基于模糊PD控制的柔性航天器振動(dòng)抑制研究

支敬德，戈新生

(1. 北京信息科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，北京 100192；2. 北京信息科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，北京，100192)

1 引言

近年來，隨著航天科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，航天任務(wù)變得比以往更加復(fù)雜，對(duì)航天器的要求也逐漸提高，因此目前航天器系統(tǒng)大都帶有柔性附件?？紤]到航天器運(yùn)載能力的限制，柔性附件通常選擇質(zhì)量輕、有一定柔性的結(jié)構(gòu)，因此在航天器完成諸如機(jī)動(dòng)、轉(zhuǎn)向和空中對(duì)接等動(dòng)作時(shí)，在姿態(tài)控制過程中執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出的控制力會(huì)很容易激起柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，激發(fā)柔性附件的各階模態(tài)，導(dǎo)致航天器的姿態(tài)失穩(wěn)。因此，單純的姿態(tài)控制已經(jīng)不能滿足高精度任務(wù)的需求，如何設(shè)計(jì)一種既能完成航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)又能抑制柔性附件振動(dòng)的控制律就顯得至關(guān)重要。

在工程實(shí)際中，比例微分(Proportion Derivative， PD)控制，是一種應(yīng)用十分廣泛的控制方法。PD控制器簡(jiǎn)單易懂，使用中不需精確的系統(tǒng)模型等先決條件，正是這種特性使得PD控制方法在航天器姿態(tài)控制領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。段柳成等[1]針對(duì)太陽翼的展開過程進(jìn)行了研究和推導(dǎo)，并與ADAMS軟件進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了其正確性，在控制方法中設(shè)計(jì)了一種基于位形本體信息反饋的PD控制方法，有效抑制了太陽翼展開過程中由關(guān)節(jié)摩擦引起的航天器位形漂移。Hua Liu等[2]研究了撓性航天器姿態(tài)控制問題，提出了一種基于擾動(dòng)觀測(cè)器的彈性振動(dòng)前饋補(bǔ)償控制方法，設(shè)計(jì)了由DOBC和PD控制相結(jié)合的復(fù)合控制器，有效減小了擾動(dòng)，提高魯棒動(dòng)態(tài)性能。劉新建等[3]提出了一種PDA控制方法，即在PD方法基礎(chǔ)上引入了航天器的剛性姿態(tài)加速度反饋，能夠快速抑制低頻大撓性系統(tǒng)中帆板的振動(dòng)。殷春武等[4]針對(duì)太陽帆板展開過程中航天器姿態(tài)跟蹤控制時(shí)系統(tǒng)以及外部干擾的不確定性問題，設(shè)計(jì)了姿態(tài)跟蹤自適應(yīng)動(dòng)態(tài)比例微分(PD)控制器，能夠?qū)崿F(xiàn)航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)，具有良好的魯棒性。鐘麗[5]改進(jìn)了傳統(tǒng)的剛體航天器定常PD+姿態(tài)控制律，將其和模糊控制，自適應(yīng)控制，滑模變結(jié)構(gòu)控制相結(jié)合，設(shè)計(jì)了全局滑模姿態(tài)控制律，增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性。胡敏等[6]構(gòu)建了一種剛體航天器姿態(tài)控制半實(shí)物仿真系統(tǒng)，在系統(tǒng)的數(shù)據(jù)通訊中采用了自組織網(wǎng)絡(luò)，提高了航天器的靈活性，設(shè)計(jì)了比例微分控制器對(duì)航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)進(jìn)行控制。靳立強(qiáng)等[7]針對(duì)電動(dòng)輪汽車動(dòng)力學(xué)控制系統(tǒng)提出了一種最優(yōu)PD控制方法，用最優(yōu)控制對(duì)PD控制器增益進(jìn)行整定，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。宋鋒[8]對(duì)PID自整定技術(shù)進(jìn)行了研究，提出了一種優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的PID自整定控制算法。張恒浩等[9]針對(duì)在撓性航天器系統(tǒng)中采用滑模變結(jié)構(gòu)控制時(shí)控制力矩的抖振問題，將滑模變結(jié)構(gòu)控制與模糊控制相結(jié)合，提出一種模糊滑?？刂扑惴ǎ撕教炱髯藨B(tài)機(jī)動(dòng)控制力矩的高頻抖振問題。劉福才等[10]針對(duì)撓性航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)過程中撓性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問題，提出一種模糊自抗擾控制方法，采用模糊算法對(duì)自抗擾控制器的參數(shù)進(jìn)行整定，有效抑制了撓性航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)的振動(dòng)。朱慶華等[11]針對(duì)滑模變結(jié)構(gòu)控制器中存在的抖振問題進(jìn)行改進(jìn)，設(shè)計(jì)了一種動(dòng)態(tài)滑?？刂坡?，實(shí)現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)抖振的抑制，具有良好的控制性能。鄭彥琴、戈新生[12]研究了欠驅(qū)動(dòng)剛體航天器的姿態(tài)穩(wěn)定性問題，對(duì)欠驅(qū)動(dòng)剛體航天器進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)建模，設(shè)計(jì)了一種基于退步控制方法設(shè)計(jì)輔助變量的控制律，并與時(shí)不變控制律進(jìn)行比較，證明了時(shí)變控制律的有效性。本文采用非約束模態(tài)法對(duì)柔性航天器構(gòu)建適合控制器設(shè)計(jì)的狀態(tài)空間模型，針對(duì)施加在柔性航天器上的PD控制所存在的姿態(tài)機(jī)動(dòng)初始階段控制力矩和姿態(tài)角速度過大所引起的柔性附件振動(dòng)問題，在原有的PD控制基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，引入了模糊控制，設(shè)計(jì)了一種模糊PD控制律。

2 柔性航天器模型

柔性航天器系統(tǒng)由主剛體帶單側(cè)太陽帆板組成，假設(shè)該系統(tǒng)由半徑為b的中心剛體和長(zhǎng)度為l均勻懸臂梁式柔性附件構(gòu)成，系統(tǒng)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程和柔性附件振動(dòng)方程為[13]

(1)

其中：I為系統(tǒng)總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Th為驅(qū)動(dòng)力矩，ρb為梁的線密度，w(x，t)為梁上任意點(diǎn)x∈[0，l]相對(duì)坐標(biāo)系的變形，mt為尖端質(zhì)量的質(zhì)量，It為尖端質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，EbJb為梁的抗彎剛度，θ為航天器的姿態(tài)角，“·”表示變量對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，“′”表示變量對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)。

柔性結(jié)構(gòu)離散化的主要方法有約束模態(tài)和非約束模態(tài)兩種。約束模態(tài)定義為中心剛體固定，柔性附件無阻尼自由振動(dòng)，在這種情況下體現(xiàn)的是柔性附件的固有特性；非約束模態(tài)定義為中心剛體不固定，柔性附件無阻尼自由振動(dòng)，并且整個(gè)系統(tǒng)(中心剛體和柔性附件)都允許振動(dòng)，在這種情況下體現(xiàn)的是航天器動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)頻率特性。本文采用非約束模態(tài)方法將柔性結(jié)構(gòu)離散化。由非約束模態(tài)的定義，將系統(tǒng)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程和柔性附件振動(dòng)方程寫為

(2)

式中下標(biāo)“u”表示非約束模態(tài)。

將非約束模態(tài)的解表示為僅依賴于空間變量的函數(shù)φ(x)和僅依賴于時(shí)間變量的函數(shù)η(t)的乘積，并將下標(biāo)“u”省略，則有

w(x，t)=φ(x)η(t)

(3)

其中，φ(x)為柔性梁的第i階振型函數(shù)。而由于模態(tài)是一個(gè)多值解，而線性方程式又符合疊加原理，所以式(3)的解為

(4)

將柔性振動(dòng)位移w(x，t)表示為振型函數(shù)φi(x)與模態(tài)坐標(biāo)ηi(t)乘積的無窮級(jí)數(shù)和的形式，令

(5)

其中，Θ(t)是一個(gè)新引進(jìn)的變量，其物理意義為假設(shè)柔性附件為剛體時(shí)衛(wèi)星的姿態(tài)角，其引入目的是使變量變換后新變量數(shù)目和原變量相等。

將式(5)代入式(1)，將代入后的第二式兩側(cè)同乘φi(x)dx后對(duì)x自0到l積分，并應(yīng)用模態(tài)正交性條件[13]，有

(6)

其中，η為柔性附件的振動(dòng)模態(tài)坐標(biāo)，ω為柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率，f為柔性結(jié)構(gòu)的耦合系數(shù)，且有fi=ti/I。

因此，采用非約束模態(tài)級(jí)數(shù)方法離散化得到的解耦后的航天器系統(tǒng)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程和柔性附件振動(dòng)方程可簡(jiǎn)化為

(7)

3 控制器設(shè)計(jì)

3.1 PD控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)柔性航天器姿態(tài)角誤差和誤差變化率設(shè)計(jì)控制律為

(8)

其中：θd為系統(tǒng)期望姿態(tài)角，kp和kd分別為PD控制的比例系數(shù)和微分系數(shù)?？紤]到比例系數(shù)kp和微分系數(shù)kd在取不同數(shù)值時(shí)對(duì)于系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間影響很大，而調(diào)節(jié)時(shí)間過長(zhǎng)，會(huì)影響柔性航天器的控制性能，所以必須在保證穩(wěn)態(tài)誤差精度的情況下盡量減小調(diào)節(jié)時(shí)間，使得系統(tǒng)的控制性能達(dá)到最佳。因此本文研究了比例系數(shù)和微分系數(shù)不同時(shí)對(duì)柔性航天器系統(tǒng)的影響。

3.2 模糊PD控制器設(shè)計(jì)

考慮到當(dāng)給柔性航天器系統(tǒng)施加PD控制時(shí)，在保證穩(wěn)態(tài)精度的情況下，航天器的初始時(shí)刻角速度過大，這會(huì)導(dǎo)致航天器的姿態(tài)失穩(wěn)，而這主要是比例系數(shù)kp和微分系數(shù)kd是常數(shù)所引起的問題。因?yàn)閗p越大，系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間越短，但初始時(shí)刻角速度越大，kp越小，初始時(shí)刻角速度越小，但系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間越長(zhǎng)；而kd越小，調(diào)節(jié)時(shí)間越短，但初始時(shí)刻角速度越大，kd越大，初始時(shí)刻角速度越小，但系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間越長(zhǎng)。針對(duì)上述問題，在控制律設(shè)計(jì)中引入模糊控制，對(duì)比例系數(shù)和微分系數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，使得航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)的初始階段kp較小，kd較大，隨著時(shí)間的變化，kp逐漸增大，kd逐漸減小，使得系統(tǒng)更快達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。引入模糊控制之后，雖然增大了調(diào)節(jié)時(shí)間，但大大減小了初始時(shí)刻航天器的角速度，使得系統(tǒng)更加平穩(wěn)，保證了航天器的姿態(tài)穩(wěn)定。

令姿態(tài)角誤差為Δθ，則Δθ=θd-θ，根據(jù)2.1節(jié)中的PD控制律和系統(tǒng)響應(yīng)結(jié)果，設(shè)計(jì)以下兩條模糊規(guī)則

IfΔθ減小，則kd減小，kp增大

IfΔθ增大，則kd增大，kp減小

由這兩條模糊規(guī)則可以設(shè)計(jì)出模糊控制系統(tǒng)，其中Δθ為輸入，比例系數(shù)kd和微分系數(shù)kp為輸出。定義系統(tǒng)的輸入/輸出模糊集如下

圖1 模糊控制系統(tǒng)的輸入/輸出隸屬度函數(shù)

其中，NB為負(fù)大，NM為負(fù)中，NS為負(fù)小，ZO為零，PS為正小，PM為正中，PB為正大。

設(shè)計(jì)模糊控制系統(tǒng)的輸入/輸出隸屬度函數(shù)如圖1所示。并設(shè)計(jì)如下七條模糊規(guī)則

IfΔθisPBTHENkdisPB，kpisNB

IfΔθisPMTHENkdisPM，kpisNM

IfΔθisPSTHENkdisPS，kpisNS

IfΔθisZOTHENkdisZO，kpisZO

IfΔθisNSTHENkdisNS，kpisPS

IfΔθisNMTHENkdisNM，kpisPM

IfΔθisNBTHENkdisNB，kpisPB

最后，根據(jù)當(dāng)前Δθ的值，得到模糊輸出kd和kp，采用重心法進(jìn)行去模糊化，得到比例系數(shù)和微分系數(shù)的精確值d和p，則結(jié)合模糊控制所設(shè)計(jì)的控制律為

(9)

4 數(shù)值仿真分析

根據(jù)上文所設(shè)計(jì)的控制律，分別對(duì)PD控制和模糊PD控制進(jìn)行MATALAB仿真，驗(yàn)證控制方法的有效性。

柔性航天器本體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(kg·m2)為[13]

I=26.0378

航天器本體與柔性附件之間的剛?cè)狁詈舷禂?shù)(kg1/2·m)為

柔性附件的振動(dòng)頻率(rad/s)為

假定初始姿態(tài)角為0°，初始姿態(tài)角速度為0(°/s)，期望姿態(tài)角為60°，期望姿態(tài)角速度為0(°/s)，仿真時(shí)間為100s，仿真步長(zhǎng)為0.01s。將式(8)和式(9)中所設(shè)計(jì)的兩種控制律分別施加到柔性航天器動(dòng)力學(xué)方程(7)中，代入給定參數(shù)，忽略柔性附件阻尼和擾動(dòng)，分別對(duì)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程和柔性附件振動(dòng)方程進(jìn)行求解，并用MATLAB數(shù)值仿真軟件畫出圖像。PD控制仿真結(jié)果如圖2、圖3和圖4所示，改進(jìn)后的模糊PD控制仿真結(jié)果如圖5所示，(a)、(b)、(c)、(d)分別為姿態(tài)角、姿態(tài)角速度、控制力矩和柔性附件振動(dòng)模態(tài)隨時(shí)間t變化的圖像。

圖2 kd=300，kp=75時(shí)PD控制仿真結(jié)果

圖3 kd=200，kp=75時(shí)PD控制仿真結(jié)果

圖4 kd=300，kp=50時(shí)PD控制仿真結(jié)果

圖5 模糊PD控制仿真結(jié)果

對(duì)比圖2-圖4可以發(fā)現(xiàn)，隨著kp增大或kd減小，航天器姿態(tài)能較快收斂到期望角度，調(diào)節(jié)時(shí)間短，但控制力矩、姿態(tài)角速度以及柔性附件振動(dòng)幅值增大；反之kp越小或者kd越大，收斂越慢，調(diào)節(jié)時(shí)間增長(zhǎng)，但控制力矩、姿態(tài)角速度以及柔性附件振動(dòng)模態(tài)較小。對(duì)比圖2和圖5可以發(fā)現(xiàn)，加入模糊控制之后，雖然調(diào)節(jié)時(shí)間變長(zhǎng)，但能夠大大減小初始階段的控制力矩、姿態(tài)角速度以及柔性附件振動(dòng)模態(tài)，能夠使得柔性航天器在姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)更加平穩(wěn)，而在系統(tǒng)進(jìn)入相對(duì)穩(wěn)定階段之后，kd接近300，kp接近75，又恢復(fù)到了原本的PD控制，并不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性能。

5 結(jié)論

本文對(duì)柔性航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)問題進(jìn)行了研究，針對(duì)柔性航天器初始階段的姿態(tài)機(jī)動(dòng)角速度過大問題，在原有的PD控制基礎(chǔ)上加入了模糊控制。通過對(duì)比取不同的比例系數(shù)和微分系數(shù)值時(shí)柔性航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)過程，來分析比例系數(shù)和微分系數(shù)對(duì)控制系統(tǒng)的影響。在此基礎(chǔ)上，針對(duì)初始階段輸出力矩和姿態(tài)角速度過大而容易引起柔性附件振動(dòng)的情況，在控制律中加入了模糊控制，減小了控制力矩，柔化了控制量，解決了恒增益PD控制初始階段姿態(tài)誤差較高時(shí)控制力矩和姿態(tài)角速度過大的問題。本文通過MATLAB進(jìn)行仿真，并對(duì)不同控制律作用下的響應(yīng)曲線進(jìn)行分析，驗(yàn)證了所提出的控制方法的有效性。仿真結(jié)果表明：改進(jìn)后的控制律不僅能夠?qū)崿F(xiàn)柔性航天器的姿態(tài)機(jī)動(dòng)，還能夠?qū)θ嵝愿郊恼駝?dòng)起到良好的抑制作用，提高了系統(tǒng)的控制精度，有效改進(jìn)了PD控制所存在的問題。