省時省力的輔助圓

山東省滕州市滕南中學(xué) 郭效萍

1 引言

圓是初中階段學(xué)習(xí)的重要圖形，它的一些性質(zhì)，例如，同弧所對的圓周角相等，半圓所對的圓周角是直角，直徑是圓中最長的弦等，給解決問題帶來極大的方便.在解答有關(guān)幾何問題時，并不是圖形中出現(xiàn)圓才利用圓的性質(zhì)，有時需要構(gòu)造一個輔助圓，然后利用圓的性質(zhì)解答，這是解決幾何問題的基本方法之一.

2 利用圓的集合定義構(gòu)造輔助圓

從集合的角度定義：圓是平面內(nèi)到定點距離等于定長的點的集合.根據(jù)這個定義可以得到，當幾個點到同一點的距離相等時，則這幾點一定在同一個圓上.這樣構(gòu)造輔助圓，解答時不僅能利用題中的已知條件，而且可以利用圓的一些性質(zhì).

例1如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AC=AD，若∠BAC=25°，∠CAD=75°，分別求∠BDC和∠DBC的度數(shù).

圖1

解法1：(普通方法)

∵AB=AC=AD，

∴∠ADB=∠ABD，

∠ACB=∠ABC，

∠ADC=∠ACD.

∵∠BAC=25°，∠CAD=75°，

∴∠ACB=(180°-25°)÷2=77.5°，

∠DAB=∠DAC+∠CAB=100°，

∠ADC=∠ACD=(180°-75°)÷2=52.5°.

∴∠ADB=(180°-100°)÷2=40°.

∴∠BDC=∠ADC-∠ADB

=52.5°-40°=12.5°，

∠DCB=∠DCA+∠ACB

=52.5°+77.5°=130°.

∴∠DBC=180°-∠DCB-∠BDC

=180°-130°-12.5°=37.5°.

解法2：(構(gòu)造輔助圓的方法)

由AB=AC=AD，得點B，C，D在以A為圓心，以AD為半徑的圓上，如圖2.

圖2

點評：比較上面兩種方法可以發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造輔助圓后，解決過程明顯簡潔.這里主要利用了圓周角定理及其推論：同弧所對的圓周角相等，等弧所對的圓周角也相等.這是因為這些圓周角都等于它所對的圓心角的一半.

3 利用圓周角定理的推論構(gòu)造輔助圓

因為90°的圓周角所對的弦是直徑，所以當直角三角形的斜邊一定時，直角頂點一定在以斜邊為直徑的圓上運動.此時構(gòu)造輔助圓，可以確定直角頂點的運動軌跡.

例2如圖3所示，矩形ABCG(AB

圖3

解析：如圖4所示，根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑，當∠APE為直角時，點P應(yīng)在以AE為直徑的⊙O上.又因為點B，C，D在同一條直線上，∠APE的頂點P在線段BD上移動，所以點P就是⊙O與BD的交點.由圖4可知，BD與⊙O有2個交點.故答案為：2.

圖4

點評：本題確定點的方法使用的是交軌法，即從每一個條件出發(fā)確定一個點的軌跡，兩個點的軌跡的交點就是符合題意的點.本題兩個點的軌跡分別是一條直線和一個圓.

4 利用一個角對定線段所張的角度為定值構(gòu)造輔助圓

當一個角對固定長度的線段所張開的角度為定值時，角的頂點的運動軌跡為一個圓，此時可以作輔助圓，這條定線段為輔助圓的弦，這個角為圓周角.此時可以利用圓的相關(guān)性質(zhì)解答問題.

例3如圖5，點A與點B的坐標分別是(1，0)，(5，0)，點P是該直角坐標系內(nèi)的一個動點.

圖5

(1)使∠APB=30°的點P有________個.

(2)若點P在y軸上，且∠APB=30°，求滿足條件的點P的坐標.

(3)當點P在y軸上移動時，∠APB是否有最大值？若有，求點P的坐標，并說明此時∠APB最大的理由；若沒有，請說明理由.

圖6

(2)①當點P在y軸的正半軸上時，過點C作CG⊥AB，垂足為點G，如圖6.

由點A(1，0)，B(5，0)，得OA=1，OB=5，則AB=4.

則OG=OA+AG=3.

過點C作CD垂直于y軸，垂足為點D，連接CP2，如圖6.

由點P1，P2是⊙C與y軸的交點，得∠AP1B=∠AP2B=30°.

(3)如圖7，當過點A，B的⊙E與y軸相切于點P時，∠APB最大．理由：

圖7

可證∠APB=∠AEH，當∠APB最大時，∠AEH最大.

①當點P在y軸的正半軸上時，連接EA，作EH⊥x軸，垂足為點H，如圖7.

由⊙E與y軸相切于點P，得PE⊥OP.

由EH⊥AB，OP⊥OH，得∠EPO=∠POH=∠EHO=90°.

則四邊形OPEH是矩形，OP=EH，PE=OH=3，得EA=3.

5 利用作輔助圓求最值

圓外一定點與圓上各點連接而成的所有線段中，有一條最短線段和最長線段，這兩條線段都在過圓心與圓外一點的直線上，如圖8所示，最長線段是PA，最短線段是PB.利用這一點，可以求與圓有關(guān)的線段的最值.

圖8

例4如圖9，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為________.

圖9

解析：如圖10，由∠ABC=90°，得∠ABP+∠PBC=90°.又∠PAB=∠PBC，則∠BAP+∠ABP=90°，即∠APB=90°，則點P在以AB為直徑的⊙O上.連接OC交⊙O于點P，此時PC最小.

圖10

點評：幾何中求最值的情況包括：(1)利用軸對稱求線段和的最小值；(2)利用勾股定理求曲面上或不同平面上兩點之間的最短距離；(3)利用三角形相似解決系數(shù)不為1的線段和最小值問題；(4)利用直徑是圓中最長的弦解決與圓有關(guān)的線段的最值.

幾何問題中作輔助線的方法比較多，如作垂線、平行線、連接、延長、倍長中線、旋轉(zhuǎn)三角形等，但作輔助圓這種作鋪助線的方法容易被忽略.上述四個實例分別從四個不同的角度闡釋了在什么情況下需要作輔助圓，如何作輔助圓，作輔助圓后如何利用輔助圓，以期對學(xué)生突破幾何學(xué)習(xí)有所幫助.