體驗(yàn)隨機(jī)性 量化可能性
——發(fā)展“數(shù)據(jù)分析觀念”的“可能性”單元設(shè)計(jì)與教學(xué)策略

文 /潘錦嫦

引 言

“統(tǒng)計(jì)與概率”是小學(xué)數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)內(nèi)容之一，但一直以來有關(guān)統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容基本與隨機(jī)性無關(guān)，小學(xué)階段也沒有出現(xiàn)關(guān)于概率的定義?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）將“統(tǒng)計(jì)觀念”表述改為“數(shù)據(jù)分析觀念”，增補(bǔ)了“體驗(yàn)隨機(jī)性”的學(xué)習(xí)要求，并對(duì)“隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性”進(jìn)行了具體的描述：在具體情境中，通過實(shí)例感受簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象，能列出簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能發(fā)生的結(jié)果；通過試驗(yàn)、游戲等活動(dòng)，感受隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性是有大小的，能對(duì)一些簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小作出定性描述與交流[1]。關(guān)于可能性的學(xué)習(xí)，人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)（上冊(cè)）教材中并沒有直接出現(xiàn)概率的定義，而是用可能性來引導(dǎo)學(xué)生初步學(xué)習(xí)概率的知識(shí)，概率稱為“隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性”，主要教學(xué)事件的確定性和不確定性，教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生通過實(shí)例感受簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象，能列出簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能發(fā)生的結(jié)果，并對(duì)一些簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小作出定性描述，運(yùn)用概率的思想方法來解釋日常生活中的隨機(jī)現(xiàn)象。五年級(jí)學(xué)生處于具體運(yùn)算階段（7~12歲），能夠區(qū)分確定和不確定，知道如何量化概率，在計(jì)算復(fù)雜事件的概率時(shí)擁有一套不完整的對(duì)策[2]。學(xué)生有足夠的生活經(jīng)驗(yàn)，對(duì)可能性知識(shí)的理解沒有太大的困難。如何在學(xué)生樸素的生活經(jīng)驗(yàn)中滲透統(tǒng)計(jì)與概率思想，形成數(shù)據(jù)分析觀念是本單元教學(xué)的重難點(diǎn)。

以單元為整體進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，是挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)、整體把握知識(shí)結(jié)構(gòu)、滲透數(shù)學(xué)價(jià)值、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)最有效的途徑[3]。筆者統(tǒng)整“可能性”單元教學(xué)目標(biāo)，將單元整體分析概括為以下四點(diǎn)：一是生活中的現(xiàn)象可以用數(shù)學(xué)語言來準(zhǔn)確描述；二是在隨機(jī)現(xiàn)象中感受對(duì)同樣的事件每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，但有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律；三是數(shù)據(jù)分析觀念是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，通過收集和分析數(shù)據(jù)可以對(duì)數(shù)據(jù)中所蘊(yùn)含的信息做出理性判斷；四是了解“猜想—驗(yàn)證”是數(shù)學(xué)研究的常用方法。基于原教材內(nèi)容進(jìn)行調(diào)整（見表1），筆者嘗試開展單元整體教學(xué)，并分享單元教學(xué)策略。

表1 可能性單元課時(shí)設(shè)計(jì)

一、新知學(xué)習(xí)：結(jié)合具體情境，感受隨機(jī)性現(xiàn)象

《課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出關(guān)于“概率”的教學(xué)重點(diǎn)是學(xué)習(xí)感受隨機(jī)性。從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，生活和自然中的現(xiàn)象可以分為確定現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象和模糊現(xiàn)象[4]。確定是必然，也就是結(jié)果一定。隨機(jī)現(xiàn)象和模糊現(xiàn)象都是不確定的，隨機(jī)現(xiàn)象是結(jié)果不確定，而模糊現(xiàn)象是事物本身的定義不確定，這需要教師幫助學(xué)生準(zhǔn)確區(qū)分。

為幫助學(xué)生理解區(qū)分這三種現(xiàn)象，在第一課時(shí)中，筆者設(shè)計(jì)了如下兩項(xiàng)活動(dòng)。首先是“抽牌體驗(yàn)”，讓學(xué)生初步感受事件發(fā)生的確定性和不確定性。從三張卡片（1、2、3）中抽得分?jǐn)?shù)高者獲勝：第一次意在熟悉規(guī)則，通過 “你想抽到什么”和“想抽到就一定能抽到嗎”兩個(gè)問題幫助學(xué)生區(qū)分主觀意愿與客觀實(shí)際；第二次重在感受隨機(jī)，通過提問“這次抽到的牌和上次一樣嗎”，把兩次抽取卡片的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，讓學(xué)生明白相同條件下，抽取的結(jié)果也不一定相同；第三次初步體驗(yàn)可能、不可能、一定，有三張牌 “可能會(huì)抽到什么”，“1”“2”“3”都有可能，初步感受簡(jiǎn)單隨機(jī)事件中所有可能發(fā)生的結(jié)果是有限的。也就是說，抽取一張（假設(shè)1），剩下兩張，“現(xiàn)在可能會(huì)抽到什么？還可能抽到1嗎”？已經(jīng)抽了就不可能再抽到；再抽取一張（假設(shè)2）只剩一張，“你能確定是幾嗎”？學(xué)生明確一定是3，初步感受事件發(fā)生的確定性和不確定性，確定包括一定和不可能，不確定則是可能。其次是“抽球活動(dòng)”，從三個(gè)不同的裝球箱中抽到紅球者獲勝。第一個(gè)箱子中全是白球，學(xué)生多次抽取發(fā)現(xiàn)不管怎么抽都是白色，從而猜測(cè)箱子中全是白球，總結(jié)出“只有則一定”；第二個(gè)箱子中有各種顏色的球，但沒有紅球，學(xué)生多次抽取發(fā)現(xiàn)不管怎么抽都沒有抽到紅球，從而猜測(cè)箱子中沒有紅球，總結(jié)出“沒有則不可能”；第三個(gè)箱子中按照學(xué)生的要求放入紅球，總結(jié)出“有則有可能”。

學(xué)生親身經(jīng)歷概念形成的全過程，從而真正體會(huì)隨機(jī)的概念，深入理解“一定”“不可能”“可能”的含義，感受事件發(fā)生的確定性和不確定性。教師通過“生活中的數(shù)學(xué)”，讓學(xué)生進(jìn)一步區(qū)分生活中的模糊現(xiàn)象與數(shù)學(xué)中的隨機(jī)現(xiàn)象，學(xué)以致用，用數(shù)學(xué)語言“可能”“一定”“不可能”描述生活中事件發(fā)生的可能性，體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。

二、實(shí)驗(yàn)探究：揭示內(nèi)在聯(lián)系，溝通概率與統(tǒng)計(jì)

使用概率方法的統(tǒng)計(jì)學(xué)被稱為推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)，統(tǒng)計(jì)與概率的融合有助于幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)二者的關(guān)系，將知識(shí)融會(huì)貫通，系統(tǒng)掌握[5]。教材中設(shè)置大量的實(shí)驗(yàn)，依靠學(xué)生自己摸索，用經(jīng)驗(yàn)性活動(dòng)得來的頻率進(jìn)行驗(yàn)證，而往往由于試驗(yàn)的次數(shù)過少，得到的結(jié)果常與分析的可能性結(jié)果不相符，學(xué)生在試驗(yàn)后反而糊涂。利用數(shù)據(jù)分析感受概率，是教學(xué)的核心，能有效解決這一問題。

為幫助學(xué)生在數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)中加深對(duì)可能性的理解，在第二課時(shí)的教學(xué)中，筆者設(shè)計(jì)如下兩項(xiàng)實(shí)驗(yàn)。首先是通過抽撲克進(jìn)行的“等可能性”實(shí)驗(yàn)，教師給每個(gè)學(xué)生準(zhǔn)備方塊、梅花、桃心和黑桃四種花色的撲克牌各一張，反面朝上，打亂順序，讓學(xué)生任意抽出一張。以舉手方式統(tǒng)計(jì)抽到各種花色的次數(shù)，教師在電腦上進(jìn)行記錄。再把牌放回去，洗牌抽下一張，連續(xù)抽10次。每填入一次數(shù)據(jù)，電腦自動(dòng)統(tǒng)計(jì)抽到不同花色撲克的總次數(shù)。在這一過程中，學(xué)生直觀感受自己每次抽到的花色不一定相同，體驗(yàn)隨機(jī)性；同時(shí)在多次的數(shù)據(jù)匯總中，驚奇地發(fā)現(xiàn)隨著數(shù)據(jù)的累加，四張花色卡片抽到的總次數(shù)呈現(xiàn)接近的趨勢(shì)，體會(huì)到有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。教師追問：“如果抽取的次數(shù)更多，你猜結(jié)果會(huì)如何？”學(xué)生回答：“越來越接近，但不一定相等。”從而理清理論概率和實(shí)驗(yàn)頻率的區(qū)別。其次是進(jìn)行數(shù)量不等的“分組抽球”實(shí)驗(yàn)。箱子中放有紅、黃兩種顏色的球若干個(gè)（如紅球1個(gè)，黃球4個(gè)），每次抽取一個(gè)再放回，連續(xù)抽取20次并記錄產(chǎn)生的數(shù)據(jù)，小組內(nèi)明確分工，誰負(fù)責(zé)摸球、誰負(fù)責(zé)記錄、誰負(fù)責(zé)監(jiān)督等，以保證數(shù)據(jù)的有效性。小組實(shí)驗(yàn)后，教師對(duì)各組數(shù)據(jù)進(jìn)行收集匯總，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)結(jié)果進(jìn)行觀察：“每一個(gè)小組的統(tǒng)計(jì)結(jié)果都一樣嗎？”學(xué)生可以看出每個(gè)小組抽球的結(jié)果有的相同，有的不相同，甚至可能出現(xiàn)抽到紅球的次數(shù)比黃球多的情況。學(xué)生根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果推斷箱子中紅球的數(shù)量比黃球少。教師提問：“箱子里一共有5個(gè)球，猜一猜紅球和黃球各有多少個(gè)？”引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)匯總結(jié)果進(jìn)一步猜測(cè)。教師要鼓勵(lì)學(xué)生得出多種答案，只要能根據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行合理推斷即可。最后，教師開箱驗(yàn)證，并回顧特殊數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)不確定性的普遍存在，用數(shù)據(jù)分析可能性的同時(shí)承認(rèn)例外，發(fā)生的可能性再小也依然有可能發(fā)生。

通過兩項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生知道事件發(fā)生的可能性大小與物體的數(shù)量有關(guān)，初步感受隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。根據(jù)實(shí)際情況合理推測(cè)可能性大小，根據(jù)試驗(yàn)的數(shù)據(jù)推測(cè)產(chǎn)生結(jié)果的原因，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到足夠多的數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含著統(tǒng)計(jì)規(guī)律，逐步形成統(tǒng)計(jì)觀念，進(jìn)而形成尊重事實(shí)、用數(shù)據(jù)說話的態(tài)度和科學(xué)的世界觀與方法論。三、實(shí)踐體驗(yàn)：重視理論分析，量化可能性大小

用一個(gè)數(shù)來描述某種事件發(fā)生可能性的大小，稱這個(gè)數(shù)為該事件發(fā)生的概率。張奠宙指出：“在小學(xué)階段，必須直面‘概率’概念，把隨機(jī)性的數(shù)學(xué)直覺‘概率化’。”[6]而教材中只有“可能性”大小的討論，沒有給“可能性”賦予數(shù)值。對(duì)五年級(jí)的學(xué)生來說，用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小并不困難。

在第三課時(shí)教學(xué)中，筆者創(chuàng)設(shè)給商場(chǎng)設(shè)計(jì)“幸運(yùn)大轉(zhuǎn)盤”的情境，首先出示一個(gè)平均分成8份的轉(zhuǎn)盤范例，其中1份為紅色、2份為黃色、5份為藍(lán)色，讓學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)盤有整體的認(rèn)識(shí)。教師要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用可能性大小的知識(shí)分析“轉(zhuǎn)到哪種顏色的可能性大？哪種顏色的可能性?。俊辈⒄f明理由，從而檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)可能性大小的掌握情況。然后讓學(xué)生嘗試用分?jǐn)?shù)表示轉(zhuǎn)到各種顏色的可能性是多少（如紅色占了8份中的1份，可以用分?jǐn)?shù)表示），初步感受可能性的大小不僅與數(shù)量有關(guān)，還可以進(jìn)一步量化，用具體的數(shù)值來表示，便于比較大小并由此推測(cè)各種顏色分別表示什么獎(jiǎng)項(xiàng)。其次是小組合作設(shè)計(jì)“幸運(yùn)大轉(zhuǎn)盤”。教師為每個(gè)小組提供等分12份的圓形轉(zhuǎn)盤和三種不同顏色的筆，統(tǒng)一規(guī)定紅黃藍(lán)分別表示一二三等獎(jiǎng)，要求各小組設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)盤并用分?jǐn)?shù)表示出各個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)的可能性大小。任務(wù)完成后，教師組織班級(jí)進(jìn)行交流分享，讓各小組展示設(shè)計(jì)的轉(zhuǎn)盤并講述設(shè)計(jì)原因。教師在判斷各量化可能性大小的分?jǐn)?shù)結(jié)果是否正確后，對(duì)各小組的作品進(jìn)行比較分析，引導(dǎo)學(xué)生圍繞“如果你是商家，你會(huì)選擇哪組設(shè)計(jì)的轉(zhuǎn)盤？”“如果你是顧客，你選擇用哪個(gè)轉(zhuǎn)盤來抽獎(jiǎng)？”兩個(gè)角度進(jìn)行思考，運(yùn)用可能性大小的賦值來分析說理，做到有理有據(jù)。最后分組進(jìn)行轉(zhuǎn)盤抽獎(jiǎng)體驗(yàn)，讓學(xué)生在數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析中感受量化的可能性大小只是一個(gè)理論數(shù)值，進(jìn)一步理清理論概率和實(shí)驗(yàn)頻率的區(qū)別。該活動(dòng)中采用的轉(zhuǎn)盤呈現(xiàn)的是幾何概率，因其具有直觀性而容易被學(xué)生接受，使學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)的定義給“可能性”賦予數(shù)值。量化可能性的大小可以幫助學(xué)生更好地理解不同事件可能性的大小會(huì)有所不同，但一定在0到1之間，學(xué)會(huì)運(yùn)用概率的思想方法來解析日常生活中大量的隨機(jī)現(xiàn)象，為日后概率的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

在單元學(xué)習(xí)后，教材還安排了“擲一擲”的綜合實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，培養(yǎng)學(xué)生猜想、試驗(yàn)、分析、驗(yàn)證和解決問題的能力，進(jìn)一步體會(huì)事件發(fā)生結(jié)果的可能性有大有??；透過偶然發(fā)現(xiàn)必然，判斷哪些結(jié)果出現(xiàn)的可能性大，哪些結(jié)果出現(xiàn)的可能性小。而學(xué)生通過量化可能性的大小，在分析中利用概率梳理說明可能性的大小，能使判斷更有依據(jù)、更為科學(xué)、更具說服力。

結(jié) 語

文章結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐，圍繞“可能性”開展大單元教學(xué)，對(duì)單元教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整體分析和重組，落實(shí)各課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)并提出相應(yīng)的教學(xué)策略。在數(shù)學(xué)活動(dòng)中認(rèn)識(shí)和理解可能性，不能只是讓學(xué)生記住法則，更重要的是使其親身經(jīng)歷法則形成的全過程，從而進(jìn)行深入思考，這樣才能把體驗(yàn)轉(zhuǎn)化為對(duì)可能性的理解，體驗(yàn)隨機(jī)性，量化可能性，在扎實(shí)了解統(tǒng)計(jì)“雙基”的同時(shí)，將其升華為數(shù)據(jù)分析觀念，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展。