電磁波的多普勒效應(yīng)公式推導(dǎo)及應(yīng)用

丁佐建

（常州市第一中學(xué)，江蘇 常州 213000）

電磁波多普勒效應(yīng)是高中物理競賽中的難點.在許多文獻中，有關(guān)電磁波多普勒效應(yīng)公式的推導(dǎo)過程和表達形式大量使用了向量、矩陣、復(fù)數(shù)等數(shù)學(xué)工具，遠遠超出了中學(xué)生認知和理解的范疇，因此給出基于高中學(xué)生知識和能力基礎(chǔ)上的相關(guān)推導(dǎo)很有必要.

本文應(yīng)用狹義相對論時間變換，簡潔明了地推導(dǎo)出電磁波多普勒效應(yīng)公式，大大降低了理解的難度.呈文如下供參考.

1 巧推公式

與機械波不同的是，電磁波（光波）波速對一切慣性參考系是確定不變的，電磁波的多普勒效應(yīng)只取決于波源和觀察者之間的相對運動速度v，而不必區(qū)分是波源運動還是觀察者運動，因此電磁波的多普勒效應(yīng)公式一定與機械波多普勒效應(yīng)公式不同，不可照搬機械波的多普勒效應(yīng)公式.

如圖1，在0時刻，電磁波（光波）源S相對觀察者E的相對位置如圖，波源S以速度v相對E運動，速度矢量v與位置矢量r的夾角為α，研究產(chǎn)生一個完整波形的過程，對波源參考系而言時間為波源周期T0（T0→0），在觀察者參考系中時間為t，由相對論時間變換得

圖1

在觀察者參考系中，波源S運動了距離（vt）（vt→0）到達S′，此時S′相對E的位置矢量r′.

2 特例討論

通常v?c，由上可以看出，在同等相對速度大小的情況下，橫向相對運動引起的多普勒效應(yīng)的頻率差遠小于縱向相對運動的多普勒效應(yīng)頻率差，在中學(xué)物理階段一般不考慮橫向相對運動引起的多普勒效應(yīng).

3 奇思妙解

例題.（第32屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽）如圖2，飛機在距水平地面（xz平面）等高的航線KA（沿x正方向）上，以大小為v（v遠小于真空中的光速c）的速度勻速飛行；機載雷達天線持續(xù)向航線正右側(cè)地面上的被測固定目標(biāo)P點（其x坐標(biāo)為xP）發(fā)射扇形無線電波束（扇形的角平分線與航線垂直），波束平面與水平地面交于線段BC（BC隨著飛機移動，且在測量時應(yīng)覆蓋被測目標(biāo)P點），取K點在地面的正投影O為坐標(biāo)原點.已知BC與航線KA的距離為R.天線發(fā)出的無線電波束是周期性的等幅高頻脈沖余弦波，其頻率為f0.已知機載雷達天線經(jīng)過A點（其x坐標(biāo)為xA）及此后朝P點相繼發(fā)出無線電波信號，由P反射后又被機載雷達天線接收到，求接收到的回波信號的頻率與發(fā)出信號的頻率之差（頻移）.

圖2

解析：這是一道有相當(dāng)難度的電磁波多普勒效應(yīng)試題.命題組從波動理論出發(fā)給出了長達數(shù)頁的解答過程，［1］即使是優(yōu)秀的競賽考生也難以在有限的考試時間內(nèi)按照命題組的思路做出完整而正確的解答（為節(jié)約版面在此不做呈現(xiàn)）.如果采用上述電磁波多普勒效應(yīng)公式，則能思路清晰、過程精干地快速解答.

如圖3，在KBC平面內(nèi)，電磁波從A點發(fā)射到達P點，P點看作觀察者，所以P點接受到的電磁波的頻率為

圖3

電磁波P點反射到飛機接受，P點看作電磁波波源，飛機接受的電磁波頻率為

4 小結(jié)與反思

簡潔而美妙的邏輯過程和解題方法能有效地提升學(xué)生的高階思維能力、激發(fā)探索熱情，但命題組的參考答案為什么長達數(shù)頁呢？原因是命題組從波動原理出發(fā)，將電磁波多普勒效應(yīng)用經(jīng)典物理方法重新演繹了一遍，但冗長的過程和復(fù)雜的近似運算大大弱化物理思想、物理結(jié)論的呈現(xiàn)，干擾了學(xué)生對物理思想和物理方法的深入思考.

將電磁波多普勒效應(yīng)公式的推導(dǎo)放在“相對論”教學(xué)之后，并有意識地與機械波的多普勒效應(yīng)進行對比，就會大大降低學(xué)生理解的難度，對公式的推導(dǎo)有了透徹的理解，這個公式就會成為解決此類問題的利器.