圓中求角，角弧轉(zhuǎn)化

文／陳 超 康 敏

在圓中求角的度數(shù)問題是中考考查的重要內(nèi)容之一。雖然它涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，題型也多樣，但是解決這類問題的主要思路就是角弧之間的轉(zhuǎn)化。

例1如圖1，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，CD=2OE，則∠BCD的度數(shù)為（ ）。

圖1

A.15° B.22.5° C.30° D.45°

【解析】由圖可知，∠BCD是圓周角，它所對(duì)的弧是弧BD，這就要在圖中找弧BD所對(duì)的其他角（圓心角或圓周角），而圖中找不到，那么連接OD，如圖2，這樣∠BOD就是弧BD所對(duì)的圓心角。由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，得CD=2DE，而CD=2OE，故DE=OE，可得△ODE是等腰直角三角形，則∠BOD=45°，所以22.5°。故選B。

圖2

【點(diǎn)評(píng)】要求∠BCD的度數(shù)，由角看弧，即弧BD，再由弧看角，但沒有要轉(zhuǎn)化的角。故結(jié)合已知條件，作輔助線，轉(zhuǎn)化為可求的圓心角∠BOD的度數(shù)。

例2如圖3，⊙O是△ABC的外接圓，連接AO，并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，若∠C=50°，則∠BAD的度數(shù)為_____。

圖3

【解析】由∠C看它所對(duì)的弧，即弧AB，再由弧AB看它所對(duì)的其他角。

方法一（利用同弧所對(duì)圓周角相等的關(guān)系）：連接BD，如圖4，則∠ADB=∠C=50°。因?yàn)锳D是⊙O的直徑，所以∠ABD=90°，所以∠BAD=90°-∠ADB=90°-50°=40°。

圖4

方法二（利用同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的倍數(shù)關(guān)系）：連接OB，如圖5，則∠AOB=2∠C=2×50°=100°。因?yàn)镺A=OB，所以100°）=40°。

圖5

【點(diǎn)評(píng)】本題是由已知角看它所對(duì)的弧，再由弧看它所對(duì)的角，所看角的位置不同，就有不同方法，即所添加的輔助線也就不同。但由于受到“直徑看直角”的影響，常常會(huì)用“方法一”。

例3如圖6，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，弦AE的延長(zhǎng)線與過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D，∠CAD=35°，連接BC。

圖6

（1）求∠B的度數(shù)；

（2）若AB=2，求弧EC的長(zhǎng)。

【解析】（1）連接OC，如圖7，∠B所對(duì)的弧是弧AC，弧AC所對(duì)的圓心角是∠AOC，則∠B

圖7

∵CD與⊙O相切于點(diǎn)C，

∴OC⊥CD。

又∵AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠OCA=∠CAD=35°。

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=35°，

∴∠AOC=180°-35°-35°=110°，

∴∠B=55°。

也可以由AB為⊙O的直徑，得∠ACB=90°，則∠B=90°-∠OAC=90°-35°=55°。

（2）∵直徑AB=2，

∴⊙O的半徑r=1。

求弧EC的長(zhǎng)，問題轉(zhuǎn)化為求弧EC所對(duì)圓心角度數(shù)，故連接OE，如圖7，則由角弧轉(zhuǎn)化可得∠COE=2∠CAD=2×35°=70°，∴弧EC的長(zhǎng)=

【點(diǎn)評(píng)】在問題（1）的解決中，不論從運(yùn)用切線的性質(zhì)，還是從角弧轉(zhuǎn)化的需要，都要做輔助線OC，這是解決問題的關(guān)鍵所在。在問題（2）中，由于圓的直徑是已知的，即圓的半徑可知，雖然是求弧長(zhǎng)，但本質(zhì)上還是求弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)。