帳篷映射耦合孔徑梅林變換的光學圖像加密

李俊梅，梁意文

(1. 荊楚理工學院計算機工程學院，湖北 荊門 448000；2. 武漢大學計算機學院，湖北，武漢， 430000)

1 引言

光學信息處理方法主要通過對數(shù)據(jù)和圖像信息進行變換來達到用戶想要的效果，其核心部分是利用透鏡來實現(xiàn)傅里葉變換過程[1-2]。和其它的信息處理方法比較可知，光學信息處理表現(xiàn)出了更為突出的性能，能夠呈現(xiàn)更大的容量、更高的并行度、更快的實現(xiàn)速度等，因此，被廣泛應用到了圖像處理和信息安全等領域[3]。光學圖像加密技術[4]是一種將光學方法運用到加密算法中的新型技術，它在圖像加密領域表現(xiàn)出了更高的安全性和更優(yōu)越的信息處理能力，使加密圖像不容易受到攻擊。因此，越來越多的相關研究被投入到了光學圖像加密領域[5-6]。陳曉東等人[7]提出利用多混沌結合分數(shù)傅里葉變換的加密方法，首先借助分數(shù)階Chen混沌系統(tǒng)來實現(xiàn)像素值的擾亂，然后利用細胞神經(jīng)網(wǎng)絡混沌系統(tǒng)來進一步調制相位模板，從而完成了圖像的加密。結果顯示了該算法具有較好的抗攻擊性能。但超混沌的復雜性能會影響加密效率，導致加密耗時較多；并且分數(shù)傅里葉具有線性特性，限制了算法的安全性。Faragallah等人[8]提出了基于菲涅耳域來實現(xiàn)雙圖像的加密方法，通過二維的混沌Arnold變換對初始圖像做相應的預處理，并利用二維Logistic對正弦相位掩模進行調整。結果表明了該算法安全性能較好，但其密鑰空間較小，使其抗攻擊能力不足。Chen等人[9]借助小波變換和菲涅耳變換，設計了基于壓縮感知和特征融合的多圖像加密方法，先采用小波變換對多個圖像加以處理，將高頻和低頻信息進行融合，構造高、低頻融合圖像，然后在菲涅耳域中對相位信息分別進行了截斷和保留處理。結果驗證了該算法能夠有效降低存儲容量，但該方法存在抗剪切攻擊性能較差的問題，降低了密文的安全性。

針對當前光學圖像加密算法存在的不足，本文設計了基于Tent映射和孔徑分數(shù)梅林變換(Fractional Mellin Transform，F(xiàn)rMT)的光學圖像加密方法。利用在透鏡前面放置一個硬邊光闌，構建了一個孔徑分數(shù)梅林變換光學模型，該變換能夠有效地避免傅里葉變換的線性屬性。為增強了密鑰的隨機性，借助Tent映射產(chǎn)生一個輔助相位，并將其融入到迭代加密的相位信息中來提高算法的穩(wěn)健性。再采用Tent映射對迭代加密后的幅度信息進行異或操作，輸出密文。最后，通過實驗測試了本算法的安全性和有效性。

2 基于孔徑分數(shù)傅里葉變換的光學實現(xiàn)

2.1 分數(shù)傅里葉變換

分數(shù)傅里葉變換能夠很好的描述圖像在空間域和頻域中的局部特性，在光學信號處理和加密領域應用非常地廣泛。函數(shù)f(t)的分數(shù)傅里葉變換[10](Fractional Fourier Transform，F(xiàn)rFT)表達式為

(1)

其中，Kα(t，u)為積分內(nèi)核函數(shù)，其可表示為

(2)

式中，F(xiàn)α是函數(shù)f(t)的α階FrFT表示，α為FrFT的階數(shù)，且0<|α|<2，旋轉角度φ=απ/2。

2.2 孔徑分數(shù)傅里葉的光學系統(tǒng)

(3)

式中，E(x，y，z)為出射面的復振幅，E(x0，y0，0)為入射面的復振幅，k表示波數(shù)，且k=2π/λ，λ表示波長，s表示為積分曲面，A、B、C、D為入射面和出射面的變換矩陣的矩陣單元，z為傳輸距離。

圖1 孔徑FrMT變換光學實現(xiàn)

根據(jù)提出的孔徑FrFT光學系統(tǒng)，可利用柯林斯衍射積分將其分解成兩個ABCD光學系統(tǒng)。即從入射面P1到硬邊光闌P2的衍射積分方程為

(4)

(5)

從透鏡面P2到出射面P3之間的衍射積分方程表示為

2(x1x2+y1y2)}dx1dy1

(6)

(7)

假設硬邊光闌是個圓形孔徑，它可以表示為如下函數(shù)形式

(8)

則，式(7)還可以表示為

(9)

因此，根據(jù)式(4)-(9)，可以通過改變距離d和透鏡的焦距fs來實現(xiàn)孔徑α階FrFT變換。

3 基于孔徑分數(shù)梅林變換的光學圖像加密

3.1 分數(shù)梅林變換

分數(shù)梅林變換[12](Fractional Mellin Transform，F(xiàn)rMT)可以將初始信息進行對數(shù)坐標變換，以此來實現(xiàn)非線性處理，并且FrMT和FrFT之間還存在著非常密切的聯(lián)系。FrMT的定義可表示為

(10)

式中，f(x，y)為二維函數(shù)，E為恒定常數(shù)，p為FrMT階數(shù)，φ1=p1π/2，且φ2=p2π/2。

由式(10)可知，F(xiàn)rMT其實就是先對二維函數(shù)f(x，y)作對數(shù)-極坐標變換，然后再進行FrFT變換，即為：M(p1，p2)(u，v)=F(p1，p2)(f(ρ，θ))。對于對數(shù)-極坐標變換的定義可表示為

(11)

當p=0時，執(zhí)行圖像的對數(shù)-極坐標變換；而當p=1時，執(zhí)行圖像的梅林變換。因此，根據(jù)FrMT和FrFT之間的變換關系，可以有效地實現(xiàn)輸入圖像的分數(shù)梅林變換。

3.2 基于孔徑分數(shù)梅林變換的加密實現(xiàn)

令f(x，y)為大小256×256的初始圖像，圖像的中心記為圓心，然后將初始圖像進行分割，得到數(shù)量為N的環(huán)域子圖像，并將這些子圖像記作為fi(x，y)，其中i=1，2，…，N。因此，f1(x，y)是半徑為r1的圓形子圖像，而fi(x，y)(其中，i>1)是以ri為內(nèi)徑而ri+1為外徑的環(huán)形子圖像。以不同階數(shù)的分數(shù)梅林變換對這N個環(huán)域子圖像進行幅度編碼和相位編碼。調制過程中，借助計算機來實現(xiàn)迭代加密，其光學系統(tǒng)實現(xiàn)過程如圖2所示。

圖2 孔徑FrMT變換的光電混合實現(xiàn)

首先，對待加密圖像的環(huán)域子圖像進行對數(shù)-極坐標變換，將所得的變換結果讀入空間光調制器SLM1，隨后通過透鏡Lens1來實現(xiàn)環(huán)域子圖像的孔徑分數(shù)傅里葉變換，利用圖像傳感器CCD1對輸出結果進行接收，并將其輸入到計算機中。其次，利用光調制器SLM2對變換結果進行幅度編碼，利用SLM3來實現(xiàn)相位編碼。最后，通過透鏡Lens2將頻域轉化為空域，利用CCD2進行記錄并傳輸?shù)接嬎銠C中。加密過程中采用了重復迭代的方法進行加密(見圖3)。

圖3 加密過程的迭代方法

圖像的具體迭代加密過程如下：

1)將待加密圖像f(x，y)分解成N個環(huán)狀子圖像fi(x，y)其中，i=1，2，…，N。接著，對fi(x，y)進行pi階的孔徑FrMT變換，獲得復值圖像gi(u，v)。

2)對gi(u，v)進行幅度提取，然后將幅度信息轉變成分布為[0，2π]相位信息，變換形式如下：

Ai(u，v)=|gi(u，v)|

(12)

(13)

Φi(u，v)=Arg[gi(u，v)]

(14)

式中，|·|為圖像的幅度提取，Arg[·]為圖像的相位提取。

(15)

(16)

式中，Bi(u，v)為得到的幅度，φi(u，v)為得到的相位，F(xiàn)q(·)為q階FrFT。ψi(u，v)是加密系統(tǒng)中的密鑰。

4)對φi(u，v)進行加密處理，引入密鑰θi(u，v)。令θi(u，v)=φi(u，v)-ψi(u，v)，將Φi(u，v)和θi(u，v)共同編碼成相位信息。接著，結合Bi(u，v)進行分數(shù)傅里葉變換獲得Ci(u，v)

Ci(u，v)exp[iξi(u，v)

=Fq(Bi(u，v)exp[i[θi(u，v)+Φi(u，v)]])

(17)

5)執(zhí)行重復迭代，用Ci(u，v)替代Ci-1(u，v)，ξi(u，v)替代ξi-1(u，v)，進行下一次迭代，直到N-1次時停止，最后得到了密文C(u，v)=CN(u，v)exp[iξN(u，v)]。另外，密文圖像的解密是上述方法的逆向過程。

圖3 加密過程的迭代方法

4 所提光學圖像加密算法

為了提高孔徑梅林變換的加密安全性，將Tent映射[13]融入到圖像的迭代加密過程中，以增強密文的安全性和密鑰的隨機性。本文算法的加解密過程如圖4所示。

圖4 本文算法的加密和解密過程

具體過程如下：

1)對初始圖像f(x，y)進行對數(shù)-極坐標變換，接著將變換結果圖像分解成數(shù)量為N的環(huán)域子圖像fi(x′，y′)，其中i=1，2，…N，1≤x′≤nr，1≤y′≤nw，這些圖像的內(nèi)外半徑分別為ri-1、ri。

2)引入一個圓形孔徑(半徑大小為a)的硬邊光闌，構建孔徑分數(shù)梅林變換模型，然后對這些子圖像采用不同的階數(shù)進行變換

Fi(u，v)=Ta{fi(x′，y′)}，i=1，2，…，N

(18)

式中，Ta{·}表示孔徑分數(shù)傅里葉變換。變換過程中，孔徑半徑a，分數(shù)傅里葉的階數(shù)pi，外環(huán)半徑ri和波長λ均可作為本加密過程中的密鑰。

3)根據(jù)重復迭代方法，利用光調制器分別對變換結果進行幅度編碼和相位編碼。隨后，聯(lián)合編碼結果進行分數(shù)傅里葉變換，獲得中間結果C′(u，v)：

C′(u，v)=CNexp[iξN(u，v)]

(19)

式中，CN(u，v)為N次迭代后得到的幅度，ξN(u，v)為N次迭代后得到的相位。迭代編碼過程中，相位信息θi(u，v)和ψi(u，v)均可作為加密密鑰。

4)引入Tent映射來產(chǎn)生一個輔助隨機函數(shù)g(x，y)(其中，1≤x≤255，1≤y≤255)，將g(x，y)重復執(zhí)行上述1)-3)步驟，得到w(u，v)。提取w(u，v)中的相位信息，并將其融入到θi(u，v)和ψi(u，v)中來增強密鑰的隨機性。

τ(u，v)=Arg[w(u，v)]

(20)

(21)

(22)

式中，Arg[·]為相位提取操作。

5)提取C′(u，v)中的幅度信息和相位信息，并使用Tent映射對提取的幅度信息執(zhí)行異或操作，最終獲得密文圖像C。

CA(u，v)=|C′(u，v)|

(23)

P(u，v)=Arg[C′(u，v)]

(24)

C=CA(u，v)⊕CTent

(25)

式中，| |幅度提取操作。⊕為異或操作，CTent為Tent映射產(chǎn)生的大小為nr×nw的隨機矩陣。本算法的解密過程為其逆流程，并且提取的相位P(u，v)將被用于對密文圖像的解密。

5 實驗結果與分析

為了驗證本光學圖像加密方法的有效性與安全性，Windows 7操作系統(tǒng)和MATLAB 2017a下進行了相關的性能測試，計算機處理器CPU主頻為3.60 GHz，內(nèi)存RAM 4GB。仿真過程中，選取了加密安全性較好的算法作為實驗的對照組：文獻[13]與文獻[14]。文獻[13]利用相干疊加和模均等矢量分解的方法，利用混沌序列和Fourier 變換混亂的相干性疊加完成加密。文獻[14]采用了一種在傅里葉域中進行向量計算的高效光學加密方法，將變換后的合成矢量導入到雙隨機相位系統(tǒng)中實現(xiàn)加密。

本文測試的圖像大小為256×256。經(jīng)反復測試，選取的參數(shù)為：環(huán)域子圖像個數(shù)N=6；子圖像外半徑分別為：r1=35，r2=75，r3=110，r4=135，r5=160，r6=185；nr=500，nw=500；孔徑FrMT參數(shù)：波長λ=632.8mm，焦距fs=4mm，孔徑半徑a=3.5，F(xiàn)rMT和FrFT的階次p、q均為0.5。

5.1 光學圖像加密效果

利用本算法、文獻[13]及文獻[14]對明文圖像進行了實驗測試，加密效果見圖5。由密文測試結果可知，所選用的三種加密方法均取得了較好的明文隱藏效果，很難從密文圖像中找出明文的信息，明文信息被有效地覆蓋。為進一步評估三種算法所得密文圖像的混亂程度，本文利用信息熵值[15]進行量化評估。表1為不同光學加密算法的信息熵值測試結果。由結果可知，本文的密文熵值約為7.9993，文獻[13]的密文熵值約為7.9960，文獻[14]的密文熵值約為7.9945。因此，相比于其它兩種算法，本文算法的熵值更高，更接近于理論值8，說明了本文算法獲得的密文圖像信息更為混亂，其安全性能要相對更好。其主要原因為本算法在分數(shù)梅林變換的非線性混亂的同時，融入了Tent映射對密鑰信息和變換結果信息施加了進一步的置亂操作，使得密文信息的混亂程度增強。而文獻[13]和[14]只單純對相位掩摸進行混亂，其混亂效果相對欠佳。

圖5 三種光學加密算法的密文效果

表1 信息熵值的測試結果

5.2 密鑰敏感性分析

密鑰敏感性強的加密算法在密鑰發(fā)生微小的改變時，很難解密出圖像的初始信息，滿足所謂的“雪崩效應”[17]，因此，好的密鑰敏感性的加密算法能夠提高密文的安全性。本文在保持其它密鑰不變的情況下，對混沌變量μ=3.51的敏感性進行了測試。將u產(chǎn)生偏差△t=10-15，得到新密鑰u=3.51×10-15，然后將其用于解密。解密的效果見圖6，由圖可知，在μ產(chǎn)生偏差時，非授權用戶不能解密出圖像信息?？梢?，即使密鑰發(fā)生非常小的變化時，黑客也不能正確地完成解密過程，說明了本算法符合“雪崩效應”，具備較強的密鑰敏感性能。

圖6 本文算法的密鑰敏感性測試

5.3 相鄰像素間的相關性分析

由于圖像的相鄰像素間存在著非常強的相關性， 這就導致了攻擊者能夠借助數(shù)據(jù)統(tǒng)計對密文實施非法攻擊，從而分析出圖像的真實內(nèi)容信息[16]。因此，有效的加密算法能夠消減這種對密文不利的相關性， 使得相關性系數(shù)盡可能地接近于零，這樣才能保證不容易受到攻擊[16]。相關性系數(shù)Rxy的計算為

(26)

式中，N為選取的相鄰像素總數(shù)。

本文分別從明文和密文圖像中選擇了300對像素點來對三種算法進行測試，測試結果見圖7和表2。從圖7可知，所提算法的密文圖像在水平方向上的像素分布更為均勻，而明文圖像的相鄰像素間的Rxy值較高，其分布近似于對角線分布；從表2中的數(shù)據(jù)可知，本文算法密文在三個方向的Rxy值要略小于其它兩種算法，相關性系數(shù)要更接近于0。因此，通過對比數(shù)據(jù)分析，可以充分說明本文算法具有更好的抗統(tǒng)計攻擊性能。原因是本文加密算法在對數(shù)-極坐標的變換下，充分混亂了像素的位置，使相鄰像素間的相關性大幅度減小，而分數(shù)傅里葉變換不具備這一特性。

圖7 密文的相關性測試(水平方向上)

表2 不同算法的相鄰像素間相關性效果

5.4 抗攻擊分析

5.4.1 剪切攻擊測試

本文通過對密文圖像進行剪切1/4來測試本文算法的抗剪切攻擊性能。剪切測試結果如圖8所示。圖8中的(a)、(c)、(e)均為剪切1/4的三種密文圖像，圖8(b)、(d)、(f)分別為做剪切處理后再實施解密的測試效果?？梢杂^測到，經(jīng)剪切攻擊后，本加密算法得到的圖像信息幾乎沒有丟失，同樣可以解密出相似度較高的圖像。而文獻[13]和文獻[14]這兩算法解密效果相對要差很多，雖然解密出了明文，但是獲得的圖像信息存在嚴重的丟失現(xiàn)象，未能將明文信息完全解密出來。因此，說明了本文算法具有較好的抗剪切攻擊性能。

圖8 剪切測試結果

5.4.2 噪聲攻擊測試

噪聲干擾在很大程度上會影響圖像的解密效果[17]。為測試本文算法在抵抗噪聲攻擊方面的穩(wěn)健性，將其在不同高斯噪聲強度條件下進行驗證。圖像的噪聲干擾表達式如下

C′=C+KG

(27)

式中，C為初始圖像，C′為噪聲干擾圖像；K為噪聲強度系數(shù)；G為使用的高斯噪聲。

圖10為三種不同算法的抗噪聲攻擊性能對比測試，從結果中可以看出，三種算法進行解密獲得的MSE值與K成正比關系，即MSE值隨著K的增大而增大，而且均表現(xiàn)出優(yōu)良的抗噪聲攻擊性能。當k=1時，三種算法的MSE分別為981，875，647，因此本算法的MSE值相比于其它兩種算法要更低。這表明了本文加密技術的抵抗噪聲攻擊能力更強。

圖9 抗噪聲攻擊性能對比測試

5.4.3 已知明文攻擊測試

破譯者可以對部分明文或相應的密文實施攻擊來獲取加密信息，以此達到明文攻擊的目的[18]。對此，本文假設破譯者獲得了本文的初始圖像信息和密文信息，并采用相位恢復的手段實施攻擊。攻擊結果如圖10所示。圖(a)為破譯者劫取的明文圖像，圖(b)為破譯者獲取的密文圖像，圖(c)為經(jīng)本加密算法加密后的Baboon密文圖像，圖(d)為破譯者利用相位恢復算法對圖(c)實施攻擊后的輸出結果。由圖(d)可知，雖然破譯者獲得了明文信息和密文信息，但是卻無法解密出密文圖像(c)，說明了本加密算法具有非常好的抗明文攻擊性能。

圖10 明文攻擊結果

綜上可知，本文算加密法具有非常好的抗攻擊性能，能夠抵御各種不良因素的攻擊。原因是因為空徑FrMT變換擁有較好的非線性特性，孔徑大小的正確調節(jié)決定了輸入圖像的頻率截斷，并且通過重復迭代加密，使幅度信息和相位信息產(chǎn)生了嚴密的關聯(lián)。通過融入隨機相位，使密鑰具備更強的隨機性，這就導致非法攻擊者很難利用不正當手段盜竊明文信息，相比與傅里葉變換的線性關系，本算法的抗攻擊性能更強。

6 結論

為解決當前的光學圖像加密方法容易遭受各類攻擊的潛在安全問題。本文設計了基于Tent映射和孔徑分數(shù)梅林變換的光學圖像加密算法。通過孔徑分數(shù)梅林變換對初始圖像實施對數(shù)-極坐標變換，利用重復迭代對幅度信息和相位信息進行編碼，增強了圖像的非線性特性和密鑰的隨機性。同時，采用Tent映射進行混亂操作，進一步增強了圖像的混亂程度。實驗結果顯示，本文算法具備更好的魯棒性和穩(wěn)定性，能夠有效地抵抗各類非法攻擊。