計(jì)算教學(xué)結(jié)構(gòu)化：從“淺層”到“深度”的蛻變
——以《異分母分?jǐn)?shù)加、減法》為例

鄭婷婷（福建省廈門市集美第二小學(xué) 361021）

數(shù)學(xué)是一個具有結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的有機(jī)整體，這一特征決定了用結(jié)構(gòu)化教學(xué)來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)將是一條十分重要的路徑。鄭毓信教授在其論著《數(shù)學(xué)深度教學(xué)的理論與實(shí)踐》一書中就提道：“數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)”最基本的一個含義，即對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“淺層化現(xiàn)象”的直接反對；知識的“淺薄化、表面化、碎片化”是造成“淺度學(xué)習(xí)”的一個重要原因；深度學(xué)習(xí) （教學(xué)） 必須十分重視“聯(lián)系的觀點(diǎn)”“結(jié)構(gòu)性認(rèn)識”。下面，筆者以人教版五年級下冊《異分母分?jǐn)?shù)加、減法》一課為例，談?wù)勗谟?jì)算課中如何利用“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的一些做法與體會。

一、課前梳理繪“起點(diǎn)”，促思維路徑結(jié)構(gòu)化

高階思維是深度學(xué)習(xí)的重要著力點(diǎn)，同時也是人類適應(yīng)信息化時代發(fā)展所需的關(guān)鍵能力。而結(jié)構(gòu)決定思維，思維工具的不同將可能導(dǎo)致過程及結(jié)果的不同。心理學(xué)研究表明：復(fù)雜的問題需要先結(jié)構(gòu)，即將問題的各個組成部分整理得不再重復(fù)、不再雜亂，在大結(jié)構(gòu)中拆分出小的結(jié)構(gòu)，復(fù)雜的問題才能實(shí)現(xiàn)簡單化。也就是說，當(dāng)學(xué)過的知識是通過“層次網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)”存儲在大腦中時，可以有效地提高應(yīng)用知識時的檢索速度，促進(jìn)問題化繁為簡。所以，我們說結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的過程，就是結(jié)構(gòu)化思維運(yùn)用的過程。

周玉仁教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論》一書中指出：小學(xué)數(shù)學(xué)教材是用數(shù)學(xué)的基本概念、基本規(guī)律、基本事實(shí)和基本方法聯(lián)系起來的有機(jī)整體。需要明確的是，在這里，整體并不是知識與原則的簡單羅列和拼湊，也并不是各個部分?jǐn)?shù)學(xué)知識的一個簡單的求和，而是一個前后貫通、存在緊密聯(lián)系的知識網(wǎng)絡(luò)。而計(jì)算作為小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是在綜合考慮數(shù)學(xué)本身邏輯規(guī)律的前提下，根據(jù)小學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律、心理發(fā)展水平以及知識點(diǎn)的難易程度來確定教學(xué)內(nèi)容先后順序的，且各部分知識間銜接十分緊密。因此，教師在課前梳理教材時，應(yīng)具有結(jié)構(gòu)化意識，做到瞻前顧后、溝通聯(lián)系。不僅要摸清學(xué)生“頭腦中已經(jīng)有了什么”，充分了解學(xué)生已經(jīng)具有哪些與新知相關(guān)的知識儲備，還應(yīng)推敲這部分內(nèi)容將為今后學(xué)習(xí)哪些知識做準(zhǔn)備，積極探索新舊知識之間的銜接點(diǎn)。這就要求教師必須熟悉教材中每一冊、每個單元、每個課時的教學(xué)內(nèi)容編排，在充分了解學(xué)生舊知體系的基礎(chǔ)上科學(xué)安排教學(xué)內(nèi)容，并確定該“怎么教”，這樣才能讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更具實(shí)效性。

二、課間溝通連“暗線”，促思想方法結(jié)構(gòu)化

小學(xué)數(shù)學(xué)教材體系貫穿著兩條主線：一是直接呈現(xiàn)于教材之上的“明線”——數(shù)學(xué)知識；二是隱藏于教材知識背后的“暗線”——數(shù)學(xué)思想方法。魏晉南北朝時期的數(shù)學(xué)家劉徽是中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一，他既提倡推理又主張直觀，足以看出他對數(shù)學(xué)思想方法的重視程度。南京師范大學(xué)教授單墫也形象闡明了思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用，他指出：學(xué)數(shù)學(xué)好似下圍棋，必須實(shí)踐(做習(xí)題)，必須和較高水平的人切磋(做有一定難度的題)，棋力(數(shù)學(xué)水平)才能有所長進(jìn)。此外，還需揣摩成局(學(xué)習(xí)定理的證明或著名問題的解法)，才能領(lǐng)悟其精髓(深刻的數(shù)學(xué)思想)。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重要的不是知識本身，而是基于知識，尋找知識之“源”，掌握獲取數(shù)學(xué)知識的方法。陶行知先生說過：“好的先生不是教書，不是教學(xué)生，乃是教學(xué)生學(xué)?！睘榇耍處焸円Υ?lián)“隱身”于數(shù)學(xué)知識背后的“暗線”，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、分析、類比、聯(lián)想等過程中更加清晰地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)聯(lián)。只有悟出知識背后的“思想”“方法”，甚至是“文化”“精神”，才能逐步養(yǎng)成靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)。然而，多數(shù)教師雖然認(rèn)同數(shù)學(xué)思想方法的重要性，但對于此總是有種說不清道不明的感覺。史寧中教授將數(shù)學(xué)基本思想歸結(jié)為三個核心要素：抽象、推理和模型，這三個數(shù)學(xué)基本思想的下一層次還包含著其他數(shù)學(xué)思想，當(dāng)這些數(shù)學(xué)思想在解決具體問題時，就會逐步產(chǎn)生程序化的操作模式，形成“數(shù)學(xué)方法”。“轉(zhuǎn)化”作為小學(xué)階段一種常用的數(shù)學(xué)思想方法，對于直接求解較有難度的問題，教師常常就會用到它，引導(dǎo)學(xué)生化新為舊、化繁為簡、化數(shù)為形……從而達(dá)到解決數(shù)學(xué)問題的目的。

例如，計(jì)算異分母分?jǐn)?shù)加、減法時，不管是運(yùn)用“通分”將異分母分?jǐn)?shù)變?yōu)橥帜阜謹(jǐn)?shù)，再按照同分母分?jǐn)?shù)的加減法進(jìn)行計(jì)算，又或是運(yùn)用“分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化”將異分母分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，再按照小數(shù)加減法進(jìn)行計(jì)算，都是一種“轉(zhuǎn)化”?；仡櫺W(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程不難發(fā)現(xiàn)，“轉(zhuǎn)化”這一思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中已有多次接觸。在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，五年級上冊將小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法來計(jì)算；在圖形與幾何領(lǐng)域，五年級上冊通過將“新圖形”轉(zhuǎn)化為“舊圖形”來推導(dǎo)面積的計(jì)算公式，等等。由此可見，轉(zhuǎn)化的思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域都發(fā)揮著十分重要的作用。因此，當(dāng)學(xué)生自覺運(yùn)用轉(zhuǎn)化的方法將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)或小數(shù)進(jìn)行計(jì)算時，教師可以提出這樣一個核心問題：“為什么大家不約而同地想到了轉(zhuǎn)化？為什么要轉(zhuǎn)化？”以此引發(fā)學(xué)生對轉(zhuǎn)化原因的深度思考，從而明確“轉(zhuǎn)化”不僅是為了把新知識轉(zhuǎn)化為舊知識，更重要的是為了把不同的計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)化成相同的計(jì)數(shù)單位，相同的計(jì)數(shù)單位才能相加減，問題才能得以順利解決，從而凸顯“轉(zhuǎn)化”這一思想方法的優(yōu)勢，進(jìn)而突出計(jì)算的本質(zhì)。緊接著，還可以讓學(xué)生回憶，在以前的學(xué)習(xí)中哪些地方也應(yīng)用過“轉(zhuǎn)化”的思想方法，又是怎么轉(zhuǎn)化的？將學(xué)習(xí)不同領(lǐng)域數(shù)學(xué)知識時所隱藏的思想方法進(jìn)行融合、關(guān)聯(lián)，使學(xué)生對運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的理解從“浮淺”走向“透徹”。

三、課末延伸織“學(xué)網(wǎng)”，促認(rèn)知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)化

當(dāng)代心理學(xué)尤其強(qiáng)調(diào)認(rèn)知系統(tǒng)“結(jié)構(gòu)化”的重要性。它們認(rèn)為解決問題能力的高低主要取決于個體所獲知識的性質(zhì)及其組織結(jié)構(gòu)。同時，實(shí)踐也證明，知識結(jié)構(gòu)越清晰，大腦越容易記住。沒有層級的知識學(xué)得越多，大腦就越混亂。也就是說，要完全掌握某一領(lǐng)域的知識并形成知識體系，“結(jié)構(gòu)化”是必須的。只有將零散混亂的知識點(diǎn)梳理得層次分明、結(jié)構(gòu)清晰，知識才能得以真正掌握。由此可見，數(shù)學(xué)課教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知系統(tǒng)，才能促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的深度發(fā)生。因此，教師應(yīng)摒棄傳統(tǒng)教材狹隘的課程觀，以結(jié)構(gòu)化的教學(xué)方式來引領(lǐng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

數(shù)學(xué)教育既要適應(yīng)時代的現(xiàn)實(shí)需求，又要著眼于學(xué)生的終身發(fā)展。而現(xiàn)行人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，知識點(diǎn)大多都是分單元、分課時地編排于不同年級，學(xué)生習(xí)得的知識也就容易出現(xiàn)以碎片化方式貯存于大腦之中的現(xiàn)象，不利于學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展。因此，教師教學(xué)時應(yīng)打破這種由于教材編排先后順序所形成的束縛，及時引導(dǎo)學(xué)生整理這些“認(rèn)知碎片”，對知識進(jìn)行系統(tǒng)關(guān)聯(lián)，并從結(jié)構(gòu)化的視角來詮釋這些概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，這樣才能將相對獨(dú)立的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)織成一張“知識網(wǎng)”，從而建立起具有整體性的認(rèn)知體系。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識回顧與整理的過程是一個積極主動的再創(chuàng)造和再建構(gòu)的過程，是從整體上把握知識之間內(nèi)在聯(lián)系，促使學(xué)生認(rèn)知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)化的過程，對于培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維方式，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深度具有十分重要的作用。

例如，異分母分?jǐn)?shù)加減法從屬于分?jǐn)?shù)加減法，而分?jǐn)?shù)加減法與整數(shù)、小數(shù)加減法又同屬于四則運(yùn)算中的加減法運(yùn)算系統(tǒng)。從表面上看，三者計(jì)算方法各異：筆算整數(shù)加減法要求相同數(shù)位對齊，筆算小數(shù)加減法要求小數(shù)點(diǎn)對齊，而計(jì)算異分母分?jǐn)?shù)加減法則可以通分。但深究其計(jì)算的本質(zhì)，道理卻相通共融，都是為了實(shí)現(xiàn)“相同計(jì)數(shù)單位的個數(shù)相加減”。因此，在異分母分?jǐn)?shù)加減法教學(xué)的收尾之處，教師可以再次拋出一個核心問題：“整數(shù)加減法為什么要強(qiáng)調(diào)相同數(shù)位對齊？小數(shù)加減法為什么要強(qiáng)調(diào)小數(shù)點(diǎn)對齊？異分母分?jǐn)?shù)加減法為什么需要先通分或轉(zhuǎn)化成小數(shù)再計(jì)算？”由此引發(fā)學(xué)生的深度思考，并主動串聯(lián)起整數(shù)、小數(shù)以及分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算的共通之處，從而凸顯加減法計(jì)算的本質(zhì)。這樣的縱向的“深度”溝通，有利于學(xué)生形成前后知識的結(jié)構(gòu)化建構(gòu)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從“淺薄”走向“深入”。

總之，有深度的教學(xué)才能帶來有深度的學(xué)習(xí)。建立在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)與活動經(jīng)驗(yàn)之上，指向知識整體建構(gòu)的結(jié)構(gòu)化教學(xué)，以整體關(guān)聯(lián)為著力點(diǎn)，以發(fā)展思維為導(dǎo)向，以動態(tài)構(gòu)建為核心，以關(guān)鍵能力培養(yǎng)與核心素養(yǎng)達(dá)成為目標(biāo)追求，有利于幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的思維方式，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)從淺層走向深度，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。