基于聯(lián)立約束法的液壓支架動(dòng)力學(xué)建模

馬光明，王世博，葛世榮，鄒文才

(1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，江蘇徐州221116；2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)機(jī)電與信息工程學(xué)院，北京100083)

1 引言

煤礦智能化建設(shè)要求綜采裝備必須智能自主控制，這需要對(duì)綜采裝備控制系統(tǒng)進(jìn)行全面驗(yàn)證測(cè)試。綜采工作面半實(shí)物仿真系統(tǒng)是將工作面控制系統(tǒng)實(shí)物與在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)的綜采裝備模型連接在一起的試驗(yàn)技術(shù)，它是驗(yàn)證完善工作面控制系統(tǒng)性能的必要手段[1]。液壓支架是綜采裝備中數(shù)量最多的關(guān)鍵裝備，構(gòu)建液壓支架的動(dòng)力學(xué)模型是完成綜采工作面半實(shí)物仿真系統(tǒng)的核心任務(wù)之一。

文獻(xiàn)[2，3]運(yùn)用拉格朗日方法建立了液壓支架與圍巖耦合動(dòng)力學(xué)模型，分析了在頂板壓力作用下液壓支架的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。文獻(xiàn)[4]運(yùn)用拉格朗日方法建立了液壓支架的多體動(dòng)力學(xué)模型，計(jì)算求得了液壓支架運(yùn)動(dòng)規(guī)律與驅(qū)動(dòng)力之間的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)關(guān)系。液壓支架屬于并聯(lián)機(jī)構(gòu)，目前并聯(lián)機(jī)構(gòu)常用的動(dòng)力學(xué)建模方法[5]主要有：拉格朗日方法、牛頓-歐拉方法、凱恩方程方法、虛功原理方法。拉格朗日方法從能量的角度出發(fā)，得到的動(dòng)力學(xué)方程形式相對(duì)簡(jiǎn)單，但當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)構(gòu)件數(shù)目增加時(shí)，該方法的運(yùn)算量很大[6]。牛頓-歐拉方法從力的動(dòng)態(tài)平衡角度研究動(dòng)力學(xué)問題，需要從運(yùn)動(dòng)學(xué)出發(fā)求得加速度并消去，對(duì)于較復(fù)雜的系統(tǒng)，這種方法十分復(fù)雜及繁瑣[7]。凱恩方程方法的關(guān)鍵之一是用系統(tǒng)廣義速率對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)表示出系統(tǒng)各運(yùn)動(dòng)構(gòu)件質(zhì)心坐標(biāo)，然而對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)，質(zhì)心坐標(biāo)表達(dá)式異常復(fù)雜[8]。虛功原理方法無(wú)法研究各構(gòu)件受力，當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)構(gòu)件增加時(shí)，其求解過程也變得十分復(fù)雜[9]。聯(lián)立約束法[10]派生于牛頓-歐拉法，但卻克服了牛頓歐拉法需要從運(yùn)動(dòng)學(xué)出發(fā)求得加速度并消去的缺點(diǎn)。對(duì)由運(yùn)動(dòng)學(xué)分析產(chǎn)生的閉環(huán)矢量方程求二階微分是聯(lián)立約束法的核心思想，而液壓支架主體結(jié)構(gòu)恰由三個(gè)運(yùn)動(dòng)環(huán)組成，因此本文采用聯(lián)立約束法對(duì)液壓支架進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模。

本文對(duì)液壓支架進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，得到了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的加速度方程組，之后建立了各構(gòu)件的牛頓-歐拉方程組，加速度方程組與牛頓-歐拉方程組組成了液壓支架動(dòng)力學(xué)模型。在matlab/simulink中對(duì)該動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了仿真分析，并將仿真結(jié)果與ADAMS中的仿真結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)模型的正確性。

2 機(jī)構(gòu)描述

液壓支架為并聯(lián)機(jī)構(gòu)(圖1)，主要結(jié)構(gòu)件包括立柱、前連桿、后連桿、掩護(hù)梁、平衡千斤頂、頂梁、底座、護(hù)幫板、推移千斤頂。液壓支架具有2個(gè)自由度，立柱和平衡千斤頂提供液壓力，驅(qū)動(dòng)液壓支架運(yùn)動(dòng)。

圖1 液壓支架結(jié)構(gòu)圖注：1-立柱2-前連桿 3-后連桿 4-掩護(hù)梁 5-平衡千斤頂 6-頂梁7-底座 8-護(hù)幫板 9-推移千斤頂 10-側(cè)護(hù)板

3 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

以液壓支架底座尾端作為坐標(biāo)原點(diǎn)O，底座尾端指向前端為X軸正方向，豎直向上為Y軸正方向建立坐標(biāo)系XOY(圖1b)。Zi表示液壓支架各構(gòu)件質(zhì)心位置，Z11表示立柱缸體質(zhì)心位置，Z12表示立柱活柱質(zhì)心位置，θi表示各構(gòu)件與X軸正方向所成的夾角，αi表示各構(gòu)件質(zhì)心位置矢量與X軸正方向夾角(i=1，2，…6)。

3.1 閉環(huán)矢量方程組

液壓支架機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1(b)所示，其內(nèi)部存在3個(gè)運(yùn)動(dòng)環(huán)AOCEGHFD、QIJKLR、BOCEGJKMNP，3個(gè)運(yùn)動(dòng)環(huán)的復(fù)指數(shù)表達(dá)式為

(1)

(2)

(3)

根據(jù)歐拉公式eiθ=cos(θ)+isin(θ) 將式(1)-(3)虛部與實(shí)部分離并化簡(jiǎn)，得閉環(huán)矢量方程組

LCEcos(θ3)-LEGsin(θ4)+LGHcos(θ4)=

LOA+LDFcos(θ2)-LFHsin(θ4)

(4)

LOC+LCEsin(θ3)+LEGcos(θ4)+LGHsin(θ4)=

LAD+LDFsin(θ2)+LFHcos(θ4)

(5)

-LQIsin(θ4)+LIJcos(θ4)-LJKsin(θ6)=

LQRcos(θ5)-LRLsin(θ6)-LLKcos(θ6)

(6)

LQIcos(θ4)+LIJsin(θ4)+LJKcos(θ6)=

LQRsin(θ5)+LRLcos(θ6)-LLKsin(θ6)

(7)

LCEcos(θ3)-LEGsin(θ4)+LGJcos(θ4)-LJKsin(θ6)=

LOB+LPNcos(θ1)-LNMsin(θ6)-LMKcos(θ6)

(8)

LOC+LCEsin(θ3)+LEGcos(θ4)+

LGJsin(θ4)+LJKcos(θ6)=LBP+

LPNsin(θ1)+LNMcos(θ6)-LMKsin(θ6)

(9)

3.2 各構(gòu)件質(zhì)心坐標(biāo)

3.2.1 立柱缸體質(zhì)心坐標(biāo)

(10)

3.2.2 立柱活柱質(zhì)心坐標(biāo)

(11)

3.2.3 前連桿質(zhì)心坐標(biāo)

(12)

3.2.4 后連桿質(zhì)心坐標(biāo)

(13)

3.2.5 掩護(hù)梁質(zhì)心坐標(biāo)

(14)

3.2.6 頂梁質(zhì)心坐標(biāo)

(15)

3.3 加速度方程組

將式(4)-(15)對(duì)時(shí)間求二階微分得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的加速度方程組

LFHcos(θ4)4

(16)

LFHsin(θ4)4

(17)

(18)

(19)

LMKsin(θ6)6+LPNsin(θ1)1

(20)

LMKcos(θ6)6+LPNcos(θ1)1

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

4 動(dòng)力學(xué)分析

在對(duì)液壓支架進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析之前，對(duì)其做如下簡(jiǎn)化處理：①由于支架兩個(gè)立柱運(yùn)動(dòng)特性相同，故將其簡(jiǎn)化為一個(gè)立柱；②由于平衡千斤頂質(zhì)量相對(duì)于整個(gè)支架來說較小，故將其質(zhì)量忽略不計(jì)；③將掩護(hù)梁側(cè)護(hù)板與掩護(hù)梁作為一個(gè)整體，頂梁側(cè)護(hù)板、護(hù)幫板與頂梁作為一個(gè)整體。

對(duì)液壓支架各構(gòu)件取分離體并進(jìn)行受力分析，建立各構(gòu)件的牛頓-歐拉方程組，其中F1與F5分別表示立柱液壓驅(qū)動(dòng)力與平衡千斤頂液壓驅(qū)動(dòng)力；mi與Ii分別表示第i個(gè)構(gòu)件的質(zhì)量及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Fi-j表示連接構(gòu)件i與j的運(yùn)動(dòng)副處的受力，i、j=1，2…6。

圖2 立柱活柱(左)與立柱缸體(右)受力簡(jiǎn)圖

4.1 立柱活柱牛頓-歐拉方程

(28)

4.2 立柱缸體牛頓-歐拉方程

(29)

4.3 前連桿牛頓-歐拉方程

(30)

4.4 后連桿牛頓-歐拉方程

(31)

4.5 掩護(hù)梁牛頓-歐拉方程

(32)

4.6 頂梁牛頓-歐拉方程

圖5 頂梁受力簡(jiǎn)圖

(33)

聯(lián)立式(16)-(33)，并表示成矩陣形式AX=B，其中

限于篇幅，有興趣的讀者可自行推導(dǎo)A、B。

根據(jù)式X=A-1B在matlab/simulink中構(gòu)建動(dòng)力學(xué)仿真模型如圖6。Subsystem1進(jìn)行矩陣運(yùn)算X=A-1B；Subsystem2與Subsystem3進(jìn)行積分運(yùn)算，得(θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6)、立柱與平衡千斤頂?shù)拈L(zhǎng)度以及對(duì)應(yīng)的加速度、速度；Subsystem4進(jìn)行積分運(yùn)算，得各構(gòu)件質(zhì)心處的加速度、速度、位移；Subsystem5輸出各運(yùn)動(dòng)副處受力大小。

圖6 液壓支架動(dòng)力學(xué)仿真模型

5 動(dòng)力學(xué)算例

為了驗(yàn)證建立的液壓支架動(dòng)力學(xué)模型的正確性，在matlab/simulink與ADAMS中對(duì)液壓支架升架降架過程中角加速度及姿態(tài)變化進(jìn)行仿真對(duì)比。在ADAMS中根據(jù)ZY10800/28/63型液壓支架參數(shù)建立虛擬樣機(jī)，賦予材料屬性為鋼，密度ρ=7800kg/m3，在ADAMS中測(cè)得虛擬樣機(jī)動(dòng)力學(xué)參數(shù)見表2。

將表1、2中參數(shù)代入simulink仿真模型中。首先在ADAMS與仿真模型中給定相同的驅(qū)動(dòng)力F1=108kN、F5=-78kN，使液壓支架做上升運(yùn)動(dòng)，仿真時(shí)間為2s；其次在給定相同的驅(qū)動(dòng)力F1=-40kN、F5=20kN，使液壓支架做下降運(yùn)動(dòng)，仿真時(shí)間為0.7s。液壓支架上升、下降過程中兩者加速度及姿態(tài)變化仿真結(jié)果對(duì)比見圖7-8。

表1 ZY10800/28/63型液壓支架結(jié)構(gòu)參數(shù)(mm)

表2 ZY10800/28/63型液壓支架動(dòng)力學(xué)參數(shù)

由圖7、8仿真結(jié)果可以看出：降架過程中兩款軟件仿真結(jié)果幾乎完全一致，升架過程略有差異，這是因?yàn)閮煽钴浖蠼馄髑蠼夥绞讲煌斐傻?。根?jù)與ADAMS仿真結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)模型的正確性。

圖7 升架降架過程中角加速度ε1到ε6變化曲線(a-f)、立柱和平衡千斤頂活塞伸出加速度變化曲線(g-h)、液壓支架高度加速度變化曲線(i)

圖8 升架降架過程中角度θ1到θ6變化曲線(a-f)、立柱長(zhǎng)度和平衡千斤頂長(zhǎng)度變化曲線(g-h)、液壓支架高度變化曲線(i)

6 結(jié)論

1) 本文基于聯(lián)立約束法建立了液壓支架的動(dòng)力學(xué)模型。首先對(duì)液壓支架進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，得到了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的加速度方程組，之后建立了系統(tǒng)的牛頓-歐拉方程組。加速度方程組與牛頓-歐拉方程組組成了液壓支架動(dòng)力學(xué)模型。

2) 基于Matlab和ADAMS軟件對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)仿真，在給定相同驅(qū)動(dòng)力的的情況下，對(duì)比了兩種方法仿真所得機(jī)構(gòu)加速度與姿態(tài)變化曲線，發(fā)現(xiàn)兩者結(jié)果基本一致，證明了該動(dòng)力學(xué)模型的正確性。