兩線結(jié)合 輕松解題
——角平分線和垂直平分線的綜合應(yīng)用

江蘇泰州市姜堰區(qū)克強(qiáng)學(xué)校（225500） 宋海明

角平分線和垂直平分線作為初中數(shù)學(xué)的“兩線”，無論是其定義、性質(zhì)、判定、畫法還是應(yīng)用，都在初中數(shù)學(xué)幾何中有著舉足輕重的地位?？梢哉f，學(xué)生掌握好這“兩線”對解題大有裨益。本文結(jié)合實(shí)例對角平分線和垂直平分線的綜合應(yīng)用進(jìn)行分析。

一、角平分線和垂直平分線的妙用

角平分線和垂直平分線的教學(xué)都是按照定義、性質(zhì)、判定、畫法、應(yīng)用五個(gè)方面進(jìn)行的。角平分線和垂直平分線既有相通、相似之處，又能結(jié)合起來設(shè)置更具靈活性的問題。一般來說，角平分線和垂直平分線有如下妙用。

（一）角平分線的妙用

角平分線的作用非常多，常用來求證點(diǎn)到線的距離相等問題。具體思路有“角平分線+垂兩邊”“角平分線+造全等”“角平分線、平行線+等腰三角形”“角平分線、垂線+等腰三角形”。

［例1］如圖1 所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D。若DC=7，則D到AB的距離是_____。

圖1

分析：首先，要充分理解“D到AB的距離”，此為“點(diǎn)到直線的距離”定義，所以應(yīng)過點(diǎn)D作AB的垂線；然后再結(jié)合“AD平分∠BAC”這一條件，過角平分線AD上的一點(diǎn)向∠BAC的兩邊作垂線，最后利用“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等”的性質(zhì)來解決問題。

［例2］如圖2 所示，∠1=∠2，OE=OF，連接DE，DF，求證：△ODE≌△ODF。

圖2

分析：本題欲證明兩個(gè)三角形全等，那么應(yīng)先尋找證明其全等的條件。由題意可知，兩個(gè)三角形的兩個(gè)對應(yīng)夾角未知，而這需要根據(jù)“OC平分∠AOB”獲得?？稍凇螦OB的兩邊上取相等的線段后，結(jié)合角平分線構(gòu)造全等三角形。

［例3］如圖3 所示，在△ABC中，BO，CO分別為∠ABC，∠ACB的平分線，經(jīng)過點(diǎn)O的直線DE∥BC，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E。若BD=3，EC=2，則DE=______。

圖3

分析：有角平分線時(shí)，常過角平分線上的一點(diǎn)作角的另一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形。也可以過角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的平行線，與角的另一邊所在直線交于一點(diǎn)，從而構(gòu)造等腰三角形。如果沒有角平分線，那么需要留意題中是否有垂直平分線、中位線、平行線、等腰三角形等條件，因?yàn)檫\(yùn)用這些條件解決問題時(shí)也可產(chǎn)生與運(yùn)用角平分線性質(zhì)相同的效果。

［例4］如圖4 所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，CE⊥BD的延長線于E。求證：BD=2CE。

圖4

分析：從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與另一邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)（若題目條件中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段止于角的另一邊）。另外，利用所作的垂線還能構(gòu)造一對全等的直角三角形。

［例5］如圖5 所示，有L1、L2兩條公路相交于點(diǎn)O，現(xiàn)要在公路內(nèi)部修建一個(gè)加油站A，使得加油站到兩條公路到L1、L2的距離相等，你認(rèn)為該加油站應(yīng)該在何處修建較好？

圖5

分析：要解決這類問題，首先要想到角平分線的一個(gè)妙用，即作出點(diǎn)使其到兩邊的距離相等。在這里可以將加油站A看成角內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)，然后只要作出角的角平分線就能確定加油站所在的位置，即位于OA這條射線上，因?yàn)榭梢愿鶕?jù)角平分線的性質(zhì)得到這樣的A點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。

（二）垂直平分線的妙用

垂直平分線的作用也有很多，常見的有可用來求點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等、轉(zhuǎn)換線段的位置等。

［例6］如圖6所示，在△ABC中，AB，AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D，E，垂足分別為F，G，已知△ADE的周長為12 cm，則BC=_______。

圖6

分析：在本題中，需要將線段AD轉(zhuǎn)換至BD，將AE轉(zhuǎn)換至EC。這樣一來，原本告知的“△ADE的周長為12 cm”條件，便瞬間轉(zhuǎn)化為“BD+DE+EC=12”，這就是本題所求的BC的長度。

［例7］如圖7 所示，某城市規(guī)劃局為了方便居民的生活，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個(gè)購物中心，試問：該購物中心應(yīng)建于何處，才能使得它與三個(gè)小區(qū)的距離相等？

圖7

分析：這一類問題在初中幾何尤為常見，所采用的方法就是先將A，B，C三點(diǎn)連接成一個(gè)三角形，然后分別作這個(gè)三角形每條邊的垂直平分線，這三條垂直平分線會相交于某一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)則為購物中心修建處。

二、角平分線和垂直平分線的綜合應(yīng)用

角平分線和垂直平分線的綜合應(yīng)用主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面，一是借助角平分線和垂直平分線進(jìn)行計(jì)算和證明，二是借助角平分線和垂直平分線進(jìn)行尺規(guī)作圖。

（一）借助角平分線和垂直平分線進(jìn)行計(jì)算和證明

［例8］如圖8 所示，在△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，與CD相交于點(diǎn)F。

圖8

（1）線段BF與線段AC相等嗎？

（2）CE與BF之間有何關(guān)系，為什么？

分析：本題同時(shí)出現(xiàn)了角平分線和垂直平分線，在綜合應(yīng)用的過程中需同時(shí)考慮“兩線”的性質(zhì)及其應(yīng)用。

（1）線段BF與線段AC相等。因?yàn)镈H垂直平分BC且∠ABC=45°，所以BD=DC，且∠BDC=90°。因 為∠A+∠ABF=90°，∠A+∠ACD=90°，所以∠ABF=∠ACD。可以證明△BDF和△CDA全等，由全等三角形的性質(zhì)得到BF=AC。

（2）由（1）分析可知BF=AC。因?yàn)锽E平分∠ABC，所以∠ABE=∠CBE且BE⊥AC，可以證明△ABE和△CBE全 等，得 到CE=AE=AC=BF。

小結(jié)：當(dāng)一道計(jì)算題或證明題中同時(shí)出現(xiàn)角平分線和垂直平分線時(shí)，首先需要根據(jù)角平分線和垂直平分線分別得出相應(yīng)的結(jié)論，然后將它們根據(jù)解題需要進(jìn)行綜合應(yīng)用。一般來說，有角平分線和垂直平分線的題目，通常會涉及全等三角形。

［例9］如圖9 所示，∠A=90°，BE平分∠ABC，DE垂直平分BC，AB=6，AC=8。求△ABE的面積。

圖9

分析：本題同時(shí)出現(xiàn)角平分線和垂直平分線，那么在分析問題時(shí)，應(yīng)分別利用“兩線”得出結(jié)論，然后借助直角三角形列出相應(yīng)的方程。由角平分線可得AE=DE，由垂直平分線可得BE=EC。此時(shí)，不妨設(shè)AE為x，那么EC=8-x，所以在直角三角形ABE中，可得x2+62=(8-x)2。解之即可求出△ABE的面積。

小結(jié)：這種模型在學(xué)生平時(shí)訓(xùn)練時(shí)經(jīng)常會見到，解題的基本思路是先找出等邊后設(shè)未知數(shù)并解方程，即把相關(guān)的邊放在一個(gè)直角三角形中，然后利用勾股定理列出方程，通過數(shù)形結(jié)合解決問題。

（二）借助角平分線和垂直平分線進(jìn)行尺規(guī)作圖

［例10］如圖10 所示，AB和BC兩條公路相交于B點(diǎn)，在其內(nèi)部有D、E兩個(gè)村莊。為了給兩村村民提供更多生活便利，現(xiàn)計(jì)劃在∠ABC的內(nèi)部建一個(gè)超市，要求該超市與兩個(gè)村莊的距離相等，且同時(shí)到兩條公路的距離相等。運(yùn)用所學(xué)知識，采用尺規(guī)作圖畫出該超市點(diǎn)P。

圖10

分析：本題需要同時(shí)考慮角平分線和垂直平分線，因?yàn)椤耙笤摮械絻蓚€(gè)村莊的距離相等，且同時(shí)到兩條公路的距離相等”。因此，點(diǎn)P既要在∠ABC的角平分線上，又要在線段DE的垂直平分線上。如圖10 所示，連接DE，作DE的垂直平分線，再作出∠ABC的角平分線，兩線相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。

小結(jié)：遇到這類尺規(guī)作圖問題，首先要熟識作圖方法，然后要清楚“點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等作垂直平分線，點(diǎn)到邊的距離相等作角平分線”。

綜上所述，在一個(gè)問題中同時(shí)出現(xiàn)角平分線和垂直平分線時(shí)，要掌握“兩線”的定義、性質(zhì)、判定、畫法應(yīng)用等內(nèi)容，以及與之相關(guān)的等腰三角形、全等三角形等知識。只有理解掌握這些知識點(diǎn)，才能靈活解決問題。因此，教師在平時(shí)教學(xué)中要注重這方面的訓(xùn)練，積極幫助學(xué)生構(gòu)建知識體系和掌握解題技巧。