模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

黎斌

[摘 要]模型思想是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。作為一種基本的數(shù)學(xué)思想方法，模型思想可廣泛應(yīng)用于多種現(xiàn)實(shí)情境，解決許多實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題，具有很高的價(jià)值。 模型思想的構(gòu)建是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，在教學(xué)中要從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，結(jié)合學(xué)生的年齡特點(diǎn)逐步滲透，讓學(xué)生從生活情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，在建模、用模過(guò)程中感受模型思想的作用與價(jià)值。

[關(guān)鍵詞]模型思想;小學(xué)數(shù)學(xué);建模

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2022）05-0096-03

模型思想是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。課程標(biāo)準(zhǔn)指出，模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過(guò)程包括從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等來(lái)表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。培養(yǎng)模型思想，就是要讓學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，探尋數(shù)學(xué)問(wèn)題中的變化規(guī)律。學(xué)生的學(xué)習(xí)是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從具體到抽象的，學(xué)生在此過(guò)程中逐步積累經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成運(yùn)用模型思想去思考的習(xí)慣。模型思想作為一種基本的數(shù)學(xué)思想方法，可廣泛應(yīng)用于多種現(xiàn)實(shí)情境，解決許多實(shí)際的數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)學(xué)模型在小學(xué)數(shù)學(xué)中隨處可見(jiàn)，公式、數(shù)量關(guān)系式、方程、不等式等都是重要的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，實(shí)際上就是理解、把握和運(yùn)用數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)及認(rèn)知規(guī)律，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

一、結(jié)合年齡特點(diǎn)，讓學(xué)生初步形成建模意識(shí)

模型思想需要教師在教學(xué)中向?qū)W生逐步滲透。學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程是一個(gè)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從具體到抽象的過(guò)程，教學(xué)中，教師要從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，結(jié)合學(xué)生的年齡特點(diǎn)和不同學(xué)段的要求逐步滲透。

1.第一學(xué)段：聯(lián)系生活實(shí)際，抽象基本的數(shù)和圖形，初步滲透模型思想

第一學(xué)段的學(xué)生，思維以具體形象思維為主，并向初步的抽象邏輯思維發(fā)展，對(duì)概念、數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)需要借助具體實(shí)例和直觀特征。教師要從學(xué)生熟悉的生活情境中出發(fā)， 引導(dǎo)學(xué)生在情境中觀察、發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題，并在問(wèn)題情境中解決問(wèn)題，即從具體的生活情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示其中的簡(jiǎn)單現(xiàn)象。

如一年級(jí)教學(xué)“3+2=5”時(shí)使用的情境中有小松鼠，教師讓學(xué)生用圓片或小棒等實(shí)物代替小松鼠，將這個(gè)問(wèn)題擺一擺、說(shuō)一說(shuō)。學(xué)生能夠說(shuō)出“左邊有3只小松鼠，右邊有2只小松鼠，一共有5只小松鼠”和“左邊擺3個(gè)圓片（或3根小棒），右邊擺2個(gè)圓片（或2根小棒），合起來(lái)可以用‘3+2=5’來(lái)表示”。之后，教師再進(jìn)一步讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)2、3、5分別表示什么。最后，教師讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)在生活中“3+2=5”還可以表示什么。有的學(xué)生說(shuō)“草地上原來(lái)有3只小鳥(niǎo)，又飛來(lái)2只，一共有5只小鳥(niǎo)”，還有的說(shuō)“我有3支藍(lán)色的筆，2支紅色的筆，一共有5支筆”……這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)是根據(jù)低年級(jí)學(xué)生的特點(diǎn)，從具體、形象的實(shí)例開(kāi)始，再借助操作將知識(shí)內(nèi)化和強(qiáng)化，最后通過(guò)發(fā)散思維和聯(lián)系思維加以擴(kuò)展和推廣，賦予“3+2=5”更多的模型意義，初步滲透了模型思想。

2.第二學(xué)段：結(jié)合具體問(wèn)題，抽象為更一般的模式，發(fā)展模型思想

第二學(xué)段，隨著年齡的增長(zhǎng)，學(xué)生的思維水平和理解能力有了很大的提高，學(xué)生的思維由形象思維向抽象思維過(guò)渡。在這個(gè)學(xué)段，教師可以通過(guò)一些具體的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生觀察分析、對(duì)比總結(jié)。

如教學(xué)人教版五年級(jí)上冊(cè)“用字母表示數(shù)”時(shí)，教師可以創(chuàng)設(shè)魔術(shù)情境，讓學(xué)生置身在具體的情境中解決問(wèn)題。

師：向盒子中放進(jìn)1顆星星，能變出來(lái)5顆星星;向盒子中放進(jìn)3顆星星，能變出來(lái)7顆星星;向盒子中放進(jìn)10顆星星，能變出來(lái)14顆星星。向盒子中放進(jìn)25顆星星，能變出來(lái)幾顆星星？

[學(xué)生回答：25+4=29（顆）]

師：放進(jìn)任意顆星星時(shí)，有什么辦法可以表示放進(jìn)和變出的星星數(shù)量？

生：我們經(jīng)過(guò)思考、討論、交流，找到了如下關(guān)系。

放進(jìn)？顆? ? ? ? ? 變出？顆

m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n

d? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?c

x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?x+4

……? ? ? ? ? ? ? ? ? ……

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察和辨析數(shù)量關(guān)系的正確性，再抽象出放進(jìn)與變出的星星數(shù)量之間的關(guān)系式“x+4”。這個(gè)式子不僅能表示放進(jìn)、變出的星星數(shù)量，而且能清楚看出變出的星星數(shù)量與放進(jìn)的星星數(shù)量的關(guān)系。

高年級(jí)學(xué)生通過(guò)觀察分析，不僅能在腦中形成圖形公式，還會(huì)用字母表示運(yùn)算定律和數(shù)量關(guān)系，比如乘法交換率、乘法分配率等，還有單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)之間的關(guān)系。教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用、活用這些模型解決問(wèn)題。如問(wèn)題“一列復(fù)興號(hào)動(dòng)車(chē)行駛速度為a千米/時(shí)，那么它0.5小時(shí)行駛的路程為（? ? ）千米，行駛1200千米用時(shí)為（? ? ）小時(shí)”。教師可以引導(dǎo)學(xué)生理解題中字母所表示的量，再用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系或一個(gè)量，然后利用路程、時(shí)間、速度三者之間的數(shù)量關(guān)系模型，寫(xiě)出表示題目中要求的路程和時(shí)間的關(guān)系式。讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析數(shù)量關(guān)系和運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的過(guò)程就是模型思想發(fā)展的過(guò)程，可以很好地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

二、結(jié)合實(shí)際教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，教學(xué)中，教師要為學(xué)生提供自主探索和合作交流的時(shí)間與空間，讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察—分析與處理—抽象—檢驗(yàn)與修改”的過(guò)程，從結(jié)構(gòu)化的現(xiàn)實(shí)情境中推導(dǎo)出數(shù)學(xué)模型，在解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題中完成對(duì)數(shù)學(xué)模型的解釋與應(yīng)用。

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，認(rèn)識(shí)概念、掌握運(yùn)算、探尋規(guī)律等，都是學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)、建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。教師應(yīng)讓學(xué)生從具體問(wèn)題出發(fā)，經(jīng)歷抽象、分析、比較、歸納、驗(yàn)證等建模過(guò)程（如下圖）。

[抽象][分析][驗(yàn)證][歸納][比較][具體情境][數(shù)學(xué)問(wèn)題][數(shù)量關(guān)系][方案][優(yōu)化（合理性）][列表（多樣性）]

具體方法以人教版教材四年級(jí)“租船問(wèn)題”的教學(xué)為例。

1.結(jié)合實(shí)際情境，選擇合適的建模點(diǎn)

租船問(wèn)題：“一共有32人，每條小船租金為24元，每條大船租金為30元，大船限乘6人，小船限乘4人。怎樣租船最省錢(qián)？”教師引導(dǎo)學(xué)生找出問(wèn)題中的數(shù)學(xué)信息，抓住“怎樣租船最省錢(qián)”這個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題分析數(shù)量關(guān)系，羅列出各種可能的方案，為建模打下基礎(chǔ)。

2.充分經(jīng)歷從“境”到“?！钡某橄筮^(guò)程

數(shù)學(xué)建模可以讓學(xué)生聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的眼光去看問(wèn)題。讓學(xué)生充分經(jīng)歷從“境”到“?！钡某橄筮^(guò)程，這是模型思想的關(guān)鍵和重點(diǎn)。在租船問(wèn)題中，學(xué)生羅列出幾種租船的方案后，分析比較各方案，圍繞關(guān)鍵問(wèn)題“怎樣租船最省錢(qián)”，在調(diào)整、比較、推測(cè)中找到解決租船問(wèn)題的一般方法：①先計(jì)算哪種船的人均租金更便宜;②假設(shè)所有人都乘坐人均租金更便宜的船，如果正好坐滿(mǎn)，無(wú)空座，那么這種租法最省錢(qián);③如果沒(méi)坐滿(mǎn)，就調(diào)整方案，盡可能使得人均租金便宜，同時(shí)盡量做到讓船坐滿(mǎn)。學(xué)生通過(guò)計(jì)算、交流、對(duì)比、調(diào)整，得出最省錢(qián)的方案。學(xué)生從具體情境中，理解并掌握怎樣租船最省錢(qián)，體會(huì)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化的方法就是一次從“境”到“?！钡慕＿^(guò)程。

3.在實(shí)踐中驗(yàn)證模型

建立模型只是一種解決問(wèn)題的手段，更重要的是驗(yàn)證這個(gè)模型是否有科學(xué)性、邏輯性，能否解決實(shí)際問(wèn)題，能否形成新的理論、做出新的預(yù)測(cè)。因此，在驗(yàn)證環(huán)節(jié)，教師既要引導(dǎo)學(xué)生利用列舉、排除、檢驗(yàn)等方法，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型去實(shí)踐和解決實(shí)際問(wèn)題，也要對(duì)解決的問(wèn)題做出科學(xué)合理的闡述和解釋。例如建立了租船問(wèn)題的解題模型后，可以通過(guò)兩次人數(shù)調(diào)整去驗(yàn)證模型，第一次把總?cè)藬?shù)從32人調(diào)整為43人，第二次可以讓學(xué)生自己假設(shè)人數(shù)，看能否應(yīng)用之前的方法去解決問(wèn)題、解釋關(guān)系。

三、結(jié)合問(wèn)題解決，發(fā)展學(xué)生模型思想

數(shù)學(xué)是極為抽象的學(xué)科，學(xué)習(xí)中需要學(xué)生的理解與創(chuàng)造，而構(gòu)建模型是在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上對(duì)知識(shí)進(jìn)行應(yīng)用與創(chuàng)造。要想讓學(xué)生掌握模型思想，就要讓學(xué)生運(yùn)用所建立的數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際生活中的問(wèn)題，使他們感受到模型的實(shí)際作用。

1.在解決問(wèn)題中運(yùn)用模型思想，讓學(xué)生體會(huì)建模的實(shí)用性

當(dāng)學(xué)生具備了一定的模型意識(shí)，并且掌握了建模的方法后，教師要讓學(xué)生從模型走向生活，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型來(lái)解決生活中的問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值，體驗(yàn)到所學(xué)知識(shí)的用處，這樣能促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深刻理解，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)踐的能力和靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，實(shí)現(xiàn)知行合一。

在解決問(wèn)題的過(guò)程中運(yùn)用模型思想，一方面體現(xiàn)在基本題、變式題、拓展題中。如教學(xué)“圓的面積計(jì)算”，在學(xué)生經(jīng)歷了猜測(cè)（如猜測(cè)圓可以轉(zhuǎn)換成學(xué)過(guò)的什么圖形）、探究（如動(dòng)手操作、交流、討論）、總結(jié)（如概括出圓的面積計(jì)算公式）、練習(xí)（如運(yùn)用公式解決基本問(wèn)題）后，教師可以設(shè)計(jì)拓展題：把一只羊拴在一塊長(zhǎng)8米、寬6米的長(zhǎng)方形草地上，拴羊的繩子長(zhǎng)2米，那么這只羊能吃到多大面積的草？要使羊吃到的草的面積最小，應(yīng)該將羊拴到這塊長(zhǎng)方形草地的什么位置？這個(gè)問(wèn)題能調(diào)動(dòng)學(xué)生的多種感官，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、猜測(cè)、估計(jì)、操作等具體的學(xué)習(xí)活動(dòng)，在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中搜集大量的信息，并從中剔除無(wú)用信息留下有用信息，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，最后運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題。

另一方面體現(xiàn)在生活中的實(shí)踐作業(yè)，學(xué)生在實(shí)際生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)，了解數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。如教學(xué)“比例的知識(shí)”時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)實(shí)踐活動(dòng)：在不把旗桿放倒的情況下測(cè)量旗桿的長(zhǎng)度。這一活動(dòng)的設(shè)計(jì)與學(xué)生的生活相結(jié)合，能讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，促使學(xué)生結(jié)合學(xué)習(xí)的內(nèi)容自主尋找解決問(wèn)題的方法，經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，在求出結(jié)果后回到現(xiàn)實(shí)情境中檢驗(yàn)結(jié)果的合理性。

2.在問(wèn)題解決中鞏固模型思想，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維

問(wèn)題解決是學(xué)生應(yīng)該具備的基本能力，它包含從數(shù)學(xué)的角度去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。從某種程度上來(lái)講，問(wèn)題解決就是數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，讓學(xué)生在無(wú)意識(shí)的狀態(tài)下經(jīng)歷建模的過(guò)程，經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋?xiě)?yīng)用的過(guò)程。如俞正強(qiáng)老師執(zhí)教的“植樹(shù)問(wèn)題”一課中，俞老師先引導(dǎo)學(xué)生理解了點(diǎn)和段的關(guān)系及植樹(shù)要植在點(diǎn)上，再用問(wèn)題“植樹(shù)人把樹(shù)種在點(diǎn)上，我們生活中還有什么事也是做在點(diǎn)上”引導(dǎo)學(xué)生，學(xué)生立馬就能從生活中找出例子，如在桌子上每隔一段距離放一個(gè)水杯，馬路邊每隔一段距離有一盞路燈，這種有價(jià)值的問(wèn)題既能拓展學(xué)生的思維，又能發(fā)展學(xué)生的模型思想。隨后俞老師還補(bǔ)充了“高速公路上每隔十幾千米設(shè)一個(gè)服務(wù)區(qū)是不是植樹(shù)問(wèn)題”“某班級(jí)每年選一次班長(zhǎng)是不是植樹(shù)問(wèn)題”等問(wèn)題，讓學(xué)生的認(rèn)知層層推進(jìn)，思維得到發(fā)展。接著俞老師提出“在一條100米的小路一邊種樹(shù)，每隔5米種一棵，一共要種多少棵樹(shù)”這個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生在開(kāi)放的情境中理解生活中的實(shí)際問(wèn)題，建立兩端都種、只種一端、兩端都不種等模型，再說(shuō)出生活中的實(shí)例，讓學(xué)生進(jìn)一步理解這個(gè)模型與平均分有關(guān)。學(xué)生在推進(jìn)式的問(wèn)題解決過(guò)程中探尋出數(shù)學(xué)問(wèn)題的變化規(guī)律，發(fā)展模型思想。

總之，模型思想的滲透是多方位的。模型思想的感悟應(yīng)該蘊(yùn)含在概念、命題、公式、法則的教學(xué)之中，并且要與數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念等數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)相結(jié)合。在具體的教學(xué)實(shí)踐中，教師要多措并舉，逐步培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，讓學(xué)生形成良好的思維習(xí)慣和運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力，使模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中得到更為廣泛的應(yīng)用。

（責(zé)編 楊偲培）