x2項(xiàng)的分母的幾何意義是什么？類比于此，y2項(xiàng)的分母的幾何意義應(yīng)該是什么？你能檢驗(yàn)?zāi)愕牟孪雴?？這說明引進(jìn)新的符號（參數(shù)），統(tǒng)一結(jié)構(gòu)形式，更加必要。

經(jīng)過上述過程，學(xué)生分別從數(shù)與形兩個(gè)方面，經(jīng)過數(shù)學(xué)審美的思辨，對新符號引入的必要性與合理性有了充分的認(rèn)識(shí)。

此外，經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)符號創(chuàng)設(shè)過程，還包括留出足夠的時(shí)間和空間，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)符號的改進(jìn)過程。

例如，指數(shù)冪（n個(gè)a相乘）用怎樣的符號表示？在不看教材的前提下，讓學(xué)生自己創(chuàng)造符號，運(yùn)用數(shù)學(xué)審美眼光、數(shù)學(xué)符號基本要求，在各種“創(chuàng)造”中擇優(yōu)。教師可以通過對n個(gè)a相加的和的表示方法進(jìn)行類比啟發(fā)，對a與n的可能的相對位置進(jìn)行列舉分析，和學(xué)生一起選出最簡單、優(yōu)美的表示方式，形成指數(shù)冪的符號形式。

（三）在體悟數(shù)學(xué)符號的思維功能時(shí)感悟數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)符號本身蘊(yùn)含著豐富的思維信息，因此，數(shù)學(xué)符號教學(xué)無論是建構(gòu)符號還是運(yùn)用符號，都能讓我們體悟到其啟迪思維的功能。

首先，新的數(shù)學(xué)符號往往蘊(yùn)含著新的數(shù)學(xué)思想、新的數(shù)學(xué)觀念。比如，用字母表示數(shù)，就使我們從算術(shù)思維走向代數(shù)思維，從算術(shù)計(jì)算走向方程思想，因此，學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)觀念的飛躍，其思維方式的變化使學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力得到極大的提升。同樣，用實(shí)數(shù)對構(gòu)成的符號（x，y）表示平面內(nèi)的點(diǎn)，使得學(xué)生的坐標(biāo)思想得以確立，這也使得解析幾何的思想方法得以形成。

其次，同一對象用不同符號進(jìn)行不同表征，既可以建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系（如蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第7章《三角函數(shù)》，就是通過圓周上點(diǎn)的不同表征方式及其之間關(guān)系的研究，引出三角函數(shù)這一刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型的），又可以實(shí)現(xiàn)不同符號系統(tǒng)下知識(shí)體系的轉(zhuǎn)換，為解決問題提供新的路徑（如直線方向的傾角表征、斜率表征和向量表征之間的關(guān)系，使之可以在幾何、解析幾何、向量等領(lǐng)域之間相互轉(zhuǎn)換），還可以通過結(jié)構(gòu)聯(lián)想，找到解決問題的思路方法（如分式符號的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想其幾何意義，可以進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化，甚至可以轉(zhuǎn)化到能借助導(dǎo)數(shù)解決的問題）。

再次，符號推理可以簡化、顯化思維過程。比如，蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第2章《常用邏輯用語》的章首語就是典型案例。其內(nèi)容說的是：命題“兩個(gè)偶數(shù)的和是偶數(shù)”非常簡單，但是，如果要求加以證明，就不能說其“顯而易見”，而用普通語言又難以說清，但用符號語言進(jìn)行推理，思維過程則非常清晰。實(shí)際上，在解決問題的過程中，通過符號化進(jìn)行分析、探索，往往能簡化問題，揭示本質(zhì)。著名數(shù)學(xué)家歐拉解決“哥尼斯堡七橋問題”就是數(shù)學(xué)史上的經(jīng)典案例——不僅解決了著名的難題，而且誕生了新的數(shù)學(xué)分支，產(chǎn)生了新的數(shù)學(xué)思想方法。

最后，對數(shù)學(xué)式子進(jìn)行符號變換（其實(shí)就是恒等變換），是進(jìn)行化歸的重要途徑。比如，要研究函數(shù)y=xx的性質(zhì)，直接求導(dǎo)是難以實(shí)施的，因?yàn)檫@不是基本初等函數(shù)，沒有直接的公式可供使用，但若將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為z=ln y=xln x，則研究起來就非常簡單了。

（四）在把握數(shù)學(xué)符號的意義、內(nèi)涵時(shí)深度理解數(shù)學(xué)知識(shí)

數(shù)學(xué)符號不是固化的，而是發(fā)展的。數(shù)學(xué)符號的教學(xué)，只有重視其發(fā)展中的關(guān)鍵要素，才能真正促使學(xué)生理解數(shù)學(xué)。比如，“0”作為一個(gè)特殊整數(shù)，其初始意義是“無”，即什么都沒有。但是，當(dāng)我們將數(shù)域擴(kuò)大到有理數(shù)集（在教學(xué)中是引入負(fù)數(shù)的概念）時(shí)，0的意義就突破了“無”的界定，而表示一種狀態(tài)（不僅表示“無”的狀態(tài)），如氣溫為0 ℃，并不是沒有氣溫，而是氣溫的一種特定的狀態(tài)。因此，教學(xué)中就要通過氣溫對“0”的意義進(jìn)行重構(gòu)，而不是輕易地滑過?，F(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)，經(jīng)常忽視從概念原始含義到拓展含義的必要性與合理性的揭示，忽略拓展的過程展示。數(shù)“0”不是唯一案例，更典型的案例是將an中的指數(shù)n從正整數(shù)推廣到0、負(fù)整數(shù)時(shí)，基本沒有顧及原始概念的意義（n個(gè)a相乘）已經(jīng)不能解釋所有情形了，更沒有關(guān)注學(xué)生可能的疑問：0個(gè)a相乘、-1個(gè)a相乘，有意義嗎？

數(shù)學(xué)符號不是靜態(tài)的，而是動(dòng)態(tài)的，“表示過程”的特點(diǎn)讓其有了靈魂，表現(xiàn)出水一般的靈動(dòng)。比如，函數(shù)符號f（x）表示的是一個(gè)變化的過程，因此研究函數(shù)就需要有運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)。更一般地，符號表達(dá)式都具有兩重性：從結(jié)果看是靜態(tài)的、確定的（如數(shù)的算式的結(jié)果就是一個(gè)值，定積分式的結(jié)果也是一個(gè)值）;但是，其又表示求出這個(gè)值的過程，或者說，要求出其所表示的值，需經(jīng)過某個(gè)求解的過程。數(shù)學(xué)教學(xué)中，一定要將“兩重性”揭示出來，只有這樣，才能真正讓學(xué)生理解相關(guān)意義。數(shù)學(xué)符號的靈動(dòng)還表現(xiàn)在同一個(gè)符號表示式可以有多個(gè)意義，可以是代數(shù)的意義，也可以是幾何的意義。比如，最簡單的符號“1”，就可以用多個(gè)形式表示它，如橢圓方程、同角三角函數(shù)的關(guān)系、底數(shù)與真數(shù)相同時(shí)的對數(shù)值等;也可以作出多種不同的解釋，如初始元、單位元、真命題等。

由于對符號表達(dá)的意義（概念的本質(zhì)）沒有理解，或?qū)Ψ柕睦斫饽芰Σ粡?qiáng)，對一些新穎的問題，學(xué)生的表現(xiàn)不盡如人意。比如，1984年全國高考數(shù)學(xué)卷中出現(xiàn)過這樣的問題：已知函數(shù)H（x）=0，x≤0，

1，x>0，畫出函數(shù)H（x-1）的圖像。當(dāng)時(shí)，因?yàn)閷W(xué)生沒有見識(shí)過這種題型，結(jié)果幾乎沒有學(xué)生能夠解答出這道題目（近30年過去了，現(xiàn)在這道題的得分率可能比1984年要好一些，但不是說現(xiàn)在學(xué)生的素養(yǎng)比過去好，而是這類題已經(jīng)是訓(xùn)練過的常規(guī)題了）。究其原因，就是在函數(shù)概念的形成階段，特別是函數(shù)符號f（x）的意義建構(gòu)階段，思維過程暴露不夠，導(dǎo)致學(xué)生對函數(shù)f（x）的本質(zhì)理解不到位。因此，在建構(gòu)函數(shù)概念時(shí)，要充分暴露定義域A、函數(shù)值所在集合B及對應(yīng)法則f的形成過程，讓學(xué)生分別對表格、解析式、圖像表示的函數(shù)，明確A是什么、B是什么;并在指出對應(yīng)法則如果用f表示的情況下，讓學(xué)生分別對三個(gè)函數(shù)中指定的自變量，用符號表示其對應(yīng)的函數(shù)值;然后過渡到一般的自變量x對應(yīng)的f（x）的含義;接著討論“如果用符號表示其對應(yīng)的函數(shù)值，這里的x的取值范圍是什么？f（x）的取值在什么集合中？”……在此基礎(chǔ)上，再讓學(xué)生建構(gòu)函數(shù)的一般概念。有了這樣的過程，學(xué)生就會(huì)對函數(shù)符號f（x）產(chǎn)生深刻的認(rèn)識(shí)。

前面的案例“反正弦函數(shù)”展示的就是通過細(xì)化的過程，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)符號及其對應(yīng)概念的深度理解，這在數(shù)學(xué)符號教學(xué)中是非常重要的。我們要突出對符號理解的過程暴露，對符號的語義分析、結(jié)構(gòu)剖析、名稱剖析以及對符號使用的有效訓(xùn)練。

（五）在數(shù)學(xué)符號演變的過程中感受數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)符號除了具有數(shù)學(xué)上的科學(xué)價(jià)值外，還具有豐富的文化價(jià)值。數(shù)學(xué)符號教學(xué)要盡可能將這種文化價(jià)值有機(jī)融入學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，根據(jù)教學(xué)實(shí)際，分別用建構(gòu)式或欣賞式的教學(xué)方法讓學(xué)生感受精神、觀念等文化層面的價(jià)值。通常，在教學(xué)過程中可以通過以下三種方式讓學(xué)生在數(shù)學(xué)符號演變的過程中感受數(shù)學(xué)文化：

一是在正常的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，有機(jī)融入一些數(shù)學(xué)家創(chuàng)造數(shù)學(xué)符號的故事，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)符號的設(shè)計(jì);或用簡要的篇幅介紹數(shù)學(xué)符號的演變過程，促使學(xué)生在深刻理解數(shù)學(xué)符號含義的同時(shí)，感受數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。比如，教學(xué)“分?jǐn)?shù)指數(shù)冪”時(shí)，可以介紹大數(shù)學(xué)家牛頓當(dāng)初的發(fā)現(xiàn)與建構(gòu)過程，讓分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式之間的思維關(guān)聯(lián)得到充分呈現(xiàn)。否則，難以回答“為什么節(jié)標(biāo)題是‘分?jǐn)?shù)指數(shù)冪’，小節(jié)的標(biāo)題卻是‘根式’呢？怎么想到它們之間的聯(lián)系的？”這個(gè)自然生成的問題。這一過程包括兩次數(shù)學(xué)符號的推廣（乘方符號中指數(shù)范圍的推廣和根式中根指數(shù)的推廣），能使符號的發(fā)展與數(shù)學(xué)知識(shí)的生長之間的關(guān)系得到充分體現(xiàn)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念的提高。

二是提供一些閱讀材料、科普書籍，讓學(xué)生通過閱讀，了解數(shù)學(xué)符號的演變過程，感受其中有價(jià)值的數(shù)學(xué)觀念和數(shù)學(xué)精神，特別是數(shù)學(xué)符號優(yōu)化過程中的價(jià)值追求。蘇教版高中數(shù)學(xué)教材已經(jīng)提供了這樣的示范。比如，必修第一冊中的“不等號的演變”，從使用文字表示大小關(guān)系，到使用純粹的記號約定不等關(guān)系，再到使用上下線段的長短“形象化”地表示大小，再到通過添加數(shù)字（2，3）由數(shù)字大小聯(lián)想對應(yīng)元素的大小，再到哈里奧特引入的“>”“<”逐漸得到廣泛使用，直到近代的“≥”“≤”的完整過程。小小的不等號有著漫長的發(fā)展、優(yōu)化過程，從中可以管窺數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律和數(shù)學(xué)家求美、求善的精神。建議教師在教學(xué)過程中，適度補(bǔ)充、豐富這類素材。

三是布置課后實(shí)踐性作業(yè)、研究性活動(dòng)，讓學(xué)生對某個(gè)（些）數(shù)學(xué)符號的歷史過程進(jìn)行研究，或結(jié)合數(shù)學(xué)符號，學(xué)習(xí)研究符號學(xué)、數(shù)學(xué)符號學(xué)相關(guān)理論，或撰寫數(shù)學(xué)小論文、數(shù)學(xué)文化小論文，從而提升文化素養(yǎng)、學(xué)術(shù)素養(yǎng)和藝術(shù)素養(yǎng)。比如，蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊中的閱讀材料“歐拉”，介紹了歐拉創(chuàng)設(shè)的許多數(shù)學(xué)符號，這些符號在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中被廣泛使用。大數(shù)學(xué)家創(chuàng)設(shè)這些符號不是隨意的，我們可以從多個(gè)角度研究這些符號的意蘊(yùn)、價(jià)值。這種研究的教育價(jià)值可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過多做幾道常規(guī)的數(shù)學(xué)題目。

欣賞數(shù)學(xué)符號的演變過程，要突出數(shù)學(xué)家們的偉大思想，突出符號創(chuàng)設(shè)推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力作用，突出數(shù)學(xué)家們求真、求善、求美的理性精神。

綜上，筆者認(rèn)為，強(qiáng)化數(shù)學(xué)符號教學(xué)，是優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)過程的基本要求;提高學(xué)生的符號理解能力，增強(qiáng)學(xué)生創(chuàng)設(shè)和運(yùn)用符號的意識(shí)和能力，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)，應(yīng)得到充分重視。

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